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创新设计江苏专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课时作业理


第三章 第1讲

导数及其应用 导数的概念及运算
基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.设 y=x e ,则 y′=________. 解析 y′=2xe +x e =(2x+x )e . 答案 (2x+x )e
2 2 x

x

2 x

2

x

x

2 .已知函数 f(x) 的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x) = 2x·f′(1)+ ln x ,则 f′(1)= ________. 1 解析 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ ,

x

∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 答案 -1 3.曲线 y=sin x+e 在点(0,1)处的切线方程是________. 解析 y′=cos x+e ,故切线斜率为 k=2,切线方程为 y=2x+1,即 2x-y+1= 0. 答案 2x-y+1=0 4.(2017·苏州调研)已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为________. 1 解析 y=ln x 的定义域为(0,+∞),且 y′= ,设切点为(x0,ln x0),则 y′|x=x0
x x

x

1 1 = ,切线方程为 y-ln x0= (x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解

x0

x0

1 得 x0=e,故此切线的斜率为 . e 答案 1 e
2

5.若曲线 y=ax -ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=________. 1 解析 因为 y′=2ax- ,所以 y′|x=1=2a-1.因为曲线在点(1,a)处的切线平行于

x

x 轴,故其斜率为 0,故 2a-1=0,解得 a= .
答案 1 2
1

1 2

6.(2017·南师附中月考)如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在

x=3 处的切线, 令 g(x)=xf(x), 其中 g′(x)是 g(x)的导函数, 则 g′(3)=________.

1 解析 由图形可知:f(3)=1,f′(3)=- ,∵g′(x)=f(x)+xf′(x), 3 ∴g′(3)=f(3)+3f′(3)=1-1=0. 答案 0 1+cos x ?π ? 7.(2017·苏北四市模拟)设曲线 y= 在点? ,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平 2 sin x ? ? 行,则实数 a=________. -1-cos x 解析 ∵y′= ,∴ 2 sin x 1 由条件知 =-1,∴a=-1.

a

答案 -1 8.(2016·全国Ⅱ卷)若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1) 的切线,则 b=________. 1 解析 y=ln x+2 的切线为:y= ·x+ln x1+1(设切点横坐标为 x1).

x1

y=ln(x+1)的切线为:y=

1 x2 x+ln(x2+1)- (设切点横坐标为 x2). x2+1 x2+1

1 1 ? ?x =x +1, ∴? x ? ?ln x +1=ln?x +1?-x +1,
1 2 2 1 2 2

1 1 解得 x1= ,x2=- ,∴b=ln x1+1=1-ln 2. 2 2 答案 1-ln 2 二、解答题 1 3 2 9.已知点 M 是曲线 y= x -2x +3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程;
2

(2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解 (1)y′=x -4x+3=(x-2) -1≥-1,
2 2

5 所以当 x=2 时,y′=-1,y= , 3

? 5? 所以斜率最小的切线过点?2, ?,斜率 k=-1, ? 3?
所以切线方程为 3x+3y-11=0. (2)由(1)得 k≥-1,

? π ? ?3π ,π ?. 所以 tan α ≥-1,所以 α ∈?0, ?∪? ? 2? ? 4 ? ?
10. 已知曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0, 且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x +x-2,得 y′=3x +1,
2 3 2 3

由已知令 3x +1=4,解之得 x=±1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, 1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2016·山东卷改编)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的 切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质,下列函数: ①y=sin x;②y=ln x;③y=e ;④y=x . 其中具有 T 性质的是________(填序号). 解析 若 y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)), 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则 f′(x1)·f′(x2)=-1. 对于①:y′=cos x,若有 cos x1·cos x2=-1,则当 x1=2kπ ,x2=2kπ +π (k∈ Z)时,结论成立; 1 1 1 对于②:y′= ,若有 · =-1,即 x1x2=-1,∵x1>0,x2>0,∴不存在 x1,x2,
x
3

x

x1 x2

3

使得 x1x2=-1; 对于③:y′=e ,若有 e ·e =-1,即 e
2 2 2

x

x1

x2

x1+x2

=-1.显然不存在这样的 x1,x2;

对于④:y′=3x ,若有 3x1·3x2=-1,即 9x1x2=-1,显然不存在这样的 x1,x2. 答案 ① 12.(2017·合肥模拟改编)点 P 是曲线 x -y-ln x=0 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x -2 的最小距离为________. 解析 点 P 是曲线 y=x -ln x 上任意一点,当过点 P 的切线和直线 y=x-2 平行时, 点 P 到直线 y=x-2 的距离最小, 直线 y=x-2 的斜率为 1,令 y=x -ln x, 1 1 得 y′=2x- =1,解得 x=1 或 x=- (舍去), x 2 故曲线 y=x -ln x 上和直线 y=x-2 平行的切线经过的切点坐标为(1,1), 点(1,1)到直线 y=x-2 的距离等于 2, ∴点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 2. 答案 2
2 2 2 2

2 2

1 2 13. 若函数 f(x)= x -ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线, 则实数 a 的取值范围是________. 2 1 2 解析 ∵f(x)= x -ax+ln x, 2 1 ∴f′(x)=x-a+ (x>0).

x

∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线,∴f′(x)存在零点, 1 1 即 x+ -a=0 有解,∴a=x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取等号).

x

x

答案 [2,+∞) 2 14.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x

x

=1 处的切线斜率相同,求 a 的值,并判断两条切线是否为同一条直线. 解 2 a 根据题意有 f′(x)=1+ 2,g′(x)=- .

x

x

曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a, 所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1). 所以 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0. 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1),
4

所以 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0, 所以,两条切线不是同一条直线.

5


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