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四川省宜宾市高中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案


宜宾市 2013-2014 学年下学期高一期末检测题





本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效.满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.由 a1 ? 3 , d ? 2 确定的等差数列 {an } ,当 an ? 21时,则项数 n 等于 (A) 9 (B)12 (C) 11 (D)10 2.下列各组向量中,可以作为基底的是 (A) e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) (C) e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) (B) e1 ? (?1, 2), e2 ? (5,7) (D) e1 ? (2, ?3), e 2 ? ( , ? )

1 2

3 4

3.已知 a,b 为非零实数,且 a < b,则下列命题成立的是
2 2 (A) a < b 2 2 (B)a b < ab

(C) 2 a ? 2 b ? 0

(D)

1 1 > a b

0 0 4.在△ABC 中,三个内角 A , B , C 对应的边分别是 a ,b ,c ,且 B ? 45 , C ? 60 , c ? 1 ,

则△ABC 的最短边为 (A)

6 3

(B)

6 2

(C)

1 3 (D) 2 2

5.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线方程为

3x ? 4 y ? 5 ? 0 (B)3x ? 4 y ? 5 ? 0 (C)3x ? 4 y ? 5 ? 0 (D)3x ? 4 y ? 5 ? 0 (A)
6.设等比数列{an } 各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则 log3 a1 ? log3 a2 ? (A)12 (B) 2 ? log3 5 (C)8 (D)10

? log3 a10 ?

7.已知等边 ?ABC 的边长为 1,若 BC ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 a ? b ? b ? c ? c ? a ? (A)

?3

(B) 3

(C)

?

3 2

(D)

3 2

[键入文字]

8.在约束条件 ?

? 1? x ? y ? 3 下,则目标函数 z ? 4 x ? 2 y 的取值范围是 ?? 1 ? x ? y ? 1
(B) [2,10] (C) [0,10] (D) [2,12]

(A) [0,12]

9.当圆 x 2 ? y 2 ? 4 上恰有三个点到直线 l : y ? x ? b 的距离为 1,且直线 l 与 x 轴和 y 轴分 别交于 A、B 两点,点 O 为坐标原点,则 ?ABO 的面积为 (A)1 (B) 2 (C)

2 2

(D) 2 2

10.若 a ? 0, b ? 0 ,且 2a ? b ? 1 ,则 s ?

ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值为
2 ?2 4
(D)

(A)

2?2 4

(B)

2 ?1 2

(C)

2 ?1 2

第Ⅱ卷(非选择题
注意事项:

共 100 分)

必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题 可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.试题卷上作答无效. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.不等式 x ? 3x ? 10 ? 0 的解集是
2

.

,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 12.设向量 a ? (1

??

.
2 2

13.点 A (2,1) 到圆 C: x ? y ? 2 y ? 0 上一点的距离的最大值为 14.在 ?ABC 中, a ? 14 , A ? 60 , b : c ? 8 : 5 ,则 ?ABC 的面积 S ?ABC ?
0

. .

15.在等边 ?ABC 中, | AB |? a , O 为三角形的中心,过点 O 的直线交线段 AB 于 M, 交线段 AC 于 N .有下列四个命题:

1 OM 1 ② OM


1 18 15 的最大值为 2 ,最小值为 2 ; 2 ON a a 1 ? 的最大值和最小值与 a 无关; 2 ON 2 1 1 ③设 AM ? m AB , AN ? n AC ,则 ? 的值是与 a 无关的常数; m n 1 1 ④设 AM ? m AB , AN ? n AC ,则 ? 的值是与 a 有关的常数. m n
2

?

其中正确命题的序号为:
[键入文字]

.(写出所有正确结论的编号)

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 O 为 原 点 , A(?3,?4) ,

B(5,?12) , 若

OC ? OA ? OB , OD ? OA ? OB .
(I) 求点 C 和点 D 的坐标; (II) 求 OC ? OD .

17. (本小题满分 12 分) 某单位建造一间背面靠墙的小房,地面面积为 12 m2,房屋正面每平方米的造价为 1200 元,房屋侧面每平方米的造价为 800 元,屋顶的造价为 5800 元.如果墙高为 3 m,且不计 房屋背面和地面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?

18. (本小题满分 12 分) 设等比数列{an }满足: a1 ? (I)求数列{an }的通项; (II)设 bn

1 4 , a 2 ? a3 ? ,且 an ? 0 . 3 27

?

n an

,求数列{bn } 的前 n 项和 Sn .

19. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 A(5,1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 ,AC 边上的

[键入文字]

高 BH 所在直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,求: (I)顶点 C 的坐标; (II)直线 BC 的方程.

20.(本小题满分 13 分) 在 △ ABC
2

中 , 内 角

A 、 B 、 C

的 对 边 分 别 是 a、b、c , 已 知

c ? bc cos A ? ca cos B ? ab cos C .
(I)判断△ABC 的形状; (II)若 AB ? BC ? ?3, AB ? AC ? 9 ,求角 B 的大小.

21.(本小题满分 14 分) 如图所示,已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴的正半轴交于点 C,M 是圆 O 上任意点(除去圆 O 与两坐标轴的交点).直线 AM 与直线 BC 交于点 P,直线 CM 与 x 轴交于点 N,设直线 PM、PN 的斜率分别为 m 、 n . (I) 求直线 BC 的方程; (Ⅱ) 求点 P、M 的坐标(用 m 表示) ; (II) 是否存在一个实数 ? ,使得 m ? ? n 为定值,若存在求出 ? ,并求出这个定值,若不存在, 请说明理由.

[键入文字]

[键入文字]

参考答案
一、选择题: 1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.B 9.A 10.C. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. {x|x<﹣2 或 x>5} . 12. 2 13. 2 +1 . 14. 4 . 15. ① ③ 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. ∴ = = 解: (Ⅰ )∵ =(﹣3,﹣4) , + ﹣ =(5,﹣12) ,

=(﹣3+5,﹣4﹣12)=(2,﹣16) , =(﹣3﹣5,﹣4+12)=(﹣8,8) ;

∴ 点 C(2,﹣16) ,点 D(﹣8,8) ; (Ⅱ ) 17. ? =2×(﹣8)+(﹣16)×8=﹣144. m.

解:如图所示,设底面的长为 xm,宽 ym,则 y=

设房屋总造价为 f(x) , 由题意可得 f(x) =3x?1200+3× ×800×2+12×5800=4800x+ +5800 +5800=346

00,当且仅当 x=3 时取等号. 答:当底面的长宽分别为 3m,4m 时,可使房屋总造价最低,总造价是 34600 元.

[键入文字]

18. ∴

解: (Ⅰ )∵ 等比数列{an}满足:a1= ,a2+a3= ,且 q>0,

,且 an>0.

解得 q= , ∴ an= (Ⅱ )∵ bn=
n

=( ) . =n?3 ,
2 3 n

n

∴ Sn=1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 ,① 2 3 4 n+1 3Sn=1×3 +2×3 +3×3 +…+n×3 ,② 2 3 n n+1 ① ﹣② ,得:﹣2Sn=3+3 +3 +…+3 ﹣n?3 = ∴ Sn= +( ﹣n?3 )?3
n+1 n+1





19. 解:直线 AC 的方程为: y﹣1=﹣2(x﹣5) , 即 2x+y﹣11=0, 解方程组 设 B(m,n) , 则 M( , ) , , 得 则 C 点坐标为(4,3) .

整理得



解得

则 B 点坐标为(﹣1,﹣3) ,

[键入文字]

y﹣3= (x﹣4) , 即 6x﹣5y﹣9=0.

20. 解: (Ⅰ )∵ 在△ ABC 中,c =bccosA+cacosB+abcosC, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ 由余弦定理可得:2bccosA=b +c ﹣a ,2cacosB=a +c ﹣b ,2abcosC=a +b ﹣c , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ 2c =(b +c ﹣a )+(a +c ﹣b )+(a +b ﹣c ) , 2 2 2 即 a +b =c , ∴ △ ABC 为直角三角形; (Ⅱ )∵ ? =﹣3, ? =9,

2

即 accos(π﹣B)=﹣accosB=﹣3,bccosA=9, 两式相除得: ∴ cosB=cos( ∴ tanA= ∴ A= , ,B= . = = ,又△ ABC 为直角三角形,C 为直角; ﹣A)=sinA,由正弦定理可得: = = ,A 为锐角,

21. 解: (I)∵ B 点坐标为(1,0) ,C 点坐标为(0,1) , 设直线 BC 的方程为:y=kx+b, 则 k+b=0,b=1, 解得:k=﹣1,b=1, 故直线 BC 的方程为:y=﹣x+1,即 x+y﹣1=0.…① (II)由 A 点坐标为(﹣1,0) ,直线 AM 即直线 PM 的斜率为 m, 故直线 AM 即直线 PM 的方程为:y=m(x+1)…② 由① ② 得:x= ,y= , , ) ,

即 P 点的坐标为: (
2 2

将② 代入 x +y =1 得: 2 2 2 2 (m +1)x +2m x+(m ﹣1)=0 解得:x=﹣1(舍)或 x= 则 y= , ,

[键入文字]

故 M 的坐标为: (



) ;

(III)由(II)得:M 的坐标为: (



) ;

结合 C 点坐标为(0,1) ,故 kCM=

=



故直线 CM 的方程为:y= 令 y=0,得 x= 故 N 点的坐标为( 由直线 PN 的斜率为 n. ,

x+1,

,0) ,

故 n=

=

若存在一个实数 λ,使得 m+λn 为定值 k, 则 m+λn=m+ =k,

即(λ+2)m﹣(λ+k)=0 恒成立, 故 λ=﹣2,k=2.

[键入文字]


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