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四川省成都外国语学校2018_2019学年高二数学下学期期中试题理

成都外国语学校 2018-2019 学年下期期中考试

高二理科数学

注意事项:

1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2、本堂考试 120 分钟,满分 150 分。

3、答题前,考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上,并使用 2B 铅笔填涂。

4、考试结束后,将答题卡交回。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在答题卡上)

1、复数 z ? 2 ? 3i 的虚部为( )

A. 3i

B. ?3i

C. 3

D. ?3

? ? 2、已知集合 A ? x | x2 ? 2x ? 0 , B ? ??1,0, 2,3? ,则 A B ? ( )

A.?0,1, 2?

B.?0, 2?

C. ??1, 3?

D.??1,0,1, 2,3?

3、若平面向量 a ? (x,1) , b ? (2,3x ?1) ,若 a / /b ,则 x ? ( )

A. 1 5

B. ? 2 3

C.1 或 ? 2 3

D.1 或 1 5

4、若 tan? ? 3 ,则 sin? ? cos? ? ( ) sin? ? cos?

A.2

B. ?2

C. 1 2

D. ? 1 2

5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1, O 是底面 ABCD 的中心,则异面直线 OD1 与 A1C1 所成的
角为( )

A. 900

B. 600

C. 450

D. 300

6、函数

f

(x)

?

x 的部分图象大致是( 4x2 ?1



7、已知命题 p : 若复数z ? 1 ? i,则 z ? 2 ;命题 q : 抛物线x2 ? 4 y的准线为x ? ?1,则下列命题为真命题的

是( )

A. ?p

B. (?p) ? q

C. (?p) ? q

D. p ? (?q)

8、甲、乙两人约定在上午 9 : 00 到10 : 40 之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人 20 分钟,过时即
可离去。若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的,则两人能会面的概率为( )

A. 1

B. 16

C. 9

D. 1

25

25

25

5

9、阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为 21,则判断框中应填入的条件为( )

A. k ? 2?

B. k ? 3?

C. k ? 4? 1/7

D. k ? 5?

10、将函数 y ? sin ?2x ? ? ? 的图像沿 x 轴向左平移 π 个单位后,得到一个函数 f ? x? 的图像,则“ f ? x? 是
8

偶函数”是“? ? π ”的( ) 4

A.充 分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

11、设

F1



F2

是双曲线

C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? 0,b ? 0? 的两个焦点, P 是 C 上一点,若

PF1

? PF2

? 6a ,且

△PF1F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为( )

A. 2

B. 3 2

C. 3

D. 6 2

12、已知函数 f ? x? 的导函数为 f '? x? ,且满足 f ? x? ? 1 x3 ? ax2 ? bx ? 2 , f '? x ? 2? ? f '?4 ? x? ,若
3

函数 f ? x? ? 6xln x ? 2 恒成立,则实数 b 的取值范围为( )

A.?4 ? ln 2,??? B.?5? ln5, ???

C. ?6 ? 4ln3, ???

D.?6 ? 6ln 6,???

第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案写在答题卡上)

13、某乡镇中学有初级职称教师 100 人,中级职称教师 70 人,高级职称教师 30 人,要从其中抽取 20 人 进行体检,如果采用分层抽样的方法,则高级职称教师应该抽取的人数为

? ? 14、计算:

?
sin xdx ?

1exdx ? ______

??

0

?x ? y ?1

15、已知实数



满足

? ?

x?2

,则 x2 ? y2 的取值范围是_________

?? y ? 2

16、在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则,将某些整数染成红色,先染 1;再染 3 个偶数 2,4,6; 再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7,9,11,13,15;再染 15 后面最邻近的 7 个连续偶数 16,18, 20,22,24,26,28;再染此后最邻近的 9 个连续奇数 29,31, ,45;按此规则一直染下去,得 到一红色子数列:1,2,4,6,7,9,11,13,15,16, ,则在这个红色子数列中,由 1 开始的第 1000 个数是_________

2/7

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,请将答案写在答题卡上,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤)
17、(本题 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 y ? 1,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为 极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,圆 M 的极坐标方程为 ? 2 ? 6?sin? 。
(1)求圆 M 的平面直角坐标方程,并写出圆心和半径; (2)若直线 l 与圆 M 交于 A, B 两点,求 AB 的值。

18、(本题 12 分)已知函数 f (x) ? 2x3 ?12x 。

(1)求 在点

处的切线;

(2)求函数 的单调区间和极值。

19、(本题 12 分)某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋 钮旋转的弧度数 与烧开一壶水所用时间 的一组数据,且作了一定的数据处理(如下表),得到了散点图(如 下图).

1.4 7

20. 6

0.7 8

2.35

0.81

-19.3

16.2

表中



(1) 根据散点图判断,



哪一个更适宜作烧水时间 关于

开关旋钮旋转的弧度数 的回归方程类型?(不必说明理由)

(2)根据判断结果和表中数据,建立 关于 的回归方程;

(3)若单位时间内煤气输出量

成正比,那么 为多少时,烧开一壶水最省煤气?

附:对于一组数据

,其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估

3/7

计分别为



20、 (本题 12 分)如图所示,已知三棱锥 P ? ABC 中,底面 ABC 是等边三角形,且 PA ? PB ? AC ? 2, D, E 分别是 AB, PC 的中点。 (1)求证: AB ⊥平面 CDE ; (2)若 PC ? 6 ,求锐二面角 A? PB ?C 的余弦值。

21、(本题 12

分)已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的离心率为

2 ,且以两焦点为直径的圆的面积 2

为? 。

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)若直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,点 D 的坐标为 (0, 1 ) ,问直线 AD 与 BD 的斜率 2

之和 kAD ? kBD 是否为定值?若是,求出该定值,若不是,试说明理由.

22、(本题 12 分)已知函数 (1)讨论 的单调性;

,其中 . 4/7

(2)当 时,证明:

(3)试比较 ln 22 ? ln 32 ? ln 42 ?

22

32

42

结论。



? ln n2 与 (n ?1)(2n ?1)

n2

2(n ?1)

,并证明你的

成都外国语学校 2018-2019 学年下期期中考试 高二理科数学答案

1-12:DBCA AADC BBCD 13、3

14、 e ?1

15、[ 1 ,8] 2

16、1968

17、解:(1) ? 2 ? 6?sin ? ? x2 ? y2 ? 6 y ? x2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,圆心为(0,3),半径为 3. …………5



(2) AB ? 2 5 …………10 分

18、解: (1)

,则

,则



故切线为

…………5 分

(2)

,列表如下:

所以函数 极大值是



极 大值



的增区间是



,极小值是

极 小值
,减区间为 .……12 分

↗ …………10 分

19、解:(1)

更适宜作烧水时间 关于开关旋钮旋转的弧度数 的回归方程类型.

(2)由公式可得:



所以所求回归方程为



(3)设

,则煤气用量

当且仅当

时取“=”,即 时,煤气用量最小.

20、解:(1)连接 PD ,因为 PA ? PB ? AC ,底面 ABC 是等边三角形,
5/7

, ,

又因为 D 是 AB 的中点,所以 PD ? AB, AB ? CD . 又因为 CD PD ? D ,所以 AB ⊥平面 CDE .

(2)因为 PA ? PB ? AC ? 2 由(1), 可知 PD ? CD ? 3 ,而 PC ? 6 , uuur
所以 PD ? CD 。以 D 为原点,以 DB 的方向为 x 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,

? ? ? ? 则 A??1,0,0?, B?1,0,0?,C 0, 3,0 , P 0,0, 3 ,

ur

由题意,得平面 ABP 的一个法向量为 m ? ?0,1,0? .

r

设平面 BCP 的一个法向量为 n ? ? x, y, z? .

? ? ? ? uuur

uuur

因为 BC ? ?1, 3, 0 , PC ? 0, 3, ? 3 ,

uuur r

所以

?? BC ?uuur

?n r

?

(?1,

3, 0) ?(x, y, z) ? 0

,即

?? ?

?x

?

3y ? 0

??PC ? n ? (0, 3, ? 3) ? (x, y, z) ? 0 ?? 3y ? 3z ? 0

? ? 令 z ?1,得 x ? 3, y ? 1, .所以 n ? 3,1,1 ,所以 cos ? m, n ?? 1 ? 5 . 55

由题意知二面角 A? PB ?C 为锐角,所以二面角 A? PB ?C 的余弦值为 5 5

21、解:(1)由已知可得

?c ????ca

? ? 1,

2 2

,

??a2 ? b2 ?

解得 a2 c2,

?

2 ,b2

?

c2

? 1,故所求的椭圆方程为

x2 2

?

y2

?1.

??

? x2

(2)由

? ?

2

?

y2

? 1, 得 (1?

2k 2 )x2

? 8kx

?

6

?

0



?? y ? kx ? 2,

则 ? ? 64k 2 ? 24(1? 2k 2 ) ? 16k 2 ? 24 ? 0 ,解得 k ? ? 6 或 k ? 6 .

2

2



A( x1 ,

y1) ,B(x2 ,

y2 ) ,则 x1

? x2

?

?

1

8k ? 2k

2

,x1x2

?

1

?

6 2k

2

,则 kAD

?

y1 ? x1

1 2

,kBD

?

y2 ? x2

1 2



所以 kAD

? kBD

?

y1x2

?

y2

x1

?

1 2

(

x1

?

x2

)

x1x2

?

2kx1x2

?

3 2

( x1

?

x2

)

x1x2

?

6k

? 6k 3

? 0,

所以 kAD ? kBD 为定值,且定值为 0.

22、解:(1)函数

①当 时,

,所以 在

, 上单调递增

②当 时,令

,解得





时,

,所以

, 所以 在

6/7

上单调递减;



时,

,所以

,所以 在

综上,当 时,函数 在

上单调递增;

上单调递增.

当 时,函数 在

(2)当 即证

时, ,即

上单调递减,在
,要证明 .即

, .

上单调递增.





,令

得, .

当时,,当时,.所以为极大值点,也为最大值点

所以,即。故.

(3)证明:(当且仅当时等号成立),即,

则有+

, 故: +

7/7


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