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江苏省南京市第三中学2013-2014学年高二5月阶段测试题数学(理)试题


江苏省南京市第三中学 2013-2014 学年高二 5 月阶段测试数学(理)试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

1.复数 z ?

1 的共轭复数为 1? i

______

2.右图是一个算法的流程图,最后输出的 W 3.程序如下:

?

______

t ?1 i?2 While i ? 4 t ? t ?i i ? i ?1 End While Pr int t
以上程序输出的结果是 ______

4.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随 机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 ______

5.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

3号 7 6

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s 6.设 z ? (2 ? i )
2

?

______ ______

(i 为虚数单位),则复数 z 的模为

7. 某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们 期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段: [40,50) , [50,60) ,…, [90,100] 后得到频率分布直方图(如图所 示).则分数在[70,80)内的人数是 ______

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的 区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则所投点在 E 中 的概率是 ______ 9. 用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻,2 与 4 相邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不相邻,这样的八位数共有 ______ 个

x2 y 2 ? ? 1(a >0 , b>0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F1 F2 为直径的圆与 a 2 b2 双曲线在第一象限的交点为 P .若 ?PF1 F2 ? 30 ,则该双曲线的离心率为 ______
10.已知双曲线 11 . 若 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 是 r , 三 边 长 分 别 是 a, b, c , 则 三 角 形 的 面 积 是

1 r (a ? b ? c) 类 比 此 结 论 , 若 四 面 体 的 内 切 球 半 径 是 R , 4 个 面 的 面 积 分 别 是 2

S1 , S 2 , S 3 , S 4 ,则四面体的体积 V =

______

12.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标 号为 1,2 的卡片不能放入同一信封,则不同的方法共有 ______ 种 13.观察下列的算式: 1=1, 3+5=8, 7+9+11=27, 13+15+17+19=64, 21+23+25+27+29=125,...... , 从中归纳出一个一般性的结论: ______ ______ ______ 14 .设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f ( x ? 4) ,且当

?1? x ? [?2, 0] 时 , f ( x ) ? ? ? ? 1 , 若 在 区 间 (?2, 6] 内 关 于 x 的 方 程 ?2? f ( x) ? loga (x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有三个不同的实数根,则 a 的取值范围为 ______
二.解答题:本大题 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 a, b ? R , 若 M ? ?

x

?a ?? 1

0? 所定义的线性变换把直线 b? ?

l : 2 x ? y ? 1 ? 0 变换成另一直线 l ? : x ? y ? 3 ? 0 ,求 a, b 的值.

16. (本小题满分 14 分)某射手有 5 发子弹,射击一次命中概率为 0.9 ,如果命中就停止射 击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数 ? 的概率分布.

17. (本小题满分 14 分)某工厂生产甲、乙两种产品。甲产品的一等品率为 80% ,二等品 率为 20% ;乙产品的一等品率为 90% ,二等品率为 10% 。生产 1 件甲产品,若是一等品 则获得利润 4 万元,若是二等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万元。设生产各件产品相对独立. (1)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率; (2)记 X (单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布 列和数学期望.

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy

中,椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的 离 心 率 为 a2 b2

3 ,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 2
与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P ?0,1? ,Q?0,2 ? ,设 M , N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与

QN 相交于点 T .求证:点 T 在椭圆 C 上.

19. (本小题满分 16 分) 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? a (a ? 2, x ? R ) , h( x ) ? g ( x) ? e x , (1)当 a ? 1 时,求 h( x) 的单调区间; (2)若 h( x) 在 x ? ?1,?? ? 上是递减的,求实数 a 的取值范围;

f ( x) . g ( x)

(3)是否存在实数 a ,使 h( x) 的极大值为 3?若存在,求 a 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知 ? x ? 1? ? a 0 ? a1 ? x ? 1? ? a 2 ? x ? 1? ? ? ? a n ? x ? 1? ( n ? 2, n ? N * )
n 2 n

(1)当 n ? 5 时,求 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 的值; ( 2 ) 设 bn ?

a2 , Tn ? b2 ? b3 ? ? ? bn , 试 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 当 n ? 2 时 , 2 n ?3

Tn ?

n?n ? 1??n ? 1? . 3

南京三中 2013—2014 学年度第二学期阶段性测试(2014.5) 高二数学

解: a ? 7, b ? 3 16. (本小题满分 14 分) 某射手有 5 发子弹, 射击一次命中概率为 0.9, 如果命中就停止射击, 否则一直到子弹用尽, 求耗用子弹数 ? 的概率分布

?
P

0 0. 9

1 0.0 9

2 0.00 9

3 0.000 1

17. (本小题满分 14 分) 某工厂生产甲、乙两种产品。甲产品的一等品率为 80% ,二等品率为 20% ;乙产品的一等 品率为 90% ,二等品率为 10% 。生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二 等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万元。设生产各件产品相对独立。

(1)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 (2)记 X (单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布 列和数学期望

由此得 X 的分布列为:

X P

?3
0. 02

2 0.08

5 0.18

10 0.72

则 X 的数学期望为 E ( X ) ? ?3 ? 0.02 ? 2 ? 0.08 ? 5 ? 0.18 ? 10 ? 0.72 ? 8.2 答:生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润的数学期望为 8.2 18.(本小题满分 16 分)

(2) y ?

y0 ? 1 y ?2 x ? 1 , ① 直 线 QN 的 方 程 为 y ? 0 x?2 . ② 联 立 ① ② 解 得 ? x0 ? x0

x?

2 2 ? x0 3 y0 ? 4 ? x0 y0 x0 3y ? 4 2 2 ? , ? ? 1 ,可得 x0 ,y? 0 ,即 T ? . 由 . ? 8 ? 4 y0 ? ? 8 2 2 y0 ? 3 2 y0 ? 3 ? 2 y0 ? 3 2 y0 ? 3 ?

因为
2 2 2 2 x0 ? 4?3 y0 ? 4 ? 8 ? 4 y0 ? 4?3 y0 ? 4 ? 1 ? x0 ? 1 ? 3 y0 ? 4 ? ? ? ? (3) ? ? ? ? ? 1. 2 2 ? ? ? 8? 8?2 y0 ? 3? 8?2 y0 ? 3? ? 2 y0 ? 3 ? 2 ? 2 y0 ? 3 ? 2 2

所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 19. (本小题满分 16 分) 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? a (a ? 2, x ? R ) , g ( x) ? e x , h( x) ? (1)当 a ? 1 时,求 h( x) 的单调区间 (2)若 h( x) 在 x ? ?1,?? ? 上是递减的,求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 a ,使 h( x) 的极大值为 3?若存在,求 a 的值;若不存在,请说明理由 解: (1)当 a ? 1 时, h( x) ?

f ( x) g ( x)

x2 ? x ?1 ? x2 ? x ? ,则 h ( x ) ? ex ex

令 h ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;令 h ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 0 所以 h( x) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (??,0) , (1,??) (2)由 h( x) 在 x ? ?1,?? ? 上是递减的,得 h ?( x) ? 0 在 ?1,?? ? 上恒成立, 即 ? x ? (2 ? a ) x ? 0 在 ?1,?? ? 上恒成立,解得 a ? 1 ,又因为 a ? 2 ,
2

所以实数 a 的取值范围为 ?1,2? (3) h ?( x) ?

? x 2 ? (2 ? a) x ,令 h ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 2 ? a ex

由表可知, h( x) 的极大值在 x ? 2 ? a 处取到,即 h(2 ? a ) ? (4 ? a )e 设 r ( a ) ? ( 4 ? a )e
a ?2

a ?2



,则 r ?(a ) ? (3 ? a )e

a ?2

? 0 ,所以 r ( x) 在 (??, 2?上单调递增

? r (a ) ? r (2) ? 2 ,所以不存在实数 a ,使 h( x) 的极大值为 3
20. (本小题满分 16 分)

已知 ? x ? 1? ? a 0 ? a1 ? x ? 1? ? a 2 ? x ? 1? ? ? ? a n ? x ? 1? ( n ? 2, n ? N * )
n 2 n

(1)当 n ? 5 时,求 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 的值; ( 2 ) 设 bn ?

a2 , Tn ? b2 ? b3 ? ? ? bn , 试 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 当 n ? 2 时 , 2 n ?3

Tn ?

解析:(1) a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? f ?2 ? ? f ?1? ? 35 ? 2 5 (2)
2 n?2 ( x ? 1) n ? [2 ? ( x ? 1)]n ? a2 ? Cn 2 ? n(n ? 1)2 n ?3 ? bn ? n(n ? 1)

n?n ? 1??n ? 1? 3

2 ? 3 ?1 ? 2 ,结论成立 3 k ? k ? 1?? k ? 1? ②假设当 n ? k (k ? N* ) 时,命题成立,即 Tk ? 3
①当 n ? 2 时, b2 ? 2 ? 1 ? 2 , T2 ? 则当 n ? k ? 1(n ? N ) 时
*

Tk ?1 ? Tk ? bk ?1 ?

k (k ? 1)(k ? 1) k (k ? 1)(k ? 1) ? 3(k ? 1)k ? (k ? 1)k ? 3 3 k (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1][(k ? 1) ? 1] ? ? 3 3

? 当 n ? k ? 1 时,命题成立. ? 命题对 ?n ? 2 成立


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