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湖南省长沙市长郡中学2016届高三(上)第五次月考数学试卷(文科)(解析版) (1)


2015-2016 学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第五次月考数 学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 P={x|1<x≤2},Q={x|x2+x﹣2≤0},那么 P∩Q 等于( ) A.? B.{1} C.{x|﹣2≤x≤2} D.{x|1<x≤2} 2.设 a,b∈R,则“(a﹣b)a2<0”是“a<b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,x>0 时,f(x)单调递增,P=f(﹣π) , Q=f(e) , ,则 P,Q,R 的大小为( ) A.R>Q>P B.Q>R>P C.P>R>Q D.P>Q>R 4. AB=AC=2, 在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°, , , 则 的值为 ( ) A. B. C. D. )

5.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=﹣100,且 5S7﹣7S5=70,则 S101 等于( A.100 B.50 C.0 D.﹣50 6.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的体积为( )

A.

B.

C.

D.

7.该试题已被管理员删除

8.x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a

的值为(

) C.2 或 1 D.2 或﹣1 的值介于 0 到 之间的概率为( )

A. 或﹣1 B.2 或

9.在区间〔﹣1,1〕上随机取一个数 x,使 sin A. B. C. D.

第 1 页(共 20 页)

10.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< =sin2x 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向右平移 C.向左平移

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向左平移

个单位长度 个单位长度

11.已知抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线

=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 )

A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A. +2 B. +1 C. +1 D. +1 12.设集合 , ,函数

,若 x0∈A,且 ) )

,则 x0 的取值范围是( A. ( ] B. ( ] C. D. (

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.若复数 z= (a∈R) ,i 是虚数单位)是纯虚数,则 a= .

14. 三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在半径为 5 的球面上, 底面 ABC 所在的小圆面积为 16π, 则该三棱锥的高的最大值为 . 15.在△ABC 中,AC=7,∠B= ,△ABC 的面积 S= ,则边 AB 的长为 .

16.已知平面上的点集 A 及点 P,在集合 A 内任取一点 Q,线段 PQ 长度的最小值称为点 P A) y) 到集合 A 的距离, 记作 d (P, , 如果 A={ (x, |x2+y2=1}, 点 P 坐标为 , 那么 d(P,A)= ;如果点集 A 所表示的图象是半径为 2 的圆,那么点集 D={P|d(P, A)≤1}所表示的图形的面积为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列{an}满足 a2=5,且其前 n 项和 Sn=pn2﹣n. (Ⅰ)求 p 的值和数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}为等比数列,公比为 p,且其前 n 项和 Tn 满足 T5<S5,求 b1 的取值范围. 18.某工人生产合格零售的产量逐月增长,前 5 个月的产量如表所示: 1 2 3 4 5 月份 x 60 70 80 100 合格零件 y(件) 50
第 2 页(共 20 页)

(I)若从这 5 组数据中抽出两组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻的两个月数据的概率; (Ⅱ)请根据所给 5 组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 程预测该工人第 6 个月生产的合格零件的件数. = x+ ;并根据线性回归方

(附:回归方程

=

x+



=



= ﹣



19.在直三棱柱 ABC﹣A′B′C′中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,D′是棱 A′C′的中点, 且 AA′=2 . (Ⅰ)证明:BC′∥平面 AB′D′; (Ⅱ)棱 CC′上是否存在一点 M,使 A′M⊥平面 AB′D′,若存在,求出 CM 的长;若不存在, 说明理由.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1, ) ,且离心率 e= .

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线 过定点 ,求 k 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx(m∈R) . (1)若曲线 y=f(x)过点 P(1,﹣1) ,求曲线 y=f(x)在点 P 的切线方程; (2)若 f(x)≤0 恒成立求 m 的取值范围; (3)求函数 f(x)在区间[1,e]上最大值. 请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.[选修 4-1 几 何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已 知 AC=AB. (1)求证:FG∥AC; (2)若 CG=1,CD=4.求 的值.
第 3 页(共 20 页)

[选修 4-4 坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 中正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的极坐标方

程为

,圆 C 的参数方程为

为参数,r>0)

(1)求直线 l 的普通方程以及圆心 C 的坐标; (2)当 r 为何值时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3. [选修 4-5 不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣a|,a<0. (Ⅰ)证明 f(x)+f(﹣ )≥2; (Ⅱ)若不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,求 a 的取值范围.

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2015-2016 学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第五次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 P={x|1<x≤2},Q={x|x2+x﹣2≤0},那么 P∩Q 等于( ) A.? B.{1} C.{x|﹣2≤x≤2} D.{x|1<x≤2} 【考点】交集及其运算. 【分析】根据题意,Q 为方程 x2+x﹣6≤0 的解集,由一元二次不等式的解法可得 Q,由交 集的运算可得答案. 【解答】解:根据题意,结合一元二次不等式的解法可得, Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}, 而 P={x|1<x≤2}, 又交集的意义,可得 P∩Q=? 故选:A. 2.设 a,b∈R,则“(a﹣b)a2<0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分必要条件定义判断,结合不等式求解. 【解答】解:∵a,b∈R,则(a﹣b)a2<0, ∴a<b 成立, 由 a<b,则 a﹣b<0,“(a﹣b)a2≤0, 所以根据充分必要条件的定义可的判断: a,b∈R,则“(a﹣b)a2<0”是 a<b 的充分不必要条件, 故选:A 3.若函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,x>0 时,f(x)单调递增,P=f(﹣π) , Q=f(e) , ,则 P,Q,R 的大小为( ) A.R>Q>P B.Q>R>P C.P>R>Q D.P>Q>R 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据题意,先利用函数的奇偶性可得 P=f(﹣π)=f(π) ,进而利用函数当 x>0 时, f(x)单调递增,且 π>e> ,分析可得 f(π)>f(e)>f( ) ,即可得答案. 【解答】解:根据题意,函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数, P=f(﹣π)=f(π) , 又由当 x>0 时,f(x)单调递增,且 π>e> , 则有 f(π)>f(e)>f( ) ; 即 P>R>Q; 故选:D.
第 5 页(共 20 页)

4. AB=AC=2, 在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°, A. B. C. D.



, 则

的值为 (



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】将所求利用三角形法则表示为 AB,AC 对应的向量表示,然后利用向量的乘法运 算求值. 【解答】解:由已知得到 = = (
2

) ( ,



△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2, 所以上式= 故选:A. 5.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=﹣100,且 5S7﹣7S5=70,则 S101 等于( A.100 B.50 C.0 D.﹣50 【考点】等差数列的性质. 【分析】由题意可得公差 d 的方程,解得 d 值代入等差数列的求和公式计算可得. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,又 a1=﹣100, ∴5S7﹣7S5=5(﹣700+ 解得 d=2, ∴S101=101×(﹣100)+ 故选:C. 6.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的体积为( ) ×2=0, d)﹣7(﹣500+ d)=70, ) = ;

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体是三棱锥,结合直观图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据,把数据 代入棱锥的体积公式计算. 【解答】解:由三视图知:几何体是三棱锥,如图:
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其中 SO⊥平面 ABC,O 为 BC 的中点, BA⊥AC,BA= ,AC=1,SO=1, ∴几何体的体积 V= × × 故选:A. ×1×1= .

7.该试题已被管理员删除

8.x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a

的值为(

) C.2 或 1 D.2 或﹣1

A. 或﹣1 B.2 或

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率 的变化,从而求出 a 的取值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 a=﹣1, 综上 a=﹣1 或 a=2, 故选:D

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9.在区间〔﹣1,1〕上随机取一个数 x,使 sin A. B. C. D.

的值介于 0 到 之间的概率为(



【考点】几何概型. 【分析】求出 0≤sin ≤ 的解集,根据几何概型的概率公式,即可求出对应的概率. < < ,

【解答】解:当﹣1<x<1,则﹣ 由 0≤sin ∴0≤ ≤ , ≤ π,

即 0≤x≤ ,

则 sin

的值介于 0 到 之间的概率 P=

= ,

故选:B.

10.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< =sin2x 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向右平移

个单位长度

B.向右平移

个单位长度

第 8 页(共 20 页)

C.向左平移

个单位长度

D.向左平移

个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. f x) =Asin 【解答】 解: 由函数 ( (ωx+φ) (其中 A>0, |φ|< = ﹣ ,求得 ω=2. +φ=π,求得 φ= ) . , ) 的图象可得 A=1, =

再根据五点法作图可得 2× 故 f(x)=sin(2x+

)=sin2(x+

故把 f(x)的图象向右平移 故选:A.

个单位长度,可得 g(x)=sin2x 的图象,

11.已知抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线

=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 )

A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A. +2 B. +1 C. +1 D. +1

【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标,将其代入双曲线方程求出 A 的坐标,将 A 代入 抛物线方程求出双曲线的三参数 a,b,c 的关系,则双曲线的渐近线的斜率可求. 【解答】解:抛物线的焦点坐标为( ,0) ;双曲线的焦点坐标为(c,0) , ∴p=2c, ∵点 A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴, 将 x=c 代入双曲线方程得到 A(c, ) , =2pc,即 4a4+4a2b2﹣b4=0.

将 A 的坐标代入抛物线方程得到

解得



∴ 故选:D.

,解得:



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12.设集合



,函数

,若 x0∈A,且 ) )

,则 x0 的取值范围是( A. ( ] B. ( ] C. D. (

【考点】分段函数的应用. 【分析】利用当 x0∈A 时,f[f (x0)+1]∈[0, ) ,列出不等式,解出 x0 的取值范围. 【解答】解:∵1≤x0< ,∴f(x0)+1=x0 ﹣ +1∈[ ,2]? B, ∴f[f(x0)+1]=2(2﹣f(x0)﹣1)=2[1﹣(x0﹣ )]=2( ﹣x0) . ∵ ∴0≤2( ﹣x0)< , ∴ <x0≤ . 又∵1≤x0< , ∴ <x0< . 故选:D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.若复数 z= (a∈R) ,i 是虚数单位)是纯虚数,则 a= 1 . ,

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出.

【解答】解:∵复数 z=

=

=

是纯虚数,∴

,解

得 a=1. 故答案为:1. 14. 三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在半径为 5 的球面上, 底面 ABC 所在的小圆面积为 16π, 8 则该三棱锥的高的最大值为 . 【考点】球内接多面体;棱锥的结构特征. 【分析】根据已知求出球心到底面 ABC 的距离 d,进而可得该三棱锥的高的最大值为 R+d. 【解答】解:∵底面 ABC 所在的小圆面积为 16π, 故底面 ABC 所在的小圆半径 r=4,
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又由三棱锥 P﹣ABC 的外接球半径 R=5, 故球心到底面 ABC 的距离 d= 故该三棱锥的高的最大值为 R+d=8, 故答案为:8. =3,

15. AC=7, 在△ABC 中, ∠B= 【考点】三角形中的几何计算. 【分析】由,∠B=

, △ABC 的面积 S=

, 则边 AB 的长为 3 或 5 .

,以及已知三角形的面积,利用三角形的面积公式求出 AB?BC=15,

再利用余弦定理即可求出 AB2+BC2=34,联立解出 AB 即可. 【解答】解:∵S△ABC= ∴ AB?BC?sinB= ∴AB?BC=15,① 由余弦定理知 cosB= ∴AB2+BC2=34. ② 联立①②,解得:AB=3 或 AB=5. 故答案为:3 或 5. 16.已知平面上的点集 A 及点 P,在集合 A 内任取一点 Q,线段 PQ 长度的最小值称为点 P A) y) 到集合 A 的距离, 记作 d (P, , 如果 A={ (x, |x2+y2=1}, 点 P 坐标为 , 那么 d(P,A)= 2 ;如果点集 A 所表示的图象是半径为 2 的圆,那么点集 D={P|d(P, A)≤1}所表示的图形的面积为 8π . 【考点】集合的表示法. 【分析】集合 A={(x,y)|x2+y2=4}表示圆心为 O,半径 r 为 2 的圆上所有点,且 P 在圆 外,则有 d(P,A)=|PO|﹣r,计算即可得到.对于 D={P|d(P,A)≤1},讨论 P 在圆 上和圆外及圆内,得到 P 的轨迹,运用圆的面积公式计算即可得到. 【解答】解:集合 A={(x,y)|x2+y2=4}表示圆心为 O,半径 r 为 2 的圆上所有点, 点 P 的坐标为 ,由|PO|=4>2,即有 P 在圆外, 那么 d(P,A)=|PO|﹣r=4﹣2=2, 如果点集 A 所表示的图形是半径为 2 的圆, 若点 P 在圆上满足集合 D,
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,∠B= ,即 AB?BC?

, = ,

,即﹣ =



P 在圆外,则为介于圆心为 O,半径分别为 2,3 的圆环, 其面积为 9π﹣4π=5π, P 在圆内,则为介于圆心为 O,半径分别为 1,2 的圆环, 其面积为 4π﹣π=3π, 那么点集 D={P|d(P,A)≤1}所表示的图形的面积为 5π+3π=8π. 故答案为:2,8π. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列{an}满足 a2=5,且其前 n 项和 Sn=pn2﹣n. (Ⅰ)求 p 的值和数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}为等比数列,公比为 p,且其前 n 项和 Tn 满足 T5<S5,求 b1 的取值范围. 【考点】等比数列的性质;数列的求和. 【分析】 (Ⅰ)由题意,得 S1=p﹣1,S2=4p﹣2,利用 a2=5,S2=a1+a2,可得 S2=4p﹣2=p﹣ 1+5,即可求 p 的值;再写一式,两式相减,即可求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求出 Tn,利用 T5<S5,建立不等式,即可求 b1 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)由题意,得 S1=p﹣1,S2=4p﹣2, 因为 a2=5,S2=a1+a2, 所以 S2=4p﹣2=p﹣1+5, 解得 p=2.… 所以 .

当 n≥2 时,由 an=Sn﹣Sn﹣1,… 得 验证知 n=1 时,a1 符合上式, 所以 an=4n﹣3,n∈N*.… (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 因为 T5<S5, 所以 解得 . , … .… .…

又因为 b1≠0, 所以 b1 的取值范围是 . …

18.某工人生产合格零售的产量逐月增长,前 5 个月的产量如表所示: 1 2 3 4 5 月份 x 60 70 80 100 合格零件 y(件) 50 (I)若从这 5 组数据中抽出两组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻的两个月数据的概率;

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(Ⅱ)请根据所给 5 组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 程预测该工人第 6 个月生产的合格零件的件数.

=

x+

;并根据线性回归方

(附:回归方程

=

x+



=



= ﹣



【考点】线性回归方程. 【分析】 (Ⅰ)本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从 5 组数据中选取 2 组数据共 2 有 C5 种情况,满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有 4 种,根据古典概型的概 率公式得到结果. (Ⅱ)根据所给的数据,求出 x,y 的平均数,根据求线性回归方程系数的方法,求出系数 b,把 b 和 x,y 的平均数,代入求 a 的公式,做出 a 的值,写出线性回归方程.将 x=6 代入 可得答案. 【解答】解: (Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型, 设抽到相邻两个月的数据为事件 A 试验发生包含的事件是从 5 组数据中选取 2 组数据共有 C52=10 种情况, 每种情况都是等可能出现的其中, 满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有 4 种 ∴P(A)= = ; =72,

(Ⅱ)由数据求得 =3, xiyi=1200,

=55,



=

=

=12,



= ﹣

=36,

∴y 关于 x 的线性回归方程为 =12x+36, 当 x=6, =108(件) ,

即预测该工人第 6 个月生产的合格零件的件数为 108 件. 19.在直三棱柱 ABC﹣A′B′C′中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,D′是棱 A′C′的中点, 且 AA′=2 . (Ⅰ)证明:BC′∥平面 AB′D′; (Ⅱ)棱 CC′上是否存在一点 M,使 A′M⊥平面 AB′D′,若存在,求出 CM 的长;若不存在, 说明理由.
第 13 页(共 20 页)

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ) 连结 A′B 交 AB′于点 E,连结 D′E,证明 D′E∥BC′,利用在与平面平行的判 定定理证明 BC′∥平面 AB′D′. (Ⅱ) 作 A′M⊥AD′,交 CC′于 M,通过证明△A′AD∽△C′A′M,求出 CM 的长,得到结 果. 【解答】解: (Ⅰ) 连结 A′B 交 AB′于点 E,连结 D′E, ∵四边形 A′ABB′为矩形,∴E 为 A′B 的中点, 又∵D′是棱 A′C′的中点 ∴D′E∥BC′ ∵D′E? 平面 AB′D′BC′?平面 AB′D′ ∴BC′∥平面 AB′D′… (Ⅱ) 作 A′M⊥AD′,交 CC′于 M ∵D′是棱 A′C′的中点 ∴B′D′⊥A′C′ ∴B′D′⊥平面 A′ACC′ ∴B′D′⊥A′M ∴A′M⊥平面 AB′D′ 此时△A′AD∽△C′A′M ∴ 即当 ,即 时,A′M⊥平面 AB′D′.… ,∴

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1, ) ,且离心率 e= .

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线 过定点 ,求 k 的取值范围.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (Ⅰ)由离心率得到 a,c,b 的关系,进一步把椭圆方程用含有 c 的代数式表示, 再结合点(1, )在椭圆上求得 c,则椭圆方程可求;
第 14 页(共 20 页)

(Ⅱ)设出 M,N 的坐标,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于 0 得到 m2<4k2+3,再 结合根与系数关系得到 MN 中点 P 的坐标为(﹣ , ) ,求出 MN 的垂直平分

线 l′方程,由 P 在 l′上,得到 4k2+8km+3=0.结合 m2<4k2+3 求得 k 的取值范围 【解答】解: (Ⅰ)由题意椭圆的离心率 e= . ∴ = 得 a=2c,∴b2=a2﹣c2=3c2,

∴椭圆方程为

=1,

又点(1, )在椭圆上

∴ ∴c2=1, ∴椭圆的方程为

=1,

+

=1;

(Ⅱ)设设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由 ,

消去 y 并整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0. ∵直线 y=kx+m 与椭圆有两个交点, ∴△=(8km)2﹣4(3+4k2) (4m2﹣12)>0,即 m2<4k2+3, 又 x1+x2=﹣ , , ) ,

∴MN 中点 P 的坐标为(﹣ 设 MN 的垂直平分线 l'方程: ∵p 在 l′上 即 4k2+5km+3=0, ,

将上式代入得







第 15 页(共 20 页)

即 ∴k 的取值范围为 .

21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx(m∈R) . (1)若曲线 y=f(x)过点 P(1,﹣1) ,求曲线 y=f(x)在点 P 的切线方程; (2)若 f(x)≤0 恒成立求 m 的取值范围; (3)求函数 f(x)在区间[1,e]上最大值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)由 f(x)过点 P(1,﹣1)可得﹣1=ln1﹣m,从而解出 m=1,进而求曲线 y=f (x)在点 P 的切线方程; (2)原式可化为 lnx﹣mx≤0 恒成立,结合 x>0 可化为 的最大值,利用导数求最值; (3)由 讨论,m 的取值,以确定函数函数 f(x)在区间[1,e]上 恒成立,从而化为求

的单调性,从而求函数在区间[1,e]上的最大值. 【解答】解: (1)∵f(x)过点 P(1,﹣1) , ∴﹣1=ln1﹣m,∴m=1, ∴f(x)=lnx﹣x, , f'(1)=0, ∴过点 P(1,﹣1)的切线方程为 y=﹣1. (2)∵f(x)≤0 恒成立, 即 lnx﹣mx≤0 恒成立, ∴mx≥lnx, 又∵f(x)定义域为(0,+∞) , ∴ 设 恒成立; ,





∴当 x=e 时,g'(e)=0 当 0<x<e 时,g'(x)>0,g(x)为单调增函数, 当 x>e 时,g'(x)<0,g(x)为单调减函数, ∴ ∴当 , 时,f(x)≤0 恒成立.
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(3)∵



①当 m≤0 时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)为单增函数, ∵在 x∈[1,e]上,f(x)max=f(e)=1﹣me; ②当 当 当 ∴x∈[1,e]上, ③当 m>1 时,即 在 ,即 时,

时,f'(x)>0,f(x)为单增函数, 时,f'(x)<0,f(x)为单减函数, ; 为单减函数,

∴x∈[1,e]上,f(x)max=f(1)=﹣m; ④当 f(x)在 ,即 时,

为单增函数,

∴x∈[1,e]时,f(x)max=f(e)=1﹣me; 综上所述, 当 当 时,f(x)max=f(e)=1﹣me, 时,

当 m>1 时,f(x)max=f(1)=﹣m. 请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 2B 作答时用 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.[选修 4-1 几 何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已 知 AC=AB. (1)求证:FG∥AC; (2)若 CG=1,CD=4.求 的值.

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的判定.
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【分析】 (1)由切割线定理得 AB2=AD?AE,从而 AD?AE=AC2,进而△ADC∽△ACE,由 此能证明 FG∥AC. (2)由题意可得:G,E,D,F 四点共圆,从而△CGF∽△CDE,由此能求出 【解答】 (1)证明:∵AB 为切线,AC 为割线,∴AB2=AD?AE, 又∵AC=AB,∴AD?AE=AC2. ∴ ,又∵∠EAC=∠DAC, .

∴△ADC∽△ACE,∴∠ADC=∠ACE, 又∵∠ADC=∠EGF,∴∠EGF=∠ACE, ∴FG∥AC. (2)解:由题意可得:G,E,D,F 四点共圆, ∴∠CGF=∠CDE,∠CFG=∠CED. ∴△CGF∽△CDE,∴ 又∵CG=1,CD=4,∴ = =4. .

[选修 4-4 坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 中正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的极坐标方

程为

,圆 C 的参数方程为

为参数,r>0)

(1)求直线 l 的普通方程以及圆心 C 的坐标; (2)当 r 为何值时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)利用极坐标方程与直角坐标方程互化方法得到直线 l 的普通方程,利用圆的参 数方程得当圆心 C 的坐标; (2)圆心(﹣ , )到直线的距离 d= = ,利用圆 C 上的点

到直线 l 的最大距离为 3,求 r. 【解答】解: (1)直线 l 的极坐标方程为 ∴x+y﹣1=0; ,可得 ρ(cosθ+sinθ)=1,



为参数,r>0) ,可得圆心(﹣



) ,极坐标为(1,

) ;

(2)圆心(﹣



)到直线的距离 d=

=



∵圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3.
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∴ ∴r=2﹣

+r=3, .

[选修 4-5 不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣a|,a<0. (Ⅰ)证明 f(x)+f(﹣ )≥2; (Ⅱ)若不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;其他不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)运用绝对值不等式的性质和基本不等式,即可得证; (Ⅱ) 通过对 x 的范围的分类讨论去掉绝对值符号, 转化为一次不等式, 求得 (f (x) +f (2x) ) min 即可. 【解答】 (Ⅰ)证明:函数 f(x)=|x﹣a|,a<0, 则 f(x)+f(﹣ )=|x﹣a|+|﹣ ﹣a| =|x﹣a|+| +a|≥|(x﹣a)+( +a)| =|x+ |=|x|+ ≥2 =2.

(Ⅱ)解:f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0. 当 x≤a 时,f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,则 f(x)≥﹣a; 当 a<x< 时,f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,则﹣ <f(x)<﹣a; 当x 时,f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,则 f(x)≥﹣ .

则 f(x)的值域为[﹣ ,+∞) , 不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,即为 >﹣ ,解得,a>﹣1,由于 a<0, 则 a 的取值范围是(﹣1,0) .

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2016 年 12 月 6 日

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