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2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7双曲线教师用书文北师大版


2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线教师 用书 文 北师大版

1.双曲线定义 平面内到两定点 F1, F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双 曲线.这两个定点 F1,F2 叫作双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距. 其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. (1)当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 2a>|F1F2|时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率 实虚轴

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴 对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a

A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a
线段 A1A2 叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段

B1B2 叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫作双曲
线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长

1

a、b、c 的关系

c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

【知识拓展】 巧设双曲线方程 (1)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2- 2=t(t≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 + =1(mn<0). 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)平面内到点 F1(0,4), F2(0, -4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线. ( ? ) (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( ? ) (3)双曲线方程 2- 2=λ (m>0,n>0,λ ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0,即 ± =0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √
2 2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

x2 y2 m n

x2 y2 m n

x2 y2 m n

x2 y2 m n

x y m n

)

x y x y 1 1 (5)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,则 2+ 2= a b b a e1 e2
1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )

1.(教材改编)若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双 曲线的离心率为( A. 5 C. 2 答案 A 解析 由题意得 b=2a,又 a +b =c ,∴5a =c . ∴e = 2=5,∴e= 5. 2.若方程 - =1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( 2+m m+1 A.m>-1 C.-2<m<-1 答案 D
2
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

) B.5 D.2

c2 a

x2

y2

)

B.m<-2 D.m>-1 或 m<-2

解析 由题意知(2+m)(m+1)>0,解得 m>-1 或 m<-2,故选 D. 3.(2015?安徽)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4 C. -x =1 4 答案 C 解析 由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上,不合题意;C、D 项双曲线焦点均在 y 1 轴上,但 D 项渐近线为 y=± x,只有 C 符合,故选 C. 2 4.(2016?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1 的焦距是________. 7 3 答案 2 10 解析 由已知,a =7,b =3,则 c =7+3=10,故焦距为 2c=2 10. 5.双曲线 -y =1 的顶点到其渐近线的距离等于________. 4 答案 2 5 5
2 2 2 2

)

y2
2

B. -y =1 4 D.y - =1 4
2

x2

2

y2

x2

x2 y2

x2

2

解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0), 1 一条渐近线方程是 y= x,即 x-2y=0, 2 则顶点到渐近线的距离 d= |2-0| 2 5 = . 5 5

题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点 1 利用定义求轨迹方程 例 1 已知圆 C1: (x+3) +y =1 和圆 C2: (x-3) +y =9, 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________. 答案 x - =1(x≤-1) 8 解析 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|,
2 2 2 2 2

y2

3

|MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|=6. 又根据双曲线的定义, 得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大, 与 C1 的距离小), 其中 a=1,c=3,则 b =8. 故点 M 的轨迹方程为 x - =1(x≤-1). 8
2 2

y2

命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程 例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); (3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7). 解 (1)设双曲线的标准方程为

x2 y2 y2 x2 - =1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a2 b2 a b c 5 由题意知,2b=12,e= = . a 4
∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)∵双曲线经过点 M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a=12. 又 2c=26,∴c=13,∴b =c -a =25. ∴双曲线的标准方程为 - =1. 144 25 (3)设双曲线方程为 mx -ny =1(mn>0).
2 2 2 2 2

x2

y2

y2

x2

y2

x2

4

?9m-28n=1, ? ∴? ? ?72m-49n=1,

1 m=- , ? ? 75 解得? 1 n=- . ? ? 25

∴双曲线的标准方程为 - =1. 25 75 命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题 例 3 已知 F1,F2 为双曲线 C:x -y =2 的左,右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos ∠F1PF2=________. 答案 3 4
2 2

y2

x2

解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2| =|PF2|=2a=2 2, ∴|PF1|=2|PF2|=4 2, |PF1| +|PF2| -|F1F2| 则 cos∠F1PF2= 2|PF1|?|PF2| = ?4 2? +?2 2? -4 2?4 2?2 2
2 2 2 2 2 2

3 = . 4

引申探究 1.本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2 的面积是多少? 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a=2 2, 在△F1PF2 中,由余弦定理,得 |PF1| +|PF2| -|F1F2| cos∠F1PF2= 2|PF1|?|PF2| 1 = ,所以|PF1|?|PF2|=8, 2 1 所以 S? F1PF2 = |PF1|?|PF2|sin 60°=2 3. 2 → → 2.本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“PF1?PF2=0”,则△F1PF2 的面积是多少? 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 2, → → → → 由于PF1?PF2=0,所以PF1⊥PF2, 所以在△F1PF2 中,有|PF1| +|PF2| =|F1F2| , 即|PF1| +|PF2| =16,
5
2 2 2 2 2 2 2 2

所以|PF1|?|PF2|=4, 1 所以 S? F1PF2 = |PF1|?|PF2|=2. 2 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线, 进而根据要 求可求出双曲线方程; (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用 平方的方法,建立与|PF1|?|PF2|的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式, 然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值,如果已知双曲线的渐近线方 程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为 2- 2=λ (λ ≠0),再由条件 求出 λ 的值即可. (1)已知 F1,F2 为双曲线 - =1 的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点 A 5 4 在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为( A. 37+4 C. 37-2 5 )

x2 y2 a b

x2 y2

B. 37-4 D. 37+2 5

1 (2)(2015?课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的 2 标准方程为________________________. 答案 (1)C (2) -y =1 4 解析 (1)由题意知,|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a, 要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值, 当 A,P,F1 三点共线时,取得最小值, 则|AP|+|AF1|=|PF1|= 37, ∴|AP|+|AF2|的最小值为|AP|+|AF1|-2a= 37-2 5. 故选 C. 1 x 2 (2)由双曲线的渐近线方程为 y=± x,可设该双曲线的标准方程为 -y =λ (λ ≠0),已知 2 4 4 x 2 2 该双曲线过点(4, 3),所以 -( 3) =λ ,即 λ =1,故所求双曲线的标准方程为 -y 4 4 =1. 题型二 双曲线的几何性质
2 2 2

x2

2

6

例 4 (1)(2016?浙江)已知椭圆 C1: 2+y =1(m>1)与双曲线 C2: 2-y =1(n>0)的焦点重 合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则( A.m>n 且 e1e2>1 C.m<n 且 e1e2>1 )

x2 m

2

x2 n

2

B.m>n 且 e1e2<1 D.m<n 且 e1e2<1

(2)(2015?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛 物线 C2: x =2py(p>0)交于点 O, A, B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的离心率为________. 3 答案 (1)A (2) 2 解析 (1)由题意可得 m -1=n +1,即 m =n +2, 又∵m>0,n>0,故 m>n. 又∵e1?e2=
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

m2-1 n2+1 n2+1 n2+1 ? 2 = 2 ? 2 m2 n n +2 n

n4+2n2+1 1 = 4 =1+ 4 >1,∴e1?e2>1. n +2n2 n +2n2
(2)由题意,不妨设直线 OA 的方程为 y= x,直线 OB 的方程为 y=- x.

b a

b a

b ? ?y= x, 由? a ? ?x2=2py, a a

得 x =2p ? x,

2

b a

2 2pb 2pb ?2pb,2pb ? ∴x= ,y= 2 ,∴A? 2 ?.

2

? a

设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F?0, ?, ? 2? 2pb ∴kAF=
2

?

a ? p?

a

2

2pb

- 2 .

p

a
∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB,∴kAF?kOB=-1, - a 2 ? b? b2 5 ∴ ??- ?=-1,∴ 2= . 2pb a 4 ? a?
2

2pb

2

p

a c2 a2+b2 5 9 设 C1 的离心率为 e,则 e = 2= 2 =1+ = . a a 4 4
2

3 ∴e= . 2 思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)
7

x2 y2 a b

中,离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k=± 满足关系式 e =1+k . (2016?全国甲卷)已知 F1,F2 是双曲线 E: 2- 2=1 的左,右焦点,点 M 在 E 1 上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为( 3 A. 2 3 B. C. 3 2 D.2 )

b a

2

2

x2 y2 a b

答案 A |F1F2| |F1F2| sin ∠F1MF2 解析 离心率 e= ,由正弦定理得 e= = = |MF2|-|MF1| |MF2|-|MF1| sin∠MF1F2-sin∠MF2F1 2 2 3 = 2.故选 A. 1 1- 3 题型三 直线与双曲线的综合问题 例 5 (2016?兰州模拟)已知椭圆 C1 的方程为 +y =1,双曲线 C2 的左,右焦点分别是 C1 4 的左,右顶点,而 C2 的左,右顶点分别是 C1 的左,右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; → → (2)若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且OA?OB>2(其中 O 为原点), 求 k 的取值范围. 解 (1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), 则 a =4-1=3,c =4, 再由 a +b =c ,得 b =1. 故 C2 的方程为 -y =1. 3 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1, 3 得(1-3k )x -6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得
2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

x2 y2 a b

x2

2

x2

2

?1-3k ≠0, ? ?Δ =?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0,
1 2 2 ∴k ≠ 且 k <1.① 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

2

8

6 2k -9 则 x1+x2= 2,x1x2= 2. 1-3k 1-3k ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) =(k +1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2 = 3k +7 . 2 3k -1
2 2

→ → 又∵OA?OB>2,得 x1x2+y1y2>2, 3k +7 -3k +9 ∴ 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 2 解得 <k <3,② 3 1 2 由①②得 <k <1. 3 故 k 的取值范围为(-1,- 3 3 )∪( ,1). 3 3
2 2

思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元, 得关于 x 或 y 的一元二次方程.当二次项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支上一点, 这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判别式 Δ 来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验. 若双曲线 E: 2-y =1(a>0)的离心率等于 2,直线 y=kx-1 与双曲线 E 的右 支交于 A,B 两点. (1)求 k 的取值范围; → → → (2)若|AB|=6 3,点 C 是双曲线上一点,且OC=m(OA+OB),求 k,m 的值.

x2 a

2

c ? ? = 2, 解 (1)由?a ? ?a2=c2-1,
2 2

得?

?a =1, ? ? ?c =2,
2

2

故双曲线 E 的方程为 x -y =1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
? ?y=kx-1, ?x -y =1, ?
2 2 2 2

得(1-k )x +2kx-2=0.(*) ∵直线与双曲线右支交于 A,B 两点,

9

故?

?k>1, ? ? ?Δ =?2k? -4?1-k ???-2?>0,
2 2

即?

?k>1, ?- 2<k< 2,

所以 1<k< 2.

故 k 的取值范围是{k|1<k< 2}. (2)由(*)式得 x1+x2=
2

2k 2 ,x1x2= 2 , k2-1 k -1
2

∴|AB|= 1+k ? ?x1+x2? -4x1x2 =2 ?1+k ??2-k ? =6 3, 2 2 ?k -1?
2 2

5 5 4 2 2 2 整理得 28k -55k +25=0,∴k = 或 k = , 7 4 又 1<k< 2,∴k= 5 , 2

∴x1+x2=4 5,y1+y2=k(x1+x2)-2=8. → → → 设 C(x3,y3),由OC=m(OA+OB), 得(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4 5m,8m). ∵点 C 是双曲线上一点. 1 2 2 ∴80m -64m =1,得 m=± . 4 故 k= 5 1 ,m=± . 2 4

11.直线与圆锥曲线的交点

典例 已知双曲线 x - =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A,B 两点,且 2 点 P 是线段 AB 的中点? 错解展示

2

y2

10

现场纠错 解 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0,y0), 若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 即 y=kx+1-k.

y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 x - =1, ? 2 ?
得(2-k )x -2k(1-k)x-(1-k) -2=0(2-k ≠0).① ∴x0=
2 2 2 2

x1+x2 k?1-k? = . 2 2 2-k k?1-k? =1,解得 k=2. 2 2-k
2

由题意,得

当 k=2 时,方程①可化为 2x -4x+3=0. Δ =16-24=-8<0,方程①没有实数解. ∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点. 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题,要考虑变形的条件. (2)“判别式 Δ ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.

11

1.(2015?福建)若双曲线 E: - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上, 9 16 且|PF1|=3,则|PF2|等于( A.11 B.9 答案 B 解析 由双曲线定义||PF2|-|PF1||=2a, ∵|PF1|=3, ∴P 在左支上, ∵a=3, ∴|PF2|-|PF1| =6, ∴|PF2|=9,故选 B. 2.(2016?全国乙卷)已知方程 4,则 n 的取值范围是( A.(-1,3) C.(0,3) 答案 A 解析 ∵方程
2

x2
)

y2

C.5 D.3

y2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 m +n 3m2-n
2

x2



) B.(-1, 3) D.(0, 3)

- =1 表示双曲线, m +n 3m2-n
2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

∴(m +n)?(3m -n)>0,解得-m <n<3m ,由双曲线性质,知 c =(m +n)+(3m -n)=4m (其 中 c 是半焦距), ∴焦距 2c=2?2|m|=4,解得|m|=1,∴-1<n<3,故选 A. 3.(2016?佛山模拟)已知双曲线 - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与该双 16 9 曲线的右支交于 A,B 两点,若|AB|=5,则△ABF1 的周长为( A.16 B.20 C.21 答案 D 解析 由双曲线 - =1,知 a=4. 16 9 由双曲线定义|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a=8, ∴|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+16=21, ∴△ABF1 的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5 =26. D.26 )

x2

y2

x2

y2

12

故选 D. 4.(2016?庐江第二中学月考)已知椭圆 2+ 2=1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比 数列,离心率为 e1;双曲线 2- 2=1(a2>0,b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列, 离心率为 e2,则 e1e2 等于( A. 2 2 B.1 C. 3 D.2 )

x2 y2 a1 b1

x2 y2 a2 b2

答案 B 解析 由 b1=a1c1,得 a1-c1=a1c1,∴e1= = 由 b2=a2c2,得 c2-a2=a2c2,∴e2= = ∴e1e2= 5-1 5+1 ? =1. 2 2
2 2 2 2 2 2

c1 a1

5-1 . 2

c2 a2

5+1 . 2

5.(2015?课标全国Ⅰ)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦 2 → → 点,若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是( 3 3? ? , ? 3? ? 3 ? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3 A.?- 答案 A 解析 由题意知 a= 2,b=1,c= 3, ∴F1(- 3,0),F2( 3,0), → → ∴MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). → → 2 ∵MF1?MF2<0,∴(- 3-x0)( 3-x0)+y0<0, 即 x0-3+y0<0. ∵点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴ -y0=1,即 x0=2+2y0, 2 ∴2+2y0-3+y0<0,∴-
2 2 2 2

x2

2

)

3 3? ? , ? 6? ? 6 ? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3 B.?-

x2 0

2

2

2

3 3 <y0< .故选 A. 3 3

6.(2016?银川模拟)已知双曲线 - =1(m>0)的一个焦点在圆 x +y -4x-5=0 上,则双 9 m 曲线的渐近线方程为( )

x2 y2

2

2

13

3 A.y=± x 4 C.y=± 答案 B 解析 由?
? ?y=0, ?x +y -4x-5=0, ?
2 2

4 B.y=± x 3 3 2 D.y=± x 4

5 x 3

得 x -4x-5=0,

2

解得 x=5 或 x=-1,又 a=3,故 c=5, 4 所以 b=4,双曲线的渐近线方程为 y=± x, 3 故选 B. 7.(2017?江西新余一中调研)双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F 恰好是圆 F:x +

x2 y2 a b

2

y2-4x+3=0 的圆心,且点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1,则双曲线 C 的离心率为
( A. 2 ) B. 3 2 3 C. 3 D.2 3

答案 C 解析 x +y -4x+3=0 可化为(x-2) +y =1, 故 F(2,0),即 c=2, 点 F 到一条渐近线的距离为 b, 即 b=1,∴a= c -b = 3,
2 2 2 2 2 2

c 2 3 ∴e= = . a 3
8. (2016?浙江)设双曲线 x - =1 的左, 右焦点分别为 F1, F2, 若点 P 在双曲线上, 且△F1PF2 3 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________. 答案 (2 7,8) 解析 如图,由已知可得 a=1,b= 3,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设 P 在右支上, 设|PF2|=m, 则|PF1|=m+2a=m+2, 由于△PF1F2 为锐角三角形,
??m+2? <m +4 , ? 结合实际意义需满足? 2 2 2 ? ?4 <?m+2? +m ,
2 2 2 2

y2

14

解得-1+ 7<m<3,又|PF1|+|PF2|=2m+2, ∴2 7<2m+2<8.

x2 y2 9.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且 a b
|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 答案 5 3

解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a. 8 2 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|= a,|PF2|= a. 3 3 在△PF1F2 中,由余弦定理, 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 2 得 cos∠F1PF2= = - e. 8 2 8 8 2? a? a 3 3 要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值, 5 ∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e= , 3 5 即 e 的最大值为 . 3 10.设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O 且所成的角为 60°的直线 A1B1 和

A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1、B1 和 A2、B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线
的离心率的取值范围是____________. 答案 ?

?2 3 ? ,2? ? 3 ?

解析 由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于 x 轴(或 y 轴)对称.又由题意知 有且只有一对这样的直线, 故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于 30°且小于等
2 b 1 b c 2 c2 b2 4 2 2 于 60°,即 tan 30°< ≤tan 60°,∴ < 2≤3.又 e =( ) = 2=1+ 2,∴ <e ≤4, a 3 a a a a 3



2 3 <e≤2. 3

11.中心在原点,焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且|F1F2|=2 13, 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4,离心率之比为 3∶7.
15

(1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求 cos∠F1PF2 的值. 解 (1)由已知 c= 13,设椭圆长半轴长,短半轴长分别为 a,b, 双曲线实半轴长,虚半轴长分别为 m,n,

a-m=4, ? ? 则? 13 13 7? =3? , ? a m ?
解得 a=7,m=3. ∴b=6,n=2, ∴椭圆方程为 + =1, 49 36 双曲线方程为 - =1. 9 4 (2)不妨设 F1,F2 分别为左,右焦点,P 是第一象限的一个交点, 则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6, ∴|PF1|=10,|PF2|=4. 又|F1F2|=2 13, |PF1| +|PF2| -|F1F2| ∴cos∠F1PF2= 2|PF1|?|PF2| = 10 +4 -?2 13? 4 = . 2?10?4 5
2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2 y2

x 2 y2 12. (2016?江西丰城中学模拟)一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 3的双曲线 2- 2=1(a>0, a b b>0)交于 P,Q 两点,直线 l 与 y 轴交于 R 点,且OP?OQ=-3,PR=3RQ,求直线和双曲线的
方程. 解 ∵e= 3,∴b =2a , ∴双曲线方程可化为 2x -y =2a . 设直线 l 的方程为 y=x+m. 由?
? ?y=x+m, ?2x -y =2a , ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2









得 x -2mx-m -2a =0, ∴Δ =4m +4(m +2a )>0, ∴直线 l 一定与双曲线相交.
16
2 2 2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=2m,x1x2=-m -2a .
2 2

x1+3x2 → → ∵PR=3RQ,xR= =0, 4
∴x1=-3x2,∴x2=-m,-3x2=-m -2a . 消去 x2,得 m =a . → → OP?OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m) =2x1x2+m(x1+x2)+m =m -4a =-3, ∴m=±1,a =1,b =2. 直线 l 的方程为 y=x±1,双曲线的方程为 x - =1. 2 13.已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左,右顶点),且以 AB 为 直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. (1)解 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), 由已知,得 =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2

5 ,虚轴长为 2. 2

x2 y2 a b

c a

5 ,2b=2, 2

又 a +b =c ,解得 a=2,b=1, ∴双曲线的标准方程为 -y =1. 4 (2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

x2

2

y=kx+m, ? ? 2 联立?x 2 -y =1, ? ?4
2 2



(1-4k )x -8mkx-4(m +1)=0,

2

17

?Δ =64m k +16?1-4k ??m +1?>0, ? 8mk 有?x +x = , 1-4k -4?m +1? ? ?x x = 1-4k ,
1-4k ≠0,
2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2

2

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k x1x2+mk(x1+x2)+m =
2 2

m2-4k2 2, 1-4k

以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(-2,0), ∴kADkBD=-1,即 ? =-1, x1+2 x2+2

y1

y2

∴y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0, ∴

m2-4k2 -4?m2+1? 16mk + 2+ 2 2+4=0, 1-4k 1-4k 1-4k

10k 2 2 ∴3m -16mk+20k =0,解得 m1=2k,m2= . 3 当 m1=2k 时,l 的方程为 y=k(x+2), 直线过定点(-2,0),与已知矛盾; 10k 10 当 m2= 时,l 的方程为 y=k(x+ ), 3 3 10 直线过定点(- ,0),经检验符合已知条件. 3 10 ∴直线 l 过定点,定点坐标为(- ,0). 3

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