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浙江专版2018高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系充分条件与必要条件


第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫 做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系

图?? (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)如果 p?q,那么 p 与 q 互为充要条件. (3)如果 pD

q,且 qD

p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

4.集合与充要条件 设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有: (1)若 A? B,则 p 是 q 的充分条件,若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件. (2)若 B? A,则 p 是 q 的必要条件,若 B?A,则 p 是 q 的必要不充分条件. (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件.

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“x +2x-3<0”是命题.(
2

) )

(2)命题“若 p,则 q”的否命题是“若 p,则綈 q”.( (3)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( )

1

(4)“若 p 不成立,则 q 不成立”等价于“若 q 成立,则 p 成立”.( [解析] (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的. (2)错误.否命题既否定条件,又否定结论. (3)正确.q 是 p 的必要条件说明 p? q,所以 p 是 q 的充分条件. (4)正确.原命题与逆否命题是等价命题. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ π 2.(教材改编)命题“若 α = ,则 tan α =1”的逆否命题是( 4 )

)

【导学号:51062007】 π A.若 α ≠ ,则 tan α ≠1 4 π B.若 α = ,则 tan α ≠1 4 π C.若 tan α ≠1,则 α ≠ 4 π D.若 tan α ≠1,则 α = 4 C [“若 p,则 q”的逆否命题是“若綈 q,则 綈 p”,显然綈 q:tan α ≠1,綈 p:

π π α ≠ ,所以该命题的逆否命题是“若 tan α ≠1,则 α ≠ ”.] 4 4 3.(2017·浙江五校第一次联考)设 x>0,则“a=1”是“x+ ≥2 恒成立”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

a x

[因为 x+ ≥2,x>0 恒成立?a≥(2x-x )max=1,x>0,所以“a=1”是“x+ ≥2

a x

2

a x

恒成立”的充分不必要条件,故选 A.] 4.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数 为( ) A.1 C.3 B B.2 D.4

[原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若 a>-6,则 a>-3”是假

命题,从而其否命题也是假命题. 因此 4 个命题中有 2 个假命题.] 5. (2017·杭州学军中学模拟)若 p: “x>a”是 q: “x>1 或 x<-3”的充分不必要条件,

2

则 a 的取值范围是( A.a≥1 C.a≥-3 A

) B.a≤1 D.a≤-3

[因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以集合 p 是集合 q 的真子集,即 p? q,所以 a

≥1,故选 A.]

四种命题的关系及其真假判断 (1)命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题及其真假性为 ( A.“若 x=4,则 x -3x-4=0”为真命题 B.“若 x≠4,则 x -3x-4≠0”为真命题 C.“若 x≠4,则 x -3x-4≠0”为假命题 D.“若 x=4,则 x -3x-4=0”为假命题 (2)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命 题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 (1)C ) B.假,假,真 D.假,假,假
2 2 2 2 2

)

(2)B [(1)根据逆否命题的定义可以排除 A,D,由 x -3x-4=0,得 x=4 或-

1,所以原命题为假命题,所以其逆否命题也是假命题. (2)由共轭复数的性质,原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题. 当 z1=1+2i,z2=2+i 时,显然|z1|=|z2|,但 z1 与 z2 不共轭,所以逆命题为假命题, 从而它的否命题亦为假命题.] [规律方法] 1.已知原命题写出该命题的其他命题时, 先要分清命题的条件与结论. 特 别注意的是,如果命题不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写为“若 p,则 q”的形式. 2.给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它是假命题, 只需举一反例即可. 3.由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以有时可以利用这种等价性间接地证明 命题的真假. [变式训练 1] 原命题为“若

an+an+1
2

<an, n∈N , 则{an}为递减数列”, 关于其逆命题、 )

*

否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,真,真 C.真,真,假

B.假,假,真 D.假,假,假
3

A

[由

an+an+1
2 2

<an,得 an+an+1<2an,即 an+1<an.

所以当

an+an+1

<an 时,必有 an+1<an,

则{an}是递减数列. 反之,若{an}是递减数列,必有 an+1<an, 从而有

an+an+1
2

<an.

所以原命题及其逆命题均为真命题,从而其否命题及其逆否命题也均是真命题.] 充分条件与必要条件的判断 (1)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值 点,则( )

A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 (2)设 x∈R,则“|x-2|<1”是“x +x-2>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (1)C (2)A [(1)当 f′(x0)=0 时,x=x0 不一定是 f(x)的极值点,
3 2

)

比如,y=x 在 x=0 时,f′(0)=0,但在 x=0 的左右两侧 f′(x)的符号相同,因而 x =0 不是 y=x 的极值点. 由极值的定义知,x=x0 是 f(x)的极值点必有 f′(x0)=0. 综上知,p 是 q 的必要条件,但不是充分条件. (2)|x-2|<1?1<x<3,x +x-2>0?x>1 或 x<-2. 由于{x|1<x<3}是{x|x>1 或 x<-2}的真子集. 所以“|x-2|<1”是“x +x-2>0”的充分不必要条件.] [规律方法] 充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据 p? q,q? p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉 及字母的范围的推断问题. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命 题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.
4
2 2 3

[变式训练 2] 设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N? M”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 B B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

2

)

[若 a=1,则集合 N={1},此时满足 N? M.若 N? M,则 a =1 或 2,所以 a=±1 或

a=± 2.故“a=1”是“N? M”的充分不必要条件.]
充分条件、必要条件的应用 已知 P={x|x -8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}.若 x∈P 是 x ∈S 的必要条件,求 m 的取值范围. 【导学号:51062008】 [解] 由 x -8x-20≤0 得 -2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}.4 分 ∵x∈P 是 x∈S 的必要条件, 则 S? P, 1-m≥-2, ? ? ∴?1+m≤10, ? ?1-m≤1+m,
2 2

∴0≤m≤3.8 分

综上,可知 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.14 分 [迁移探究 1] 本例条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. [解] 由例题知 P={x|-2≤x≤10}.2 分 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
?1-m=-2, ? ∴? ? ?1+m=10,

8分

∴?

? ?m=3, ?m=9, ?

这样的 m 不存在.14 分 [迁移探究 2] 本例条件不变, 若 x?P 是 x?S 的必要不充分条件, 求实数 m 的取值范围. [解] 由例题知 P={x|-2≤x≤10}. ∵x?P 是 x?S 的必要不充分条件,∴P 是 S 的充分不必要条件, ∴P? S 且 SD

P,4 分

∴[-2,10]?[1-m,1+m],
? ?1-m≤-2, ∴? ?1+m>10 ? ? ?1-m<-2, 或? ?1+m≥10, ?

8分

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞).14 分

5

[规律方法] 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注 意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关 系列出关于参数的不等式(组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. [变式训练 3] (1)(2017·温州模拟)已知命题 p:a≤x≤a+1,命题 q:x -4x<0,若
2

p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是________.
(2)方程 ax +2x+1=0(a∈R, a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________. (1)(0,3) {x|0<x<4}. ∵p 是 q 的充分不必要条件,∴M?N, ∴?
?a>0, ? ?a+1<4, ?
2

(2)a≤0 或 a = 1

[(1) 令 M = {x|a≤x≤a + 1} , N = {x|x - 4x<0} =

2

解得 0<a<3.

(2)当 a=0 时,原方程为 2x+1=0, 1 ∴原方程有一个负实根 x=- . 2 当 a≠0 时,ax +2x+1=0 只有一个负实根. ∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根,当方程有一正一负根时,则
2

x1x2<0,
1 ∴ <0,且 Δ =4-4a>0,解得 a<0.

a

当方程有两个相等的负根时,Δ =4-4a=0,a=1,此时方程的根为-1,符合题意, 综上,方程的解集只有一个负实根的充要条件是 a≤0 或 a=1.]

6

[思想与方法] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然 后按定义来写;在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与 其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充分条件、必要条件的几种判断方法 (1)定义法:直接判断“若 p,则 q”“若 q,则 p”的真假. (2)等价法:对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},若 A? B,则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件;若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件,若 A=B,则 p 是

q 的充要条件.
[易错与防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提. 2. 判断命题的真假及写四种命题时, 一定要明确命题的结构, 可以先把命题改写成“若

p,则 q”的形式.
3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必 要条件是 q”等语言的含义. 课时分层训练(二)

7

命题及其关系、充分条件与必要条件 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆否命题是 ( A.若方程 x +x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x +x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m≤0 D [根据逆否命题的定义,命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆否命题是
2 2 2 2 2 2 2

)

“若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m≤0”.] 2.(2017·杭州调研)设 α ,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m? α .则“m∥β ”是 “α ∥β ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B [m? α ,m∥β D α ∥β ,但 m? α ,α ∥β ? m∥β ,∴“m∥β ”是“α ∥β ”

的必要不充分条件.] 3.“x>1”是“log1(x+2)<0”的(
2

)

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B [∵x>1? log1(x+2)<0,log1(x+2)<0? x+2>1? x>-1,∴“x>1”是“log1(x+
2 2 2

2)<0”的充分不必要条件.] 4.给出下列命题: ①“若 a <b ,则 a<b”的否命题; ②“全等三角形面积相等”的逆命题; ③“若 a>1,则 ax -2ax+a+3>0 的解集为 R”的逆否命题; ④“若 3x(x≠0)为有理数,则 x 为无理数”的逆否命题.
2 2 2

8

其中正确的命题是( A.③④ C.①② A

) 【导学号:51062009】 B.①③ D.②④
2 2

[对于①,否命题为“若 a ≥b ,则 a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相

等的三角形是全等三角形”,是假命题;对于③,当 a>1 时,Δ =-12a<0,原命题正确, 从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确, 故命题③④为真命题.] 5.(2017·嘉兴期末测试)设 α ,β 是两个不同的平面,m 是直线,且 m? α ,则“m ⊥β ”是“α ⊥β ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [若 m? α ,m⊥β ,则 α ⊥β ;反之,若 α ⊥β ,m? α ,则 m 与 β 的位置关系不 )

确定,所以“m⊥β ”是“α ⊥β ”的充分不必要条件,故选 A.] 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B” 的( ) A.充要条件 C.必要不充分条件 A B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

[由正弦定理 = =2R(R 为三角形外接圆半径)得,a=2Rsin A,b=2Rsin sin A sin B

a

b

B,故 a≤b?2Rsin A≤2Rsin B?sin A≤sin B.]
7.已知条件 p:x -2ax+a -1>0,条件 q:x>2,且 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A.a≥1 C.a≥-3 B ) 【导学号:51062010】 B.a≤1 D.a≤-3
2 2

[条件 p:x>a+1 或 x<a-1,条件 q:x>2,

又 q 是 p 的充分不必要条件, 故 q? p,pD? /q,所以 a+1≤2,即 a≤1.] 二、填空题 8.已知 a,b,c 都是实数,则在命题“若 a>b,则 ac >bc ”与它的逆命题、否命题、 逆否命题这四个命题中,真命题的个数是________. 【导学号:51062011】 2 [由 a>bD
2 2

ac2>bc2,但 ac2>bc2? a>b.

9

所以原命题是假命题,它的逆命题是真命题. 从而否命题是真命题,逆否命题是假命题.] 1 2 9.“m< ”是“一元二次方程 x +x+m=0 有实数解”的________条件. 4 充分不必要 [x +x+m=0 有实数解等价于 Δ =1-4m≥0, 1 1 1 即 m≤ ,因为 m< ? m≤ ,反之不成立. 4 4 4 1 2 故“m< ”是“一元二次方程 x +x+m=0 有实数解”的充分不必要条件.] 4 10.已知集合 A={x|y=lg(4-x)},集合 B={x|x<a},若“x∈A”是“x∈B”的充分 不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. 【导学号:51062012】 (4,+∞) [A={x|x<4},由题意知 A ? B,所以 a>4.] B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2017·宁波调研)“sin α =cos α ”是“cos 2α =0”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 A
2 2 2

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[cos 2α =0 等价于 cos α -sin α =0,即 cos α =±sin α .

由 cos α =sin α 可得到 cos 2α =0,反之不成立.]

y≥x-1, ? ? 2.设 p:实数 x,y 满足(x-1) +(y-1) ≤2,q:实数 x,y 满足?y≥1-x, ? ?y≤1,
2 2

则p

是 q 的(

)

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [p 表示以点(1,1)为圆心, 2为半径的圆面(含边界),如图所示.q 表示的平面区

域为图中阴影部分(含边界).

由图可知,p 是 q 的必要不充分条件.] 3.有下列几个命题:

10

①“若 a>b,则 a >b ”的否命题; ②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ③“若 x <4,则-2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. ②③ [①原命题的否命题为“若 a≤b,则 a ≤b ”错误.
2 2 2

2

2

②原命题的逆命题为:“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”正确. ③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤-2,则 x ≥4”正确.] 1 1 4.已知不等式|x-m|<1 成立的充分不必要条件是 <x< ,则实数 m 的取值范围是 3 2 ________.
2

?-1,4? [由|x-m|<1 得-1+m<x<1+m, ? 2 3? ? ?
? ? ?1 1 由题意知?x? <x< 3 2 ? ? ? ? ? ??{x|-1+m<x<1+m}, ? ?

1 -1+m≤ , ? ? 3 所以? 1 1+m≥ , ? ? 2

1 4 解得- ≤m≤ , 2 3

? 1 4? 所以实数 m 的取值范围是?- , ?.] ? 2 3?

11



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