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高考数学易错题举例解析


高考数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被 忽略。 也就是在转化过程中, 没有注意转化的等价性, 会经常出现错误。 本文通过几个例子, 剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形,导致错误。 ? x>0 ? ? y>0 ? x + y>0 ? x>1 ? x + y>3 ? ? xy>0 ,但 ? y>2 与 ? xy>2 不等价。 ? ? ? x 【例 1】已知 f(x) = ax + b ,若 ? 3 ? f (1) ? 0, 3 ? f (2) ? 6, 求 f (3) 的范围。 ?? 3 ? a ? b ? 0 ? 错误解法 由条件得 ? b 3 ? 2a ? ? 6 ? 2 ? ②×2-① ① ② 6 ? a ? 15 ③ ①×2-②得 ? ③ +④ 得 8 b 2 ? ?? ④ 3 3 3 10 b 43 10 43 ? 3a ? ? , 即 ? f (3) ? . 3 3 3 3 3 x ,其 b 错误分析 采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数 f ( x ) ? ax ? 值是同时受 a和b 制约的。当 a 取最大(小)值时, b 不一定取最大(小)值,因而整个解 题思路是错误的。 ? f (1) ? a ? b ? 正确解法 由题意有 ? b , 解得: f ( 2 ) ? 2 a ? ? 2 ? 1 2 a ? [2 f (2) ? f (1)], b ? [2 f (1) ? f (2)], 3 3 b 16 5 16 37 ? f (3) ? 3a ? ? f (2) ? f (1). 把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得 ? f (3) ? . 3 9 9 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识,才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件,导致结果错误。 【例 2】 2 2 (1) 设 ?、? 是方程 x ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的两个实根,则 (? ? 1) ? ( ? ? 1) 的最小值是 2 (A) ? 49 4 (B) 8 (C) 18 (D)不存在 思路分析 本例只有一个答案正确,设了 3 个陷阱,很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得: ? ? ? ? 2k ,?? ? k ? 6, ? (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 ? ? 2 ? 2? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? (? ? ? ) 2 ? 2?? ? 2(? ? ? ) ? 2 3 49 ? 4(k ? ) 2 ? . 4 4 有的学生一看到 ? 49 ,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏反思性的 4 体现。 如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别, 就能从中选出正 确答案。 ? 原方程有两个实根 ?、? ,∴ ? ? 4k 2 ? 4(k ? 6) ? 0 ? 当 k ? 3 时, (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是 8; 当 k ? ?2 时, (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是 18。 这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。 y2 (2) 已知(x+2)2+ 4 =1, 求 x2+y2 的取值范围。 k ? ?2 或 k ? 3. 错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12,因此

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