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人教a版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.5.1曲边梯形的面积 有答案

人教 a 版数学高二选修 2-2 习题_第一章_导数及其应用_1.5.1 曲边梯形 的面积 有答案 1.5 1.5.1 定积分的概念 曲边梯形的面积 A级 一、选择题 基础巩固 1.在计算由曲线 y=-x 以及直线 x=-1,x=1,y=0 所围成的图形的面积时, 若将区间 n 等分,则每个小区间的长度为( A. 1 ) 2 n 2 B. n C. 2 n-1 D. 2 n+1 2 解析:区间长度为 2,将其 n 等分得每一个小区间的长度为 . n 答案:B 1 2.在求由函数 y= 与直线 x=1,x=2, y=0 所围成的平面图形的面积时,把区 x 间等分成 n 个小区间,则第 i 个小区间为( A.? ?i-1 ? n ) , , ? i? n? B.? ? ?n+i-1 n n+i? ? n ? C. D.? , ?i i+1? ? n ? ?n n 1 解析:把区间等分成 n 个小区间后,每个小区间的长度为 ,且第 i 个小区间的左 端点不小于 1,所以选 B. 答案:B 3.在“近似代替”中,函数 f(x)在区间上的近似值( A.只能是左端点的函数值 f(xi) B.只能是右端点的函数值 f(xi+1) C.可以是该区间内任一点的函数值 f(ξ i)(ξ i∈) D.以上答案均不正确 第- 1 -页 共 5 页 ) 解析:由求曲边梯形面积的“近似代替”知,选项 C 正确. 答案:C 4.直线 x=a,x=b(a<b),y=0 和曲线 y=f(x)(f(x)>0)所围成的曲边梯形的 面积 S=( ) B. n 1 A. ?f(ξ i)· i=1 n ?f(ξ i=1 n i )· 1 n b-a C. ?f(ξ i)· n i=1 n D. ? n i =1 n b-a ·f(ξ i) 解析:第 n 个小曲边梯形的面积可近似的表示为 n b-a ·f(ξ i).所以,曲边梯形的 n 面积为 ? n i =1 b-a ·f(ξ i) 答案:D 5.对于由函数 y=x3 和直线 x=1,y=0 围成的曲边梯形,把区间三等分,则曲边 梯形面积的近似值(每个 ξ i 取值均为小区间的左端点)是( A. 1 9 B. 1 25 C. 1 27 D. 3 ) 1 30 3 1 ?1? 1 ?2? 1 1 解析:S=0× +? ? × +? ? × = . 3 ?3? 3 ?3? 3 9 答案:A 二、填空题 6.在区间上等间隔地插入 8 个点,则将它等分成 9 个小区间,每个小区间的长度 为____. 解析:区间长度为 9,将它等分成 9 个小区间,每个小区间的长度为 1. 答案:1 7.若 xi=1,则 (2xi+1)=______. 第- 2 -页 共 5 页 解析: 答案:7 (2xi+1)=2(x1+x2+x3+x4+x5)+5=2×1+5=7. 8.直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x +1 围成曲边梯形,将区间五等分,按照 区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为 ________、________. 解析:分别以小区间左、右端点的纵坐标为高,求所有小矩形面积之和. 2 S1=(02+1+0.42+1+0.82+1+1.22+1+1.62+1)×0.4=3.92; S2=(0.42+1+0.82+1+1.22+1+1.62+1+22+1)×0.4=5.52. 答案:3.92 三、解答题 9.求出由直线 x=0,x=3,y=0 和曲线 y= 4-(x-1)2围成的平面图形的面 积. 解:圆(x-1)2+y2=4 在第一象限的面积如图所示: 5.52 ∠ACB= 2π ,OB= 3, 3 3 1 2π 3 4π + ×2×2× = + . 2 2 3 2 3 面积 S=S△BOC+S 扇形 ACB= 10.求直线 x=2,y=0 和曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积. 2 解:(1)分割:把区间等分成 n 个小区间,第 i 个小区间的长度为 ,过各分点作 x n 轴的垂线,把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形. (2)近似代替:当 n 很大时,区间长度很小,小曲边梯形近似于小矩形,第 i 个小 ?2i? 矩形的高度用 f? ?代替(i=1,2,…,n). ?n? (3)求和:各矩形面积之和 第- 3 -页 共 5 页 n n ?2i? ?2i?22 Sn= ?f? ?Δ x= ? ? ? n? n? n i=1 ? i =1 ? 8 2 8 n(n+1)(2n+1) 2 2 = 3(1 +2 +…+n )= 3 n n 6 1 ?? 1? 8? = ?1+ ??1+ ?. n?? 2n? 3? 8 8 (4)取极限:当 n 趋向于+∞时,Sn 趋向于 ,所以曲边梯形的面积 S= . 3 3 B级 能力提升 1.已知直线 l:y=ax+b 和曲线 C:y=ax2+bx,则由直线 l 和曲线 C 所围成的平 面图形(图中阴影部分)只可能是( ) 解析:对于选项 A,直线 l 和曲线 C 中的 a>0,b<0,符合条件. 答案:A 2.如图所示,曲线 C∶y=2x(0≤x≤2)两端分别为 M,N,且 NA⊥x 轴于点 A,把线 段 OA 分成 n 等份, 以每一段为边作矩形, 使其与 x 轴平行的边的一个端点在曲线 C 上, 另一端点在曲线 C 的下方,设这 n 个矩形的面积之和为 Sn,则 =________. 2 解析:依题意可知从原点开始,矩形的高成等比数列,首项为 1,公比为 2 ,则 Sn 2n 2 4 2n-2 n = 2 n (1 + 2 + 2 + … + 2 n n n )= 2 n · 1-2 1-2 n 2 = 2 n · -3 n .所以 = n 1- 4 第- 4 -

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