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高中数学恒成立的解题方法和思路


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学恒成立的解题方法和思路 作者:刘旭 来源:《试题与研究· 教学论坛》2015 年第 31 期 摘 要:恒成立问题对于众多学生来说都是一个重难点,这里面不仅涉及到一次函数、二 次函数等函数知识,还涉及到圆锥曲线的性质以及图像等数学思想与方法,本文针对恒成立问 题策略和解题技巧方面作了探讨。 关键词:恒成立;解题策略;高中数学 这几年由于恒成立问题成为高考中的一个热点,迫使广大学生在高三这个重要阶段把其当 做复习迎考训练中的一个重点,学生的综合解题能力需要得到进一提升,并懂得以及注重培养 自己思维的灵活性与创造性。 一、函数最值法 在学生之间,函数最值法是很好用的一种解题方法,在恒成立这一类型的很多题目中都适 用,在课堂中吸取老师所讲知识时,我们要学会按照老师的教学模式走,听从老师教导根据题 意利用函数最值法解决实际问题的建议,这样更有利于解题过程省时简单。 比如“设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,并对 f(x)≥ax 都成立,那么 实数 a 的取值范围是多少?”,面对这样一道题,在利用函数最值法解答这个恒成立题目时, 不要忘记对题目进行相关的变形处理。首先把题目中 f(x)=(x+1)ln(x+1)处理为“令 g (x)=(x+1)ln(x+1)-ax”之后,再对函数 g(x)求其导数“g′(x)=ln(x+1)+1-a”,令其 中的“g′(x)=o”,从而可以得“x=ea-1-1,”,当 x 大于 x=ea-1-1 时,g′(x)也就大于 0,g (x)在(ea-1-1,+∞)上面为增函数。当 x 小于 x=ea-1-1 时,g′(x)也就小于 0,g(x)在 (-∞,ea-1-1)上就是减函数。所以要对所有的 x≥0 都有 g(x)≥g(0)的充要条件为 ea-1-1 小于或者等于 0,这样就可以得到 a≤1,也就说 a 的取值范围是(-∞,1]。因此在涉及恒成立 问题时,利用函数最值法是一个既简单又省时的方法,但也别忘记注重对题目进行变形处理。 二、分离参数法 分离参数法在遇到恒成立问题中含有参数的不等式题目时,是一种十分高效有用的解题办 法,这需要把含参数的不等式进行变形,然后将里面的参数给分离出来。这一过程可以把复杂 的恒成立问题简单明了化,让不等式变形为一端只含参数的解析式,这样运用分离参数法更能 帮助我们快速解决数学中的恒成立问题。 比如在这样的一道题中,“已知 2a-3b=1,如何证明 ax+by=5 这条直线恒过定点?”,在这 道题中以知 2a-3b=1,便可以得出 a=(3b+1),把其带入直线方程式后,分离参数 b 可以得出 (x-10)+b(3y+2y)=0,又由 x-10=0 与 3y+2y=0 得到 x=10,而 y=-15。所以(x-10)+b 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn (3y+2y)=0 表示经过 x-10=0 与 3y+2y=0 这两条直线的交点(10,-15)的直线系方程。因此 当 2a-3b=1 的时候,直线 ax+by=5 是恒过定点(10,-15)。从这含有参数的不等式题目的例 子可以看出,所谓的分离参数法主要也就是将里面的参数单独放在一边,而使其另一边成为不 含参数的函数解析式,也就相当于把含参数不等式转化为函数最值问题后再进行处理,学会将 复杂的恒成立简单化,使用分离参数法解决可以有效高中学生为之头痛的恒成立问题。 三、数形结合法 想要解决恒成立问题,少不了数形结合

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