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2013年高考数学试题(4)数列


2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
1.(安徽理科第 18 题,文科第 21 题)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构 成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ?tan an ?1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 解: (1)设这 n ? 2 个实数组成的数列为 1, c1 , c2 ,? , cn ,100 , 则 Tn ? 1 ? c1 ? c2 ? ? cn ?100 ,由等比数列的性质有

? 100 ) 1?100 ? c1 ? cn ? c2 ? cn?1 ? ? ? cn ? c1 ,? (Tn ) 2 ? (1?100 ) ? (c1 ? cn )? (cn ? c1 )( ?1
? (100 ) n ? 2 ,而这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,? Tn ? 10 n ? 2

? an ? lg Tn =lg10n ? 2 ? n ? 2
(2)由 tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? 可得: 1 ? tan? tan ?

1 ? tan? tan ? ?

tan? ? tan ? , tan(? ? ? )

所以 1 ? tan an tan an ?1 ?

tan an ?1 ? tan an tan an ?1 ? tan an ? tan(an ?1 ? an) tan1

所以 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? tan a1 tan a2 ? ? ? tan an tan an ?1

?

tan(n ? 3) ? tan 3 1 ?n [tan an?1 ? tan a1 ] ? n ? tan1 tan1

n 2(安徽文科第 7 题)若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??) ? (?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L a?? ?

?

(A) 15 (B) 12 (C ) ??? (D) ??? (7)A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一:分别求出前 10 项相加即可得出结论; 法二: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3 ,故 a? ? a? ? L a?? ? ??? ? ?? .故选 A. 3. (北京理科第 11 题) 在等比数列 ?an ?中,a1 ?

1 ,a 4 ? ?4 , 则公比 q ? ______________; 2

a1 ? a2 ? ... ? an ? _________________。
3 解:可求得 q ? ?8, q ? ?2 , an ?

1 ? ( ?2) n ?1 ,?| an |? 2 n ? 2 2

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
1 ? [1 ? 2n ] 1 ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an |? 2 ? (2n ? 1) 1? 2 2
4. (北京理科第 20 题) 若数列 An ? a1 , a2, ..., an ( n ? 2) 满足 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2,..., n ? 1) , 数列 An 为 E 数列,记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an . (1)写出一个满足 a1 ? a5 ? 0 ,且 S ( A5 ) ? 0 的 E 数列 A5 ; (2)若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 a n =2011; (3)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? =0? 如果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。 解; (1)可以用树图结构写出满足条件的数列,答案不唯一,如: 0,1,2,10;0,1,0,1,0. 等都是 符合条件的数列。 (2)必要性:因为 E 数列 An 是递增数列,所以 ak ?1 ? ak ? 1 ,故 An 是首项为 12,公差为 1

) 的等差数列,? a2000 ? a1 ? (2000 ? 1 ?1 ? 2011
充分性:由已知条件得: a2000 ? a1999 ? 1; a1999 ? a1998 ? 1,?, a2 ? a1 ? 1 以上各式相加得: a2000 ? a1 ? 1999 ? 2011 ,又 a n =2011,故以上各等号同时成立。 故 ak ?1 ? ak ? 1 ,从而数列为递增数列。 (3)令 ck ? ak ?1 ? ak , 则ck ? 1, 或ck ? ?1 ,以上各式相加得:

c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ? (an ? an?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? an ? a1 ? an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ,? S ( An ) ? na1 ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? ? ? 2cn?2 ? cn?1 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1 ? [( n ? 1)(1 ? c1 ) ? (n ? 2)(1 ? c2 ) ? ? ? (1 ? cn?1 )]
? n(n ? 1) ? [( n ? 1)(1 ? c1 ) ? (n ? 2)(1 ? c2 ) ? ? ? (1 ? cn?1 )] 2

因为 ck ? ?1 ,?1 ? ck 为偶数,? [( n ? 1)(1 ? c1 ) ? (n ? 2)(1 ? c2 ) ? ? ? (1 ? cn ?1 )] 为偶数

S ? An ? =0 则必须

n(n ? 1) 为偶数,即 n ( n ? 1) 是 4 的倍数,? n ? 4m 或 n ? 4m ? 1 2

, , , 当 n ? 4m 时,数列 0,1 0,?1,0,1,0,?1? 满足条件,当 n ? 4m ? 1 时, 0,1 0,?1,0,1,0,?1 0?

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数列满足条件,当 n ? 4m ? 2, n ? 4m ? 3 时,满足条件的数列不存在。 5.(北京文科 12)在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ?

1 , a4 ? 4, 则公比 q ? 2



a1 ? a2 ??? an ?
答案: 2,

.

2n ? 1 2

6.(北京文科 20)若数列 A : a1 , a2, ? an (n ? 2) 满足 ? ak ?1 ? ak ?? ? (k ? 1, 2, ?, n ? 1) ,则 称 An 为 E 数列。记 S ( An ) ? a1 ? a2 ??? an 。 (1)写出一个 E 数列 A5 满足 a1 ? a3 ? 0 ; (2)若 a1 ? 12, n ? 2000 ,证明: E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an ? 2011 ; (3)在 a1 ? 4 的 E 数列 An 中,求使得 S ( An ) ? 0 成立的 n 的最小值。 解: (1)0,1,0,1,0;0,-1,0,1,0 等,答案不唯一。 (2)必要性:因为 E 数列 An 是递增数列,所以 ak ?1 ? ak ? 1 ,故 An 是首项为 12,公差为 1

) 的等差数列,? a2000 ? a1 ? (2000 ? 1 ?1 ? 2011
充分性:由已知条件得: a2000 ? a1999 ? 1; a1999 ? a1998 ? 1,?, a2 ? a1 ? 1 以上各式相加得: a2000 ? a1 ? 1999 ? 2011 ,又 a n =2011,故以上各等号同时成立。 故 ak ?1 ? ak ? 1 ,从而数列为递增数列。 (3)? a8 ? a7 ? 1 ? a6 ? 2 ? a5 ? 3 ? ? ? a1 ? 7 ? ?3 ,? a1 ? a2 ? ? ? ak ? 0 其中 k ? 2,3,4,5,6,7,8 ,因此对 a1 ? 4 的 E 数列 An 中使得 S ( An ) ? 0 的 n ? 9 而数列 ? 4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4 符合题意,故 n 的最小值为 9. 7.(福建文科 17)已知等差数列 ?an ?中, a1 ? 1, a3 ? ?3 (I)求数列 ?an ?的通项公式; (II)若数列 ?an ?的前 k 项和 S k ? ?35 ,求 k 的值. 解: (1) an ? 3 ? 2n ; (2) k ? 7 。

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8.(广东 11)等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1 , ak ? a4 ? 0 ,则

k?
方 法

. 1 : 由

S9 ? S4 得 9 ? 36d ? 4 ? 6d

, 求 得

d ??

1 6

, 则

1 1 ak ? a4 ? 1 ? (k ? 1) ? (? ) ? 1 ? 3 ? (? ) ? 0 ,解得 k ? 10 6 6
方 法 2 : 由 S9 ? S4 得 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 , 即 5a7 ? 0 , a7 ? 0 , 即

a1 0? a ? 2a ? 0 ,即 k ? 10 4 7
9.(广东文科 11)已知 {an } 是递增等比数列, a 2 ? 2 , a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ?
2 2 解: a4 ? a3 ? a2 (q ? q) ? 2(q ? q) ? 4 ,即 q ? q ? 2 ? 0 ,又数列为递增数列,
2

? q ? 2, q ? ?1 (舍)
10.(湖北理科 13) 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节 的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积 为 升. 【答案】

67 66

解析:设该数列 ?a n ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,依题意

4 ? ?a1 ? 7d ? 3 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 3 4a1 ? 6d ? 3 ? ? ? ,即 ? ,解得 ? , ? ?3a1 ? 21d ? 4 ?a7 ? a8 ? a9 ? 4 ?d ? 7 ? 66 ?
则 a5 ? a1 ? 4d ? a1 ? 7d ? 3d ?

4 21 67 67 ? ? ,所以应该填 . 3 66 66 66

11.(湖北理科 19)已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a ( a ? 0) , a n ?1 ? rS n

(n ? N*, r ? R, r ? ?1) .
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若存在 k ? N ,使得 S k ?1 , S k , S k ? 2 成等差数列,试判断:对于任意的 m ? N ,
* *

且 m ? 2 , a m ?1 , a m , a m ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论. 解: 由已知 a n ?1 ? rS n 可得:an ? 2 ? rS n ?1 , (1) 两式相减可得:an ? 2 ? an ?1 ? r ( S n ?1 ? S n ) 即 an ? 2 ? (r ? 1)an ?1 ,又 a2 ? ra1 ? ra ,所以当 r ? 0 时,数列 ?a n ? 为 a,0,0,? ,当

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
r ? 0, r ? ?1 时,由已知 a ? 0 ,? an ? 0 ,?


an ? 2 ? r ? 1 ,? a2 , a3 ,? an ,? 成等比数 an ?1

?n ? 2 时, an ? a2 ? (r ? 1) n ?2 ? ar(1 ? r ) n ?2 ,数列 ?a n ? 的通项公式为

?a, (n ? 1) an ? ? n?2 ?ar(1 ? r ) (n ? 2)
(2)对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , a m ?1 , a m , a m ? 2 成等差数列,证明如下:
*

由(1)知,当 r ? 0 时,数列 ?a n ? 为 a,0,0,? ,结论显然成立,当 r ? 0, r ? ?1 时,

Sk ?

ak ?1 ? a(1 ? r ) k ?1 ,由 S k ?1 , S k , S k ? 2 成等差数列知, 2S k ? S k ?1 ? S k ? 2 r

? 2a(1 ? r ) k ?1 ? a(1 ? r ) k ? a(1 ? r ) k ?1 ,化简得: (1 ? r ) ? (1 ? r ) 2 ? 2 ,即
r 2 ? 3r ? 0, 而 r ? 0 ,?r ? ?3 ,此时 m ? 2 时,

am?1 ? am? 2 ? am ? (1 ? r ) ? am (1 ? r ) 2 ? ?2am ? 4am ? 2am ,
即 am ?1, am , am ? 2 成等差数列。 12.(湖北文科 9) 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容 积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第五节的容积为 A.1 升 B.

6 7 升 6 6

C.

4 7 升 4 4

D.

3 7 升 3 3

答案:B 13.(湖北文科 17)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S ,求证:数列 ? S n ?

n

? ?

5? ? 是等比数列。 4?

解: (1)设成等差数列的三个数分别是 a ? d , a, a ? d ,依题意得

a ? d ? a ? a ? d ? 15 ,解得 d ? 5 ,则数列 ?bn ?的 b3 , b4 , b5 分别是 7 ? d ,10, 18 ? d ,它
们成等比数列,则 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100 ,化简得: d ? 11d ? 26 ? 0 ,解得: d ? 2 或
2

d ? ?13 ,

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
数列 ?an ?为正数数列,?d ? 2 , ?bn ?的 b3 , b4 , b5 分别是 5,10,20 ,公比为 q ? 2

? bn ? b3 ? 2 n ?3 ? 5 ? 2 n ?3
(2)数 列 ?bn ? 是 以

5 为首项, 2 为公比的等比数列,其前 n 项和为 4

5 ? (1 ? 2 n ) 5 4 Sn ? ? (2n ? 1) 1? 2 4
? Sn ?
S 5 5 5 n 5? ? ? ? 2 ,? n ?1 ? ,所以数列 ? S n ? ? 是等比数列。 Sn 4 4 4 4? ?
*

14.(湖南理科 12)设 Sn 是等差数列 {an }( n ? N ) 的前 n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7 ,则

S5 ? ______
答案:25 解析:由 a1 ? 1, a4 ? 7 可得 a1 ? 1, d ? 2, an ? 2n ? 1,所以 S5 ?

(1 ? 9) ? 5 ? 25 。 2

15.(湖南文科 20)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使 用过程中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年 开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 n

M 更新,证明:须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n;
当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 为等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( ) n ?6 ; 4

?130 ? 10 n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 。 3 n ?6 ?70 ? ( 4 ) , n ? 7 ?
(II)设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ? 1), An ? 120 ? 5(n ? 1) ? 125 ? 5n; 当 n ? 7 时,

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
3 3 3 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4 3 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 An ? . n
因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新. 16.(江西理科 5)已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足: S n ? S m ? S n? m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 ? ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55

答案:A

解析: 令 m ? 1 ,则 S n ?1 ? S n ? S1 ? a1 ? 1 ,? ?S n ?是等差数列,则有

S n ? S1 ? (n ? 1) ? n ,? a10 ? S10 ? S9 ? 1
17.(江西理科 18)已知两个等比数列 ?an ?, ?bn ?,满足

a1 ? a(a ? 0), b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 .
(1)若 a =1,求数列 ?an ?的通项公式; (2)若数列 ?an ?唯一,求 a 的值.

, .解: (1)当 a ? 1 时, b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 ,又? ?a n ? ?bn ? 为等比数列,
不妨设 ?an ?公比为 q1 ,由等比数列性质知: b2 ? b1b3 ? ( 2 ? a 2 ) ? 2?3 ? a3 ? ,同时又
2 2



a2 ? a1q1 , a3 ? a1q1 ? ?2 ? a1q1 ? ? 2 3 ? a1q1 ? ?2 ? q1 ? ? 2 3 ? q1 ? q1 ? 2 ? 2
2 2 2 2 2

?

?

?

?

所以: an ? 2 ? 2

?

?

n ?1

,n ?1

(2) ?an ?要唯一,? 当公比 q1 ? 0 时,由 b1 ? 1 ? a, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 且 b2 ? b1b3 ? ?2 ? aq1 ? ? ?1 ? a ? 3 ? aq1
2
2

?

2

? ? aq
2

2

1

? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,(*)

? a ? 0 ,? aq1 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ? ? ? ?4a ? ? 4a?3a ? 1? ? 4a?a ? 1? ? 0 恒成立,
2

此时(*)式有两个不同的实数解,若要使(*)式符合条件的解只有一个,则方程必有一个根

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
为零,? 当公比 q1 ? 0 时, a ? 综上: a ?

1 1 。等比数列 ?an ?首项为 a ? ,此时 q1 ? 4 。 3 3

1 。 3
*

18.(四川理科 8)数列 ?an ?的首项为 3 , ?bn ?为等差数列且 bn ? an ?1 ? an (n ? N ) .若则

b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8
(A)0 答案:B 解 析 : (B)3 (C)8 (D)11

?bn ?

为 等 差 数 列 , 设 公 差 为 d , 则 d?

b10 ? b3 14 ? ?2 , 10 ? 3 7

?bn ? b3 ? (n ? 3) ? 2 ? 2n ? 8 ? a8 ? (a8 ? a7 ) ? (a7 ? a6 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? b7 ? b6 ? ? ? b1 ? a1

7(b1 ? b7 ) ? a1 ? 7a4 ? a1 ? a1 ? 3 2 19.(四川理科 20)设 d 为非零实数, 1 1 2 n n an ? [Cn d ? 2Cn d 2 ? ? ? (n ? 1) ? Cn ?1d n?1 ? nCn d n ]( n ? N * ) n ?
(1)写出 a1 , a2 , a3 并判断 ?an ?是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由; (2)设 bn ? ndan (n ? N ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn .
*

解析: (1) a1 ? d , a2 ?

1 1 2 [C2 d ? 2C2 d 2 ] ? d ? d 2 ? d (d ? 1) 2

1 1 3 a3 ? [C3 d ? 2C32 d 2 ? 3C3 d 3 ] ? d ? 2d 2 ? d 3 ? d (d 2 ? 2d ? 1) ? d (d ? 1) 2 3
k 当 n ? 2 时, kCn d k ? k ?

n! (n ? 1)! k ?1 dk ? n? ? d k ? nCn ?1 d k k!?(n ? k )! (k ? 1)!?[( n ? 1) ? (k ? 1)!]

其中 k ? 1,2,? , n ,将上式代入 an 中得:
0 2 n ?1 0 1 n ?1 an ? Cn ?1d ? Cn?1d 2 ? ? ? Cn ?1 d n ? d (Cn?1 ? Cn ?1d ? ? ? Cn ?1 d n ?1 )

? d (1 ? d ) n ?1 (n ? 2)

? ? d ? 0 , 当 d ? ?1 时, ? 上式对 n ? 1 也成立, a n ? 0 , 且
此时,数列 ?an ?是以 d 为首项, 1 ? d 为公比的等比数列;

an ?1 d (1 ? d ) n ? ? 1? d an d (1 ? d ) n ?1

当 d ? ?1 时, a1 ? ?1 , n ? 2 时, a n ? 0 , ?an ?不是等比数列。

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(2)当 d ? ?1 时, b1 ? da1 ? 1 ,当 n ? 2 时, bn ? 0 ,此时数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ? 1 。 当 d ? ?1 时, an ? d (1 ? d )
n ?1

, bn ? ndan ? nd (1 ? d )
2

n ?1

? d 2 [n ? (1 ? d ) n ?1 ]

? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? d 2 [1 ? 2(1 ? d ) ? 3(1 ? d ) 2 ? ? ? n ? (1 ? d ) n?1 ] ?? ①
①式乘以 1 ? d 得:

(1 ? d ) S n ? d 2 [(1 ? d ) ? 2(1 ? d ) 2 ? 3(1 ? d )3 ? ? ? n ? (1 ? d ) n ] ??
① ? ②式得: ? dSn ? d [1 ? (1 ? d ) ? (1 ? d ) ? ? ? (1 ? d )
2 2 n ?1



? n ? (1 ? d ) n ]

1 ? (1 ? d ) n (1 ? d ) n ? 1 ? nd (1 ? d ) n ? d 2[ ? n ? (1 ? d ) n ] ? d 2 ? 1 ? (1 ? d ) d
? S n ? (1 ? d ) n (nd ? 1) ? 1 ,综合以上两种情况可得: S n ? (1 ? d ) n (nd ? 1) ? 1 。
20.(四川文科 9)数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , an ?1 ? 3S n ( n ? 1 ) ,则 a6 ? (A) 3? 4 答案:A 解析:由 an ?1 ? 3S n ,得 an ? 3S n ?1 ( n ? 2 ) ,相减得 an ?1 ? an =3 ( S n ? S n ?1 ) = 3 an , 则 an ?1 ? 4an (n ≥ 2) ,而 a1 ? 1 , a 2 ? 3 ,则 a6 ? a2 ? 4 ? 3 ? 4 ,选 A.
4 4
4

(B) 3 ? 4 ? 1
4

(C) 4

4

(D) 4 ? 1
4

21.(四川文科 20)已知 {an } 是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, S n 为它的前 n 项和. (1)当 S1 、 S 3 、 S 4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 S m 、 S n 、 S l 成等差数列时,求证:对任意自然数 k, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等 差数列. 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、 解决问题的 能力. 解: (1)由已知, an ? aq n ?1 ,因此 S1 ? a , S3 ? a(1 ? q ? q 2 ) , S4 ? a(1 ? q ? q 2 ? q3 ) . 当 S1 、 S 3 、 S 4 成等差数列时, S1 ? S4 ? 2S3 ,可得 aq3 ? aq ? aq 2 .? aq ? 0
1? 5 . 2 (2)若 q ? 1 ,则 {an } 的每项 an ? a ,此时 am ? k 、 an ? k 、 al ? k 显然成等差数列.

? q 2 ? q ? 1 ? 0 .解得 q ?

若 q ? 1 , 由 S m 、 S n 、 S l 成 等 差 数 列 可 得 Sm ? S? 2 l
a( q ? 1 ) ? q ?1
m

S, 即 n

a (q ? ? q 1 ?
l

1 ) a?q ( 2 . ?q 1
n

1 )

整理得 q m ? ql ? 2q n .因此, am? k ? al ? k ? aq k ?1 (q m ? ql ) ? 2aq n ? k ?1 ? 2an ? k . 所以, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差数列. 22.(江西文科 5).设 ?an ?为等差数列,公差 d ? ?2 ,Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
( ) A.18 答案:B B.20 C.22 D.24 解析: S10 ? S11 ,则 a11 ? 0 ,? a11 ? a1 ? 10 d ? 0,? a1 ? 20

23(江西文科 21)(本小题满分 14 分) (1)已知两个等比数列 ?an ?, ?bn ? ,满足 a1 ? a?a ? 0?, b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 , 若数列 ?an ?唯一,求 a 的值; (2) 是否存在两个等比数列 ?an ?, ?bn ? , 使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差 不 为 0
?

的等差数列?若存在,求 ?an ?, ?bn ? 的通项公式;若 不 存在,说明理由.
?

解: (1) ?an ?是等比数列,设公比为 q1 , q1 ? 0 时,由 b1 ? 1 ? a, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 且 b2 ? b1b3 ? (2 ? a1q) 2 ? (1 ? a)(3 ? a1q 2 ) ? aq1 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,
2
2

? a ? 0 ,? aq1 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,又 ? ? ?4a ? ? 4a?3a ? 1? ? 0 ? 4a?a ? 1? ? 0 ,
2

2

若数列 ?an ?唯一,则方程必有一根为 0 ,此时可推得 3a ? 1 ? 0, a ? (2)假设存在这样的等比数列 ?an ?, ?bn ? 的公比分别为 q1 , q2 ,则

1 。 3

?2(b1q2 ? a1q1 ) ? b1 ? a1 ? (b1q2 2 ? a1q12 ) ? ? ?2(b1q2 2 ? a1q12 ) ? b1q2 ? a1q1 ? (b1q23 ? a1q13 ) ?
第一式乘以 q2 减去第二式:整理得 a1 (q1 ? q2 )( q1 ? 1) ? 0 ,又 a1 ? 0 ? q1 ? q2 或 q1 ? 1
2

当 q1 ? q2 时,由以上一式得: q1 ? q2 ? 1 或 a1 ? b1 ,此时 ?an ? bn ? 是常数列,公差为 0 ; 当 q1 ? 1 时,代入一式得: b1 ? 0 或 q2 ? 1 ,此时 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? b3 ? a3 ? b4 ? a4 不符合题意,所以不存在两个等比数列 ?an ?, ?bn ? ,使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成 公差不为 0 的等差数列。 24.(浙江理科 19)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 为 a ( a ? R ),设数列的前 n 项 和为 Sn ,且

1 1 1 , , 成等比数列。 a1 a2 a4

(1)求数列 {an } 的通项公式及 Sn (2)记 An ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ... ? ? ? ? ... ? , Bn ? ? ? ,当 n ? 2 时,试比较 a1 a2 a22 a2n?1 S1 S2 S3 Sn

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
An 与 Bn 的大小.
解: (1)设数列 ?an ?的公差为 d ,则由已知,

1 1 1 , , 成等比数列, a a ? d a ? 3d

1 2 1 1 2 2 ) ? ? ,所以 (a ? d ) ? a ( a ? 3d ) ,化简得: d ? ad a?d a a ? 3d n(n ? 1)a 而 d ? 0 ,所以 d ? a ,? an ? a1 ? (n ? 1)d ? na , S n ? 。 2 ?(
(2)由(1)知

1 2 1 2 1 1 ? ? ? ?[ ? ] , a2 n?1 ? a ? 2 n ?1 则 S n a n(n ? 1) a n n ? 1

An ?

1 1 1 1 1 1 1 2 1 ?? ? ? ?? ? ? ? [1 ? ] , Bn ? ? ? a1 a2 a22 a2n?1 S1 S 2 Sn a n ?1

1 1 ? ( )n 1 2 ? 2 ? [1 ? ( 1 ) n ] , ? ? a 1? 1 a 2 2
当 n ? 2 时, 2 ? (1 ? 1) ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? n ? 1 ,
n n 0 1 n 0 1

所以

1 1 ? ,故当 a ? 0 时, Bn ? An ,当 a ? 0 时, Bn ? An 。 n 2 n ?1
? ? 2 n? 3 ?

25(浙江文科 17)若数列 ? n( n ? 4)( ) ? 中的最大项是第 k 项,则 k =_______________。 【答案】4
k k ?1 ? ?2? ?2? ?k ?k ? 4?? ? ? ?k ? 1??k ? 5?? ? ? ?3? ?3? 【解析】设最大项为第 k 项,则有 ? , k k ?1 ?2? ?2? ? ?k ?k ? 4?? 3 ? ? ?k ? 1??k ? 3?? 3 ? ? ? ? ? ?

? 2 ? 2 ?k ? 10 ?k ? 10 ∴? ? k ? 4. ?? ?k 2 ? 2k ? 9 ? 0 ?1 ? 10 ? k ? 1 ? 10 ? ?
26(浙江文科 19) (本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 (a1 ? R ), 且

1 1 1 , , 成等比数列。 a1 a2 a4
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,试比较
?

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? 与 的大小。 a 2 a 2 2 a 23 a2 n a1

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
解: (1)设数列 ?an ?的公差为 d ,则由已知,

1 1 1 , , 成等比数列, a a ? d a ? 3d

?(

1 2 1 1 2 2 ) ? ? ,所以 (a ? d ) ? a ( a ? 3d ) ,化简得: d ? ad a?d a a ? 3d

而 d ? 0 ,所以 d ? a ,? an ? a1 ? (n ? 1)d ? na (2)由

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? n ,则 ? ? ? ... ? = ? ( ? 2 ??? n ) a2 n 2 ? a a 2 a2 a22 a23 a2n a 2 2 2

1 1 ? [1 ? ( ) n ] 1 2 2 ? 1 ? [1 ? ( 1 ) n ] , ? ? 1 a a 2 1? 2
(1)当 a ? 0 时,

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ; a2 a22 a23 a2n a1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? a2 a22 a23 a2n a1

(2)当 a ? 0 时,

26(山东理 20)等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
n

【解析】 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数 列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3
n n ?1

.
n ?1

n ?1 n n ?1 (Ⅱ) bn ? an ? (?1) ln an = 2 ? 3 ? (?1) ln 2 ? 3 = 2 ? 3

? (?1) n ? ln 2 ? (n ? 1) ln 3?

= 2?3

n ?1

? (?1)n ? (ln 2 ? ln 3) ? n ln 3?
S n ? 2 ? (1 ? 3 ? .... ? 3n ?1 ) ? ? ?1 ? 1 ? 1 ? 1... ? ( ?1) n ? (ln 2 ? ln 3) ? ?

?

? ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4.... ? (?1) n n ? ln 3 ? ?

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
当 n 为偶数时, Sn ? 2 ?

1 ? 3n n n ? ln 3 ? 3n ? ln 3 ? 1 1? 3 2 2 1 ? 3n n ?1 n ?1 ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 ? 3n ? ln 3 ? ln 2 ? 1 1? 3 2 2

当 n 为奇数时, Sn ? 2 ?

? n n ?3 ? 2 ln 3 ? 1,(n为偶数) ? ? Sn ? ? ?3n ? n ? 1 ln 3 ? ln 2 ? 1,(n为奇数) ? ? 2
27(山东文 20)等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2 n .
n

【解析】 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数 列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3
n n ?1

.

n n?1 n?1 (Ⅱ)因为 bn ? an ? (?1) ln an = 2 ? 3 ? (?1) ln 2 ? 3

= 2?3

n ?1

? ? ?1? ?? ln 2 ? ln 3? ? n ln 3? ? ?
n

= 2?3

n ?1

? ? ?1? ? ln 2 ? ln 3? ? ? ?1? ? n ? ln 3
n n

所以 S2 n ? b1 +b2 +b3 +....b2 n =2 1 ? 3 ? ... ? 3

?

2 n?1

? ? ??1 ?1 ?1 ?1 ? ... ? ? ?1? ? ?ln 2 ? ln 3? + ? ?
2n

??1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? ?1?2n ? 2n? ln 3 ? ?
= 2?

1 ? 32 n ? n ln 3 ? 32 n ? n ln 3 ? 1 1? 3

28(辽宁理 17)已知等差数列 ?an ?满足 a2 ? 0 , a6 ? a8 ? ?10

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和。 n ?1 ? ?2 ?

解: 设等差数列 ?an ?的公差为 d , (1) 由已知条件可得:? 故数列 ?a n ? 的通项公式为 an ? 2 ? n ; (2)设数列 ? 当 n ? 1 时,

?a1 ? d ? 0 ?a1 ? 1 , 解得 ? ?d ? ?1 ?2a1 ? 12 d ? ?10

a a a ? an ? 的前 n 项和为 S n ,即 S n ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? nn 1 ,故 S1 ? 1 ,所以 2 n ?1 ? 2 2 2? ?2 ?

S n a1 a2 a a ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n ,两式相减有: n ?1 2 2 2 2 2n Sn a ?a a a ?a a ?a ? a1 ? 2 1 ? 3 2 2 ? ? ? n n?1n?1 ? n ,又 an ? an ?1 ? ?1 2 2 2 2 2n 1 1 [1 ? ( ) n ?1 Sn an 1 1 1 2?n n 2 所以 ? n ? n ? a1 ? ( ? 2 ? ? ? n?1 ) ? n ? 1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n 所以 S n ? n ?1 2
29(辽宁文 5)若等比数列 ?a n ?满足 an ? an ?1 ? 16 ,则公比为
n

(A)2 答案:B

(B)4

(C)8

(D)16

30(辽宁文 15)Sn 为等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, S 2 ? S 6 , a4 ? 1 ,则 a5 ? ____________。 答案: ? 1 31 (天津理 4) 已知 ?an ? 为等差数列, 其公差为 ? 2 , a7 是 a3 与 a9 的等比中项,S n 为 ?an ? 且 的前 n 项和, n ? N ,则 S10 的值为
*

A. ? 110 B. ? 90 答案:D 32(天津理 20) (本小题满分 14 分)

C.90

D.110

已知数列 {an } 与 {bn } 满足: bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, bn ?

3 ? (?1) n * , n ? N ,且 2

a1 ? 2, a2 ? 4 .
(Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ)设 cn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N ,证明: ?cn ? 是等比数列;
*

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(III)设 Sk ? a2 ? a4 ? ??? ? a2 k , k ? N , 证明:
*

?a
k ?1

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) . 6

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分.

?1, n为奇数 3 ? (?1) n , n ? N * , 可得 bn ? ? (I)解:由 bn ? 2 ?2,n为偶数
又 bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0,

当n=1时,a1 +a 2 +2a 3 =0,由a1 =2,a 2 =4,可得a 3 ? ?3; 当n=2时,2a 2 +a 3 +a 4 =0,可得a 4 ? ?5; 当n=3时,a 3 +a 4 +2a 5 =0,可得a 4 ? 4.
(II)证明:对任意 n ? N ,
*

a2 n ?1 ? a2 n ? 2a2 n ?1 ? 0, 2a2 n ? a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? 0,

① ② ③ ④
*

a2 n?1 ? a2 n? 2 ? 2a2 n?3 ? 0,
②—③,得

a2 n ? a2 n ?3 .

将④代入①,可得 a2 n?1 ? a2 n?3 ? ?(a2 n?1 ? a2 n?1 ) ,即 cn ?1 ? ?cn (n ? N ) 又 c1 ? a1 ? a3 ? ?1, 故cn ? 0, 因此

cn ?1 ? ?1, 所以{cn } 是等比数列. cn
k

(III)证明:由(II)可得 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? (?1) , 于是,对任意 k ? N 且k ? 2 ,有
*

a1 ? a3 ? ?1, ?(a3 ? a5 ) ? ?1, a5 ? a7 ? ?1, ? (?1) k (a2 k ?3 ? a2 k ?1 ) ? ?1.
k 将以上各式相加,得 a1 ? (?1) a2 k ?1 ? ?(k ? 1), 即 a2 k ?1 ? (?1)
k ?1

(k ? 1) ,

此式当 k=1 时也成立.由④式得 a2 k ? (?1)

k ?1

(k ? 3).

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从而 S2 k ? (a2 ? a4 ) ? (a6 ? a8 ) ? ? ? (a4 k ?2 ? a4 k ) ? ?k ,

S2 k ?1 ? S2 k ? a4 k ? k ? 3.
所以,对任意 n ? N , n ? 2 ,
*

n Sk S S S S ? ? ( 4 m ?3 ? 4 m ?2 ? 4 m ?1 ? 4 m ) ? a m?1 a a4 m ?2 a4 m ?1 a4 m k ?1 k 4 m ?3

4n

? ?(
m ?1
n

n

2m ? 2 2m ? 1 2 m ? 3 2m ? ? ? ) 2m 2m ? 2 2m ? 1 2m ? 3
n 2 3 2 5 3 ? ) ? ?? ? 2m(2m ? 1) (2m ? 2)(2m ? 2) 2 ? 3 m?2 2m(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

? ?(
m ?1

1 n 5 3 ? ?? ? 3 m?2 (2m ? 1)(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 5 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3)
1 5 5 1 3 7 ? ? ? ? ? ? 3 6 2 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 6

33(天津文 11)已知 ?an ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和, n ? N ,
*

若 a3 ? 16, S20 ? 20, 则 S10 的值为_______ 答案:110 34(天津文 20)已知数列 {an }与{bn } 满足

bn?1 an ? bn an1 ? (? 2 n ? 1 , bn ) ? ?
(Ⅰ)求 a2 , a3 的值;

3 ? ( 1n)1 ? ? 2

? ,n

*

N , 1?a 且

2.

(Ⅱ)设 cn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N ,证明 {cn } 是等比数列;
*

(Ⅲ)设 S n 为 {an } 的前 n 项和,证明

S S S1 S2 1 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? n ? (n ? N * ). a1 a2 a2 n ?1 a2 n 3

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综 合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由 bn ?

?2, n为奇数, 3 ? (?1) n ?1 , n ? N * ,可得 bn ? ? 2 ?1, n为偶数,
n

又 bn ?1 an ? bn an ?1 ? ? ?2 ? ? 1 , 当 n ? 1时, a1 ? 2a2 ? ?1,由a1 ? 2, 可得a2 ? ? ; 当 n ? 2时, 2a2 ? a3 ? 5, 可得a3 ? 8. (Ⅱ)证明:对任意 n ? N
*

3 2

a2 n ?1 ? 2a2 n ? ?22 n ?1 ? 1
2a2 n ? a2 n ?1 ? 22 n ? 1




②-①,得 a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 3 ? 2 所以 {cn } 是等比数列。

2 n ?1

, 即cn ? 3 ? 22 n ?1 , 于是

cn ?1 ?4 cn

* (Ⅲ)证明: a1 ? 2 ,由(Ⅱ)知,当 k ? N 且k ? 2 时,

a2 k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? (a7 ? a5 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ?3 )

? 2 ? 3(2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 k ?3 ) ? 2 ? 3 ?
故对任意 k ? N , a2 k ?1 ? 2
* 2 k ?1

2(1 ? 4k ?1 ) ? 22 k ?1 1? 4

.

1 ? 22 k ?1 , k ? N * 2 k 因此, S2 k ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ) ? . 2 k ? 1 2 k ?1 于是, S2 k ? 1 ? S2 k ? a2 k ? ?2 . 2
由①得 2
2 k ?1

? 2a2 k ? ?22 k ?1 ? 1, 所以a2 k ?



S2 k ?1 S2 k ? ? a2 k ?1 a2 k

k ? 1 2 k ?1 k ?2 k ? 1 ? 22 k k 1 k 2 2 ? ? ? 2k ? 1? k ? k k . 2 k ?1 2k 1 2 2 2 ?1 4 4 (4 ? 1) 2 k ?1 ?2 2
*

对于 n=1,不等式显然成立. 所以,对任意 n ? N ,

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
S S S S S S S1 S2 S S ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? ( 1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? ( 2 n ?1 ? 2 n ) a1 a2 a2 n ?1 a2 n a1 a2 a3 a4 a2 n ?1 a2 n

1 1 1 2 1 n ? (1 ? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ? n ) 2 4 12 4 4 ? (4 ? 1) 4 (4 ? 1) 1 1 1 2 1 n ? n?( ? )?( 2 ? 2 2 ) ?? ? ( n ? n n ) 4 12 4 4 (4 ? 1) 4 4 (4 ? 1)
1 1 1 ? n?( ? ) ? n? . 4 12 3
35(全国大纲理 4、文 6)设 S n 为等差数列 ? an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,

Sk ? 2 ? Sk ? 24 ,则 k ?
(A)8 (B)7 (C)6 【答案】D 【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一 (D)5

Sk ? 2 ? Sk ? [(k ? 2) ?1 ?
k ?5.

(k ? 2)(k ? 1) k (k ? 1) ? 2] ? [k ?1 ? ? 2] ? 4k ? 4 ? 24 ,解得 2 2

解法二: Sk ? 2 ? Sk ? ak ? 2 ? ak ?1 ? [1 ? (k ? 1) ? 2] ? (1 ? k ? 2) ? 4k ? 4 ? 24 ,解得 k ? 5 . 36(全国大纲 20)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (1)求 ?a n ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n

1 ? an ?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:S n ? 1 .
k ?1

n

【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明, 考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】(1)由题设

1 1 ? ? 1, 1 ? a n ?1 1 ? a n

{ 即

1 1 1 } =1 ,故 =n . 是公差为 1 的等差数列. 又 1? a n 1? a1 1? a n

所以 an ? 1 ?

1 n

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(2) 由(Ⅰ)得 bn ?

1 ? an ?1 n

?

n ?1 ? n 1 1 , ? ? n ? 1g n n n ?1

Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1

n

n

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1 …………………………12 分 k k ?1 n ?1

【点评】 2011 年高考数学全国卷将数列题由去年的第 18 题后移,一改往年的将数列结合不等 式放缩法问题作为押轴题的命题模式, 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方 法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估 计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续. 37(全国大纲文 17) 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, 求 an 和 S n . 【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1 和公比 q 的方程,求出 a1 a1 和 q ,然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可。 【解析】设 ?an ? 的公比为 q ,由题设得

a1q ? 6 ? ? 2 ?6a1 ? a1q ? 30
解得 ?

…………………………………3 分

?a1 ? 3 ?a1 ? 2 或? , ?q ? 2 ? q ? 3
n ?1

…………………………………6 分

当 a1 ? 3, q ? 2 时, an ? 3 ? 2

, Sn ? 3 ? (2n ? 1) ;

当 a1 ? 2, q ? 3 时, an ? 2 ? 3

n ?1

, Sn ? 3n ? 1 ……………………………10 分
2

38(全国课标理 17)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式. (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ??? ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前项和. ? bn ?
2 2

2 2 【解析】 (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

1 . 9

由条件可知 q ? 0 ,故 q ?

1 . 3 1 1 .故数列 ?an ? 的通项式为 an ? n . 3 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a1q ? 1,所以 a1 ? (Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log 3 an

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? ?(1 ? 2 ? ??? ? n) ? ?


n(n ? 1) . 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ??? ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 . } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

39(陕西理 14)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树 相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领 取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米) . 【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题. 【解】 (方法一)设树苗放在第 i 个树坑旁边(如图) ,

1 2 ? ? i 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是

19

20

s ? (i ?1) ?10 ? (i ? 2) ?10 ? ? ? (i ? i) ?10 ? [(i ? 1) ? i] ?10 ? ? ? (20 ? i) ?10

? 10 ? [i ? i ?

i(i ? 1) (20 ? i)(i ? 1 ? 20) ? i ? (20 ? i ) ? ] 2 2

? 10(i 2 ? 21i ? 210) ,所以当 i ? 10 或 11 时, s 的值最小,最小值是 1000,所以往返路程
的最小值是 2000 米. (方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最 值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个 树坑旁,则有路程总和是 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 10 ?

19(1 ? 19) ? 2 ? 3800 ;树苗放在第 2

10 个(或第 11 个)树坑旁边时,路程总和是 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2

? 10 ?

9 ? (1 ? 9) 10 ? (1 ? 10) ? 2 ? 10 ? ? 2 ? 900 ? 1100 ? 2000 , 所 以 路 程 总 和 最 小 为 2 2

2000 米. 【答案】2000 如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交 40(陕西理、文 19) 曲线 y ? e 于点 Q1 (0,1) , 曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴
x

交于点 P2 .再从 P2 做 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
重 复 上述 过程 得到 一系列 点 : P , Q1 ; P2 , Q2 ; ? ; Pn , Qn , 记 Pk 点的 坐 标为 ( xk , 0) 1 ( k ? 0,1,2,?, n ) . (1)试求 xk 与 xk ?1 的关系( 2 剟k

n) ;

(2)求 | PQ1 | ? | P Q2 | ? | PQ3 | ?? ? | PnQn | . 1 2 3 【分析】 (1)根据函数的导数求切线方程,然后再求切线与 x 轴的交点坐标; (2)尝试求出 通项 | PnQn | 的表达式,然后再求和. 【解】 (1)设点 Pk ?1 的坐标是 ( xk ?1 ,0) ,∵ y ? e ,∴ y? ? e ,
x x

∴ Qk ?1 ( xk ?1 , e

xk ?1

) ,在点 Qk ?1 ( xk ?1 , e xk ?1 ) 处的切线方程是 y ? e xk ?1 ? e xk ?1 ( x ? xk ?1 ) ,

令 y ? 0 ,则 xk ? xk ?1 ? 1 ( 2 剟k

n) .

(2)∵ x1 ? 0 , xk ? xk ?1 ? ?1,∴ xk ? ?(k ? 1) , ∴ | Pk Qk |? e
xk

? e ? ( k ?1) ,于是有

| PQ1 | ? | P2Q2 | ? | PQ3 | ?? ? | PnQn | ? 1 ? e?1 ? e?2 ? ? ? e? ( k ?1) ? 1 3

1 ? e? n 1 ? e?1

?

e ? e1?n , e ?1 e ? e1?n . e ?1

即 | PQ1 | ? | P2Q2 | ? | PQ3 | ?? ? | PnQn | ? 1 3 41(陕西文 10)

植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米,开始 时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从 1 到 20 依次编号,为使各位同学从各自 树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( .... (A)⑴和⒇ (B)⑼和⑽ (C) ⑼和 ⑾ (D) ⑽和⑾ )

【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和;或根据路程和的变化规律直接得出结论. 【解】选 D (方法一) 选项 A 具体分析 ⑴和(20) : 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 3800 结论 比较各个 路程和可

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
(9): ? [(1 ? 2 ? ? ? 8) ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 11) ? 2] ? 2040 10 B (10): 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2 =2000 C D (11): 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2 =2000 (10)和(11):路程和都是 2000 知 D 符合 题意

(方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最 值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放 在第一个树坑旁,则有路程总和是 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 10 ? 苗放在第 10 个(或第 11 个)树坑旁边时,路程总和是

19(1 ? 19) ? 2 ? 3800 ;树 2

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2 ? 10 ?

? 900 ? 1100 ? 2000 ,所以路程总和最小为 2000 米.

9 ? (1 ? 9) 10 ? (1 ? 10) ? 2 ? 10 ? ?2 2 2
2

42(全国课标文 17)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式. (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ??? ? log3 an , 求数列 ?bn ? 的通项公式.
2 【解析】 (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 a3 ? 9a2 a6 得, a3 ? 9a4 ,所以 q ?
2 2 2

1 . 9

由条件可知 q ? 0 ,故 q ?

1 . 3 1 1 .故数列 ?an ? 的通项式为 an ? n . 3 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a1q ? 1,所以 a1 ? (Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ??? ? n) ? ?

n(n ? 1) . 2

43(上海理 18)设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形的面积 ( (

i ? 1, 2,?


) ,



{ An }























(A) {an } 是等比数列. (B) a1 , a3 ,? , a2 n ?1 ,? 或 a2 , a4 ,? , a2 n ,? 是等比数列. (C) a1 , a3 ,? , a2 n ?1 ,? 和 a2 , a4 ,? , a2 n ,? 均是等比数列.

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
(D) a1 , a3 ,? , a2 n ?1 ,? 和 a2 , a4 ,? , a2 n ,? 均是等比数列,且公比相同. 【答案】D 【解析】 Ai ? ai ai ?1 ,若 ? An ? 为等比数列,则

Ai ?1 ai ?1ai ? 2 ai ? 2 ? ? ? 定值,即数列 ?an ? 的 Ai ai ai ?1 ai

奇数项和偶数项分别为等比数列,且奇数项的公比和偶数项的公比相同.

b 44 上海理 23) ( 已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , n ? 2n ? 7 n ? N ) ( ,
*

将集合

{x | x ? an , n ? N *} ? {x | x ? bn , n ? N *} 中的元素从小到大依次排列,构成数列
c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? .
⑴ 求 c1 , c2 , c3 , c4 ; ⑵ 求证:在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,? , a2 n ,? ; ⑶ 求数列 {cn } 的通项公式. 【解析】⑴

c1 ? 9, c2 ? 11, c3 ? 12, c4 ? 13 ;

⑵证明:? 数列 ?cn ? 由 ? an ? 、?bn ? 的项构成,?只需讨论数列 ? an ? 的项是否为数列 ?bn ? 的 项.

? 对于任意 n ? N * , a2 n?1 ? 3(2n ? 1) ? 6 ? 6n ? 3 ? 2(3n ? 2) ? 7 ? b3n?2 ,
? a2 n?1 是 ?bn ? 的项.???7 分
下面用反证法证明: a2n 不是 ?bn ? 的项. 假设 a2n 是 ?bn ? 的项,设 a2n ? bm ,则 3 ? 2n ? 6 ? 2m ? 7 ,

m ? 3n ?

1 * ,与 m ? N 矛盾. 2

?结论得证.???10分
a ⑶? b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3, 2 k ?1 ? 6k ? 3, b3k ?1 ? 6k ? 5 a2 k ? 6k ? 6, b3k ? 6k ? 7, ? b3k ?2 ? a2 k ?1 ? b3k ?1 ? a2 k ? b3k , k ? 1, 2,3,?. ???14分

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
?b3k ? 2 ? a2 k ?1 , n ? 4k ? 3, ?b , n ? 4k ? 2, ? 3k ?1 所以, cn ? ? k ? N *. ?a2 k , n ? 4k ? 1, ?b3k , n ? 4k , ?
? 6k ? 3 (n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 (n ? 4k ? 2) ? cn ? ? , k ? N * .???18分 综上, ? 6k ? 6 (n ? 4k ? 1) ? 6k ? 7 ( n ? 4k ) ?
45(上海文 23)已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 (n? N ) ,将集合
*

{x | x ? an , n ? N *} ? {x | x ? bn , n ? N *} 中的元素从小到大依次排列,构成数列
c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? .
(1)求三个最小的数,使它们既是数列 {an } 中的项,又是数列 {bn } 中的项; (2) c1 , c2 , c3 ,?, c40 中有多少项不是数列 {bn } 中的项?说明理由; (3)求数列 {cn } 的前 4n 项和 S 4n ( n ? N ) .
*

【解析】⑴ 三项分别为 9,15, 21 .????????????4 分 ⑵ c1 , c2 , c3 ,?, c40 分别为

9,11,12,13,15,17,18,19, 21, 23, 24, 25, 27, 29,30,31,33,35,36,37, 39, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67 .????7分
? c1 , c2 ,?, c40 , 连续四项中恰有一个是数列 {an } 的项,但不是数列 {bn } 的项. ? c1 , c2 ,?, c40 , 中有10项不是数列 {bn } 中的项.????????????10分


? b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2 k ?1 , b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2 k ? 6k ? 6 ,

b3k ? 6k ? 7 且 6k ? 3 ? 6k ? 5 ? 6k ? 6 ? 6k ? 7

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
? 6k ? 3 ( n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 ( n ? 4k ? 2) ? , k ? N * .????????????????14分 ∴ cn ? ? 6k ? 6 ( n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k ) ?

c4 k ?3 ? c4 k ?2 ? c4 k ?1 ? c4 k ? 24k ? 21 .????????????????16分

S4 n ? (c1 ? c2 ? c3 ? c4 ) ? ? ? (c4 n?3 ? c4 n?2 ? c4 n?1 ? c4 n ) ? 24 ?


n(n ? 1) ? 21n ? 12n 2 ? 33n 2

????????????????????????????18分 46(重庆理 11)在等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________ 答案:74 解析:有等差数列的性质得: a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 2(a3 ? a7 ) ? 74 47(重庆理 21)设实数数列 {a n } 的前 n 项和 S n ,满足 S n ?1 ? a n ?1 S n (n ? N )
*

(I)若 a1 , S 2 , ?2a2 成等比数列,求 S 2 和 a 3 ; (II)求证:对 k ? 3有0 ? ak ?1 ? ak ?

4 3

2 ? S 2 ? ?2a1 a2 , 2 得S 2 ? ?2 S 2 , (I)解:由题意 ? ? S 2 ? a2 S1 ? a1 a2 ,

由 S2 是等比中项知 S2 ? 0.因此S2 ? ?2. 由 S2 ? a3 ? S3 ? a3 S2 解得

a3 ?

S2 ?2 2 ? ? . S2 ? 1 ?2 ? 1 3

(II)证法一:由题设条件有 Sn ? an ?1 ? an ?1 Sn , 故 S n ? 1, an ?1 ? 1且an ?1 ? 从而对 k ? 3 有

Sn a , Sn ? n ?1 , Sn ? 1 an ?1 ? 1

ak ?1 Sk ?1 a ? Sk ?2 ak ?1 ? 1 ak2?1 ak ? ? k ?1 ? ? 2 . ak ?1 Sk ?1 ? 1 ak ?1 ? S k ? 2 ? 1 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ak ?1 ? ?1 ak ?1 ? 1 ak ?1 ?



2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
2 因 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? (ak ?1 ? )2 ?

1 2

3 2 ? 0且ak ?1 ? 0 ,由①得 ak ? 0 4

要证 ak ?
2

ak2?1 4 4 ? , ,由①只要证 2 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3 3
2 2

即证 3ak ?1 ? 4(ak ?1 ? ak ?1 ? 1), 即(ak ?1 ? 2) ? 0. 此式明显成立. 因此 ak ?

4 (k ? 3). 3

最后证 ak ?1 ? ak . 若不然 ak ?1 ?

ak2 ? ak , 2 ak ? ak ? 1

又因 ak ? 0, 故

ak ? 1,即(ak ? 1) 2 ? 0. 矛盾.因此 ak ?1 ? ak (k ? 3). a ? ak ? 1
2 k

证法二:由题设知 Sn ?1 ? Sn ? an ?1 ? an ?1 Sn , 故方程 x ? Sn ?1 x ? Sn ?1 ? 0有根Sn 和an ?1 (可能相同).
2

因此判别式 ? ? Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 0.
2

又由 Sn ? 2 ? Sn ?1 ? an ? 2 ? an ? 2 S n ?1得an ? 2 ? 1且S n ?1 ?
2 an ? 2 4an ? 2 2 ? ? 0,即3an ? 2 ? 4an ? 2 ? 0 , 因此 2 an ? 2 ? 1 (an ? 2 ? 1)

an ? 2 . an ? 2 ? 1

解得 0 ? an ? 2 ?

4 . 3

因此 0 ? ak ?

Sk ?1 4 ? 0 (k ? 3) ,得 ( k ? 3). 由 ak ? Sk ?1 ? 1 3

ak ?1 ? ak ?

Sk S k ?1 S ? ak ? a k ( ? 1) ? ak ( 2 k ?1 ? 1) S k ?1 Sk ? 1 ak S k ?1 ? 1 ?1 S k ?1 ? 1 S
2 k ?1

??

ak ?? ? S k ?1 ? 1 (S

ak ? 0. 1 2 3 k ?1 ? ) ? 2 4

因此 ak ?1 ? ak

(k ? 3).

48(重庆文 1)在等差数列 ? an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 = A.12 答案:D B.14 C.16 D.18

解析:由等差数列的通项公式容易知 an ? 2(n ? 1) ,?a10 ? 2 ? 9 ? 18

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
49(重庆文 16)设 ?a n ?是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 S n 。 解: (I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q ? 2q ? 4 ,
2

即 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1 (舍去) ,因此 q ? 2.
2

所以 {an } 的通项为 an ? 2 ? 2 (II) Sn ?

n ?1

? 2n (n ? N * ).

2(1 ? 2n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2. 1? 2 2

? 2n?1 ? n2 ? 2.
50(江苏 13)设 1 ? a1 ? a2 ? … ? a7 , 其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列,a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 答案: 3 3
2 3 解析:由 1 ? a1 ? a2 ? … ? a7 得: 1 ? a2 ? q ? a2 ? 1 ? q ? a2 ? 2 ? q ,又 a2 ? 1



所以 q ? 1 且 q ? 2 且 q ? 3 ,故 q ? 3 3 。
2 3

51(江苏 20)设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项的和为

S n ,已知对任意整数 k ? M ,当 n ? k 时, S n? k ? S n?k ? 2( S n ? S k ) 都成立.
(1)设 M ? {1} , a 2 ? 2 ,求 a 5 的值; (2)设 M ? {3, 4} ,求数列 {a n } 的通项公式. 解: (1)当 M ? {1} 时, k ? 1 ,由已知 n ? 2 时, S n ?1 ? S n ?1 ? 2( S n ? S1 ) ,即 n ? 2 时

an?1 ? an ? 2 ,所以 a5 ? a2 ? (5 ? 2) ? 2 ? 8 。
(2)由题设知,当 k ? M ? ?3,4?且 n ? k 时, S n ? k ? S n ?k ? 2( S n ? S k ) , 且 S n ?1? k ? S n ?1?k ? 2S n ?1 ? 2S k ,两式相减得: an ?1? k ? an ?1?k ? 2an ?1 即 an?1? k ? an ?1 ? an ?1 ? an ?1?k ,所以当 n ? 8 时, an ?6 , an ?3 , an , an ?3 , an ?6 成等差数列, 且 an ?6 , an ?2 , an ? 2 , an ?6 也成等差数列,从而当 n ? 8 时, 2an ? an ?3 ? an ?3 ? an?6 ? an?6 (*) 且 an ?6 ? an ? 6 ? an ?2 ? an ? 2 ,所以 n ? 8 时, 2an ? an ? 2 ? an ? 2 ,即 an ? 2 ? an ? an ? an ? 2 于是当 n ? 9 时, an ?3 , an ?1 , an ?1 , an ?3 成等差数列,从而 an ?3 ? an ?3 ? an ?1 ? an?1 ,故由(*)

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分
式知 2an ? an ?1 ? an ?1 ,即 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ,当 n ? 9 时,设 d ? an ? an ?1 当 2 ? m ? 8 时,m ? 6 ? 8 , 从而由 (*) 式知,2am?6 ? am ? am?12 , 2am ? 7 ? am ?1 ? am ?13 故 所以 2(am?7 ? am?6 ) ? am?1 ? am ? (am?13 ? am?12 ) ,于是 am?1 ? am ? 2d ? d ? d

a 因此, n ?1 ? an ? d 对任意的 n ? 2 都成立, 又由 S n ? k ? S n ?k ? 2( S n ? S k ) 及 k ? M ? ?3,4?
可知, ( S n ? k ? S n ) ? ( S n ? S n ?k ) ? 2S k ,故 9d ? 2S3 ,16 d ? 2S 4 ,解得 a4 ? 故 a2 ?

7 d 2

3 d d , a1 ? ,所以 ?a n ?是等差数列,又 a1 ? 1, 则 d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1。 2 2

2013 年全国高考数学试题分类解析——数列部分



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