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1.1.1 正弦定理


1.1.1

正弦定理

●教学目标 知识与技能: 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦 定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运 算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积 等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 过程与方法: 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通 过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学设想 教学设想 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ∠ B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考: ∠ C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ∠ C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B (图 1.1-1) [探索研究] 探索研究] 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图 设 有 1. 在 Rt ? ABC 中, BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 1-2,

a b = sin A , = sin B , c c

c , A c a b c 则 = = =c sin A sin B sin C a b c 从而在直角三角形 ABC 中, = = sin A sin B sin C
又 sin C = 1 =

b C a

c B

(图 1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义,有 CD= a sin B = b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A


=

b
sin B



C b A c a B

c
sin C
=

=

b
sin B
=

a
sin A

b
sin B

c
sin C

(图 1.1-3) 思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 (证法二) :过点 A 作 j ⊥ AC , 由向量的加法可得 C

AB = AC + CB 则

j ? AB = j ?(AC + CB )
1

A

B

∴ j ? AB = j ? AC + j ? CB

j AB cos( 900 ? A ) = 0 + j CB cos( 900 ? C )
a c = sin A sin C

∴ c sin A = a sin C ,即 同理,过点 C 作 j ⊥ BC ,可得

b c a b c = 从而 = = sin B sin C sin A sin B sin C 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理: 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

=

b
sin B

=

c
sin C

[理解定理] 理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a = k sin A , b = k sin B , c = k sin C ;

sin A sin B sin C 从而知正弦定理的基本作用为:

(2)

a

=

b

=

c

等价于

a
sin A

=

b
sin B



c
sin C

=

b
sin B



a
sin A

=

c
sin C

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a =

b sin A ; sin B a b

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A = sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形 解三角形。 解三角形 重难点讲解 1.利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况 (1)已知两角与一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下:

特别提示: (1)应用正弦定理,要明确角化边(或边化角)的方向,对三角形有几个解必须清楚明了, 防止出现漏解或增解.
2

(2)若已知三角形任意两角,则由三角形内角和定理可求第三个角,再由三角形的任一条边结合正弦定理 可求其他边.若已知三角形任意的两条边和一个角,仅由正弦定理不一 定能全部求出其他的边和角. [典题分析] 题分析] 【例 1】在 ?ABC 中,已知 A = 32.00 , B = 81.80 , a = 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,

C =1800 ? ( A + B) =1800 ? (32.00 + 81.80 ) = 66.20 ;
根据正弦定理,

a sin B 42.9sin81.80 = ≈ 80.1(cm) ; sin A sin32.00 根据正弦定理, b= a sin C 42.9sin66.20 = ≈ 74.1(cm). sin A sin32.00 评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 【例 2】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,先判断三角形是否有解?有解的作出解答. (1)a=7,b=8,A=105°;(2)a=10,b=20,A=80°; c=
(3)b=10,c=5 6 ,C=60°;(4)a=2 3 ,b=6,A=30°. 【点拨】由题目可获取以下主要信息:已知 4 个三角形中的两边及其一边对角的值,求其他边和角. 解答本题可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值,或利用三角形中大边对大角定理考虑解的情况, 可由正弦定理求其他边和角. 【解析】(1)∵a=7,b=8, ∴a<b,又∵A=105°>90°,∴本题无解. (2)a=10,b=20,a<b,A=80°<90°, ∵bsinA=20·sin80°>20·sin60°=10 3 , ∴a<b·sinA,∴本题无解. (3)b=10,c=5 6 ,b<c,C=60°<90°,本题有一解. ∵sinB=

b sin C 10 ? sin 60° 2 = = , ∴B=45°,A=180°-(B+C)=75°. c 2 5 6

b sin A 10 ? sin 75° ∴a= = = sin B sin 45°

10 ×

6+ 2 4 =5( 3 +1). 2 2

(4)a=2 3 ,b=6,a<b,A=30°<90°, 又∵bsinA=6sin30°=3,a>bsinA,∴本题有两解. 由正弦定理得 sinB=

b sin A 6 sin 30° 3 = = ,∴B=60°或 120°. a 2 2 3 a sin C 2 3 sin 90° = =4 3 ; sin A sin 30°
3

当 B=60°时,C=90°,c=

当 B=120°时,C=30°,c=

a sin C 2 3 sin 30° = =2 3 . sin A sin 30°

∴B=60°,C=90°,c=4 3 或 B=120°,C=30°,c=2 3 【规律方法】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,可先判断解的情况,若有解,再求出另一 边的对角的正弦值, 然后根据该正弦值求角, 需对角的情况加以讨论是否有解, 如果有解是一解还是两解, 若有解,再由三角形的内角和定理求出第三个角,然后利用正弦定理求出第三边. 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2 【例 3】已知方程 x -(bcosA)x+acosB=0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为△ABC 的两边,A、B 分 别为边 a、b 的对角,试判断该三角形的形状. 【点拨】由题目可以获取以下主要信息: ①两根之积为 acosB; ②两根之和为 bcosA; ③acosB=bcosA. 解答本题可先根据条件列出关系式,然后利用正弦定理化简、判断即可. 【解析】设方程的两根为 x1、x2,由根与系数的关系得 x1+x2=bcosA,x1·x2=acosB.依题意得 bcosA =acosB.根据正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半径), ∴2RsinBcosA=2RsinAcosB, 即 sinAcosB-cosAsinB=0, ∴sin(A-B)=0. ∵0<A<π,0<B<π, ∴A-B=0,即 A=B,∴该三角形为等腰三角形. 【规律方法】(1)判断三角形的形状,可以从考察三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从 条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小,从而作出准 确判断. (2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形, 要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 课时小结(由学生归纳总结) 课时小结

sin A sin B sin C 或 a = k sin A , b = k sin B , c = k sin C (k > 0)

(1)定理的表示形式:

a

=

b

=

c

=

a +b +c = k (k > 0) ; sin A + sin B + sin C

(2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 练习: 练习 一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a = 8, B = 60 0 , C = 75 0 ,则 b 等于( A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6 D. )

32 3

2.在△ABC 中,已知 a = xcm, b = 2cm, B = 45 0 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值范围 是 (

<x< 2 2 ) A. 2

<x ≤ 2 2 B. 2
C. (1,+∞)

C. x> 2 )

D. x< 2

3.△ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=m:(m+1):2m, A. (0,+∞) B. (

则 m 的取值范围是(

1 ,+∞) 2

D. (2,+∞) ___

二、填空题 4.在△ABC 中,若 sinA=2cosBsinC,则△ABC 的形状是______ 5.在△ABC 中,已知 a = 3 2 , cos C = 三、解答题
4

1 ,S△ABC= 4 3 ,则 b = _________ 3

6.已知方程 x ? (b cos A) x + a cos B = 0 的两根之积等于两根之和,且 a, b 为△ABC 的两边,A、B 为
2

两内角,试判断这个三角形的形状 7.在△ABC 中, a + c = 2b, A ? C = 参考答案 1.C 2.A 3.B 4.等腰三角形 5. 2 3

π
3

,求 sinB 的值。

6.由方程两根之积为 a cos B ,方程两根之和为 b cos A ,∴ a cos B = b cos A 由正弦定理,得 sin A cos B = sin B cos A 即 sin( A ? B ) = 0 ∵ ? 180 <A ? B< 180 ∴A-B=0∴A=B∴三角形为等腰三角形
0 0

7.解 由正弦定理,得 sinA+sinC=2sinB 由A=

A+C A?C A+C A?C A+C A?C + ;C = ? 得 2 sin cos = 2 sin B 2 2 2 2 2 2 A+C π 3 A+C cos = sin B 即 sin B = sin ∵A+B+C= π ∴B= π -(A+C) 2 6 2 2
∴ cos

即 sin

B π A+C = ? 2 2 2
∵ cos

π A+C 3 B A+C B B B = cos( ? ) = sin ∴ 2 sin cos = cos 2 2 2 2 2 2 2 2
B 3 = 2 4
∴ cos

B ≠0 2



sin

B 3 13 = 1 ? ( )2 = 2 4 4

∴ sin B = 2 sin

B B 3 13 39 cos = 2 × × = 2 2 4 4 8

5



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