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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结


三角函数典型考题归类
1.根据解析式研究函数性质 例 1(天津理)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4 【相关高考 1】(湖南文)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ?

? π 3π ? ? ?

? ?

π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ?

求:(I)函数 f ( x ) 的最小正周期;(II)函数 f ( x ) 的单调增区间. 【相关高考 2】(湖南理)已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区 间. 2.根据函数性质确定函数解析式

0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的 例 2(江西)如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤
最小正周期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

π 2

y

?π ? (2)已知点 A ? , 0 ? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, ?2 ?
当 y0 ?

3
O
A

P

x

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

【相关高考 1】(辽宁)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

π? π? ? 2 ?x ,x ? R (其中 ? ? 0 ),(I) ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 6? 6? 2 ?
π ,求函数 2

求函数 f ( x ) 的值域; (II)(文)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为

y ? f ( x) 的单调增区间.
(理) 若对任意的 a ? R , 函数 y ? f ( x) ,x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅有两个不同的交点, 试确定 ? 的值(不必证明),并求函数 y ? f ( x),x ? R 的单调增区间. 【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值.

3.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα=
1 π 13 ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β. 7 2 14

【相关高考 1】(重庆文)已知函数 f(x)=

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?

.(Ⅰ)求 f(x)的定义域;(Ⅱ)若角 a 在第一象限,且

2

)

3 cos a ? , 求f(a)。 5

【相关高考 2】(重庆理)设 f ( x ) = 6 cos2 x ? 3 sin 2 x (1)求 f( x )的最大值及最小正周期;(2)若锐角 ? 满足

4 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值. 5
4.三角形中的函数求值 例 4(全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小;(文)(Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.(理)(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 【相关高考 1】(天津文)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (Ⅰ)求 sin B 的值;(Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

4 . 5

? ?

?? ? 的值. 6?
1 3 ,tan B ? . (Ⅰ) 求角 C 的大小;文 (Ⅱ)若 AB 边的长为 17 , 4 5

【相关高考 2】 (福建)在 △ ABC 中,tan A ?

求 BC 边的长.理(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 5.三角与平面向量 例 5(湖北理)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0≤ AB ? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .(I)求 ? 的取值范 围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?

??? ?

??? ?

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. 4 ? ?

【相关高考 1】(陕西)设函数 f ?x? ? a ? b ,
?? ? 其中向量 a ? (m, cos2x),b ? (1 ? sin 2x,1), x ? R ,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ,2 ? , ?4 ? (Ⅰ)求实数 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0).

(文)(1)若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值;(理)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;(2)若 c ? 5 ,求 sin∠A 的值. 6 三角函数中的实际应用 例 6(山东理)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1

处时,乙船位于甲船的北偏西 105? 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行 到甲船的北偏西 120? 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 【相关高考】(宁夏)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D .现测 得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB . 北

120? A 2

B2

B1
乙 7.三角函数与不等式 例 7(湖北文)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ?

105? A 1


?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; ?4 ? ?4 2?

(II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 8.三角函数与极值
2 例 8(安徽文)设函数 f ? x ? ? ? cos x ? 4t sin

?π π? ? ?

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4, x ? R 2 2

其中 t ≤1,将 f ?x ? 的最小值记为 g(t). (Ⅰ)求 g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

三角函数易错题解析
例题 1 已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、 例题 2

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? , cos ),则角 ? 的最小值为( 3 3 11? D、 6
2

)。

A, B, C 是 ? ABC 的三个内角, 且 tan A, tan B 是方程 3x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实数根, 则 ? ABC 是 ( A、钝角三角形
2



B、锐角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形

例题 3 已知方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? , 且? 、 ? ? ? ?

? ?? ? ? ?? , ? ,则 tan 的值是_________________. 2 ? 2 2?

例题 4 函数 f ( x) ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为 2,则 a ? ______, b ? _______。 例题 5 函数 f(x)=

sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x

例题 6 若 2sin2α ? sin

2

? ? 3sin ? , 则sin 2 ? ? sin 2 ? 的取值范围是

例题 7 已知 ?? ? ? ? ? ,求 y ? cos? ? 6sin? 的最小值及最大值。 例题 8 求函数 f ( x) ?

2 tan x 的最小正周期。 1 ? tan 2 x

例题 9 求函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?

4

? x) ? 3 的值域 3 4

例题 10 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数, 其图像关于点 M ( ? ,0) 对称, 且在区 间[0,

? ]上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 2

2011 三角函数集及三角形高考题
1.(2011 年北京高考 9)在 ? ABC 中,若

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

2 2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin Acos A ? cos B ?

1 (A)- 2

1 (B) 2

(C) -1

(D) 1

? f ( x ) ? cos ? x ( ? ? 0) y ? f ( x ) 3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 ,将 的图像向右平移 3 个单位长度后,所得的
图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,则 y=_______.

f ( x) ? f ( ) f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) ? 6 对 x ? R 恒成立,且 6 .( 2011 年安徽高考 9 )已知函数 ,其中 为实数,若
f ( ) ? f (? ) 2 ,则 f ( x) 的单调递增区间是

?

?

? ?? ? k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 3 6? (A) ?

?? ? k? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 2? (B) ?
? ? ? k? ? , k ? ? ( k ? Z ) ? 2 ? (D) ?

? 2? ? ? k? ? , k ? ? (k ? Z ) ? 6 3 ? ? (C) ?

2 2 2 7.(2011 四川高考 8)在△ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是

(0, ] (A) 6

?

[ ,? ) (B) 6

?

(0, ] 3 (C)

?

[ ,? ) (D) 3

?

f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
1.(2011 年北京高考 17)已知函数

?
6

) ? 1.

? ? ?? ? , ? ? f ( x ) f ( x ) 6 4 ? 上的最大值和最小值。 ? (Ⅰ)求 的最小正周期;(Ⅱ)求 在区间
cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b , 3. (2011 年山东高考 17) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知
sin C 1 cos B ? , b ? 2 4 (Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 ,求 ?ABC 的面积 S。
5. (2011 年全国卷高考 18) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B . (Ⅰ)求 B;(Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .
0

6.(2011 年湖南高考 17)在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. (I)求角 C 的大小;(II)求 1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R . 7.(2011 年广东高考 16)已知函数
f(
(1)求

?

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.
f ( x) ? sin( x ? 7? 3? ) ? cos( x ? ) 4 4 ,x ? R. cos(? ? ? ) ? 4 4 ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 5, 5, 2 .求证:

8.(2011 年广东高考 18)已知函数 (Ⅰ)求
f ( x)

的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知

[ f (? )]2 ? 2 ? 0 .

9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值;(2)若 ,求 sin C 的值.

b 10.(2011 高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos A= 2 a。(I)求 a ;(II)
2

若 c2=b2+ 3 a2,求 B。

1 a? 1 ,b?2 ,c o sC? 4 11. (2011 年湖北高考 17)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知
) 的值。 (I) 求 ?ABC 的周长;(II)求 cos(A?C
cos 2C ? ? 1 4

12. (2011 年浙江高考 18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (I)求 sinC 的值;(Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 2011 三角函数集及三角形高考题答案 1.(2011 年北京高考 9)在 ? ABC 中,若

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

2 2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin Acos A ? cos B ?

1 (A)- 2

1 (B) 2

(C) -1

(D) 1

? 3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后,所得的
图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

4.(2011 全国卷),设函数

(A)y=



单调递增,其图像关于直线

对称

(B)y=



单调递增,其图像关于直线

对称

π π (C)y= f (x) 在(0, 2 )单调递减,其图像关于直线 x = 4 对称 π π (D)y= f (x) 在(0, 2 )单调递减,其图像关于直线 x = 2 对称
5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,则 y=_______.

f ( x) ? A sin (
2.(2011 年浙江高考 18)已知函数

?
3

x ? ?)

,x? R,A ? 0 ,

0 ?? ?

?

2 . y ? f ( x) 的部分图像,如

图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及 的值;(Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) ,

?PRQ ?

2? 3 ,求 A 的值.

3. (2011 年山东高考 17) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b ,

sin C 1 cos B ? , b ? 2 4 (Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 ,求 ?ABC 的面积 S。

1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 , 4. (2011 年安徽高考 16) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边长, a= 3 , b= 2 ,
求边 BC 上的高. 5. (2011 年全国卷高考 18) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B . (Ⅰ)求 B;(Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .
0

6.(2011 年安徽高考 17)在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. (I)求角 C 的大小;(II)求 1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R . 7.(2011 年广东高考 16)已知函数
f(
(1)求

?

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.
f ( x) ? sin( x ? 7? 3? ) ? cos( x ? ) 4 4 ,x ? R. cos(? ? ? ) ? 4 4 ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 5, 5, 2 .求证:

8.(2011 年广东高考 18)已知函数 (Ⅰ)求
f ( x)

的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知

[ f (? )]2 ? 2 ? 0 .

9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值;(2)若 ,求 sin C 的值.


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