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会考2013年北京市夏季普通高中会考数学试卷


2013 年北京市夏季普通高中会考数学试卷(2013.07) 满分 100 分 考试时间:120 分 第一部分 选择题 (每小题 3 分,共 60 分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1. 如果集合 A ? {0,1} , B ? {x | x2 ? 1},那么集合 A ? B 等于( A. )

{1} B. {0, 1}
2

C. {?1, 1} ) C.

D.

{?1, 0,1}

2. 不等式 x ? 2 x 的解集为( A. {x | x ? 2} B. {x | x ? 0}

{x | 0 ? x ? 2}

D. {x | x ? 0 或 x ? 2} )

3. 已知向量 OA ? (?2, 3) , OB ? (?1, 2) ,那么 AB 等于( A. (-3,5) B. (3,-5)C. (1,-1) D. (3,5)

uur

uur u

uuu r

4. 口袋中装有大小、材质完全相同的红色小球 2 个、黑色小球 1 个,现从口袋中随机摸出 两个小球,那么恰好摸到 1 个红色小球和 1 个黑色小球的概率是( A. )

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3
) 5 )

5. 如果 x ? 0 ,那么 4x ? A. 2 B. 3

1 的最小值为( x
C. 4 D.

6. 如果直线 2 x ? y ? 0 与直线 y ? kx ? 5 平行,那么实数 k 的值为( A. 2 B. -2 C.

1 2

D.

?

1 2


7. 在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 8 , a5 ? 0 ,那么 S4 等于( A. 44 B. 40 C. 20 D. -12

8. 在函数 y ? cos x , y ? A.

x , y ? ex , y ? lg x 中,奇函数是(
C.



y ? cos x

B.

y? x

y ? ex

D.

y ? lg x


? ) 的图象,只要将函数 y ? sin x 的图象( 6 ? ? A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 6 6 ? ? C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 3 3
9. 要得到函数 y ? sin( x ?

10.如图,在三棱锥 D-ABC 中,点 E,F,G 分别在侧棱 DA,DB,DC 上,且平面 EFG∥平面 ABC. 给出下列三个结论:○EF∥AB;○BC∥平面 EFG;○EG∥平面 ABC,其中成立的结论的个数 1 2 3

D

E F A B 1 C. 2

G

C

是( ) A. 0 B.

D.

3 )

11. 已知函数 f ( x) ? log a x (a ? 0, a ? 1) 在区间 [1, 4] 上最大值是 2 ,那么 a 等于( A.

1 4

B.

1 2

C.

2

D.

4 )

12. 一个几何体的三视图如下图所示,该几何体的体积为(

A. 12 B.

18

C. 24

D.

36 )

13. 在 ?ABC 中, AC : CB : AB ? 2 : 7 : 3 ,那么 ? A 等于( A. 30° B. 60° C. 30°或 150° D. 60°或 120° 14. sin

11? 的值为( 3
B.



A.

?

3 2

?

2 2

C.

2 2

D.

3 2


15. 函数 y ? sin x cos x 的一个单调递增区间可以为( A.

[0, ] 2

?

B.

[?

?
2

, 0]

C.

[?

? ?

, ] 4 4

D.

[?

? ?

, ] 2 2


? x ? 1, ? 16. 当 x, y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 时,目标函数 z ? x ? y 的最大值是( ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ?

A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 17.为了解某停车场中车辆停放的状况,在工作日(周一至周五)期间随机选取了一天,对

该停车场内的 1000 辆汽车的停放时间进行了统计分析,绘制出车辆停放时间的频率分布直 方图(如图所示) ,那么这 1000 辆汽车中停放时间不多于 4 小时的汽车有( ) ... 频率 0.2525 组距

0.0975 0.0490 0.0320 O 2 4 6 8 10 12 14 时间(小时)

A. 700 辆 B. 350 辆 C. 300 辆 D. 70 辆 18.在 2005 年到 2010 年的“十一五”期间,党中央、国务院坚持优先发展教育,深入实施 科教兴国战略,各种形式的高等教育在校学生总规模由 2300 万人增加到 3150 万人.这五年 间平均增长率 x 应满足的关系式是( ) A. 2300 x ? 805
4

B. 2300 x ? 805 C. 2300(1 ? x)4 ? 3105 D. 2300(1 ? x)5 ? 3105
5

1 ? 2 x ? a, x ? ? ? 2 19.如果函数 f ( x ) ? ? 恰有一个零点,那么实数 a 的取值范围是( ) 1 ?ln x, x ? ? ? 2
A. a ≥0 D. a <0 ???? ???? ? ???? ? 20.已知向量 a ? (1, 1) ,| OM |? 1, ON ? a ? 2 ,其中 O 为坐标原点,那么 MN ? a 的最小值 为( ) A. B. a <-1 C. a ≥-1

2 ? 1 B.

2

C. 2 ? 2 第二部分

D. 2

非选择题(共 40 分)

一、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 21.经过两点 A(1,1) ,B(2,3)的直线的斜率为

. . .

22.已知向量 a ? (1, ? 2) , b ? (2, k ) ,且 2a ? b ,那么实数 k = 23. 某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 S 的值为

开始

n ? 1,S ? 0

S ? S ? 2n
n ? n ?1


n?4
否 输出 S 结束

24.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n sin

n? ,记前 n 项和为 Sn ,那么 S2013 = 2

.

二、解答题(共 4 个小题,共 28 分) 25.(本小题满分 7 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,且 AB=AC,D 是 BC 的中点. A1 B1 C1

A B D C

(I)求证:AD⊥平面 BCC1B1; (II)求证:A1C∥平面 AB1D. 26. (本小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin 2x ? cos 2x, x ? R . (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x ) 在区间 [0, 27. (本小题满分 7 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆经过点 A(-1,0). (I)求圆 O 的方程; (II)设 M 是直线 3x ? y ? 4 ? 0 上的一个动点,ME,MF 是圆 O 的两条切线,切点为 E,F. (i)如果∠EMF=60°,求点 M 的横坐标; (ii)求四边形 MEOF 面积的最小值. 28. (本小题满分 7 分)

?
2

] 上最大值和最小值.

设函数 f ( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ? ? a1x ? a0 ,g( x) ? bm xm ? bm?1xm?1 ? ?? b1x ? b0 ,且对 所 有 的 实 数 x , 等 式 f [ g ( x? ] )

g [ f 都 成 ]立 , 其 中 a0 , a1 ,?, an , (x )

b0 , b1,?, bn ? R , m, n ? N .
(I)如果函数 f ( x) ? x2 ? 2 , g( x) ? kx ,求实数 k 的值; (II)设函数 f ( x) ? 3x3 ? 2 x2 ?1,写出满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的两个函数 g ( x) ; (II)如果方程 f ( x) ? g ( x) 无实数解,求证:方程 f [ f ( x)] ? g[ g ( x)] 无实数解.

2013 年北京市夏季普通高中会考数学试卷(2013.07)参考答案 选择题: 1. D 2. D 3. A 4. D 5. C 6. B 7. C 8.A 9.B 10. D 11. C 12. A 13. B 14. A 15. C 16. D 17. A 18. D 19. B 20. C 一.填空题 21. 2 ;22. -4 ;23. 14 ;24. 1007 ; 二. 25. (I)证明:因为 AB=AC,D 是 BC 的中点,所以 AD⊥BC. 因为 BB1⊥平面 ABC,AD ? 平面 ABC,所以 AD⊥BB1. 因为 BB1∩BC=B,所以 AD⊥平面 BCC1B1. (II)证明:如图,连接 A1B,设 AB1∩A1B=E,连接 DE. A1 B1 E A 因为四边形 ABB1A1 为矩形,所以 E 为 A1B 中点. B 因为在△A1BC 中,D 是 BC 的中点,所以 DE∥A1C. 因为 DE ? 平面 AB1D,A1C ? 平面 AB1D.所以 A1C∥平面 AB1D. 26. (I)解:因为 f ( x) ? 3sin 2x ? cos 2x = 2( = 2(sin 2 x cos D C C1

3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

?

? cos 2 x sin ) = 2(sin 2 x ? ) 6 6 6

?

?

所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? 2? ? ?? . |? | 2

(II)解:由 x ? [0, 所以 ?1 ? 2sin(2 x ? 所以当 2 x ? 当 2x ?

?

?

2

] ,可得 2 x ? )?2

?

? 7? 1 ? ? [ , ] ,所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 6 6 6 2 6

?
6

?

?

6

?

?

7? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x ) 的最小值为-1; 6 2
,即 x ?

6

?

2

6

时,函数 f ( x ) 的最大值为 2.

27. (I)解:因为|OA|=1,所以圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. (II)解: (i)如图,连接 OM,由题意可知△OEM 为直角三角形.因为∠EMF=60°,所以∠OME=30°. 所以|OM|=2|OE|=2.因为 M 是 3x ? y ? 4 ? 0 直线上的动点, 所以设点 M 的坐标为 (t,-3t+4) .
2 2 所以|OM|= (t ? 0) ? [( ?3 t ? 4) ? 0] =2,解得 t ?

6? 6 6? 6 ,或 t ? . 5 5

所以点 M 的横坐标为

6? 6 6? 6 或 . 5 5 | ?4 | 32 ? 1 ? 4 , 10

(ii)因为原点 O 到直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离 d ?

所以|OM|的最小值是

3 4 2 2 2 .因为△OEM 为直角三角形,所以|ME| =|OM| -1 ≥ . 5 10 1 15 .因为 S 四边形 MEOF=2S△MEO= 2 ? ? 1? | ME |?| ME | , 2 5

所以|ME|DE 最小值是

所以四边形 MEOF 面积的最小值是

15 . 5
2 2 2

2 2 28. (I)解: 因为 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] , 所以 (kx) ? 2 ? k ( x ? 2) , k x ? 2 ? kx ? 2k . 即

因为上式对所有的实数 x 都成立,所以 ?
3 2

?k 2 ? k ? 2 ? 2k

解得 k ? 1 .

(II)解:如 f ( x) ? g ( x) ? 3x ? 2 x ? 1 , g ( x) ? x ,符合题意.(答案不唯一) (III)证明:设函数 F( x) ? f ( x) ? g ( x) ,因为方程 f ( x) ? g ( x) 无实数解. 所以函数 F( x) 的图象恒在 x 轴上方,或者恒在 x 轴下方, 即对任意 x ? R, F( x) ? 0 ,或者对于任意 x ? R, F( x) ? 0 . 1 ○当 F( x) ? 0 时,因为 f [ f ( x)] ? g[ g ( x)] = { f [ f ( x)] ? g[ g ( x)]} ? {g[ f ( x)] ? g[ g ( x)]} = { f [ f ( x)] ? g[ f ( x)]} ? { f [ g ( x)] ? g[ g ( x)]} = F[ f ( x)] ? F[ g ( x)] ? 0 所以此时方程 f [ f ( x)] ? g[ g ( x)] 无实数解. 2 ○当 F( x) ? 0 时,同理可证 f [ f ( x)] ? g[ g ( x)] ? 0 . 所以此时方程 f [ f ( x)] ? g[ g ( x)] 无实数解. 综上,当方程 f ( x) ? g ( x) 无实数解,求证:方程 f [ f ( x)] ? g[ g ( x)] 无实数解.



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