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2019年湖南省永州市2015年中考数学试卷及答案解析(word版)

△+△数学中考教学资料 2019 年编△+△

湖南省永州市 2015 年中考数学试卷

一、选择题,共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分

1.在数轴上表示数﹣1 和 2014 的两点分别为 A 和 B,则 A 和 B 两点间的距离为( )

A.2013

B.2014

C.2015

D.2016

考点:数轴. .
分析:数轴上两点间的距离等于表示这两点的数的差的绝对值. 解答:解:|﹣1﹣2014|=2015,故 A,B 两点间的距离为 2015,故选:C. 点评:本题考查了数轴,由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结
合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中 要注意培养数形结合的数学思想.

2.(3 分)(2015?永州)下列运算正确的是( )

A.a2?a3=a6

B. (﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2

C. (a3)4=a7

D.a3+a5=a8

考点:平方差公式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. .
分析:A:根据同底数幂的乘法法则判断即可. B:平方差公式:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,据此判断即可. C:根据幂的乘方的计算方法判断即可. D:根据合并同类项的方法判断即可.
解答:解:∵a2?a3=a5, ∴选项 A 不正确; ∵(﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2, ∴选项 B 正确; ∵(a3)4=a12, ∴选项 C 不正确; ∵a3+a5≠a8 ∴选项 D 不正确. 故选:B.
点评:(1)此题主要考查了平方差公式,要熟练掌握,应用平方差公式计算时,应注意以 下几个问题:①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另 一项互为相反数;②右边是相同项的平方减去相反项的平方;③公式中的 a 和 b 可 以是具体数,也可以是单项式或多项式;④对形如两数和与这两数差相乘的算式, 都可以运用这个公式计算,且会比用多项式乘以多项式法则简便.
(2)此题还考查了同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,要 熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①底数必须相同;②按照运算性质,只有相 乘时才是底数不变,指数相加.
(3)此题还考查了幂的乘方和积的乘方,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确: ①(am)n=amn(m,n 是正整数);②(ab)n=anbn(n 是正整数). (4)此题还考查了合并同类项的方法,要熟练掌握.

3.(3 分)(2015?永州)某中学九年级舞蹈兴趣小组 8 名学生的身高分别为(单位:cm): 168,165,168,166,170,170,176,170,则下列说法错误的是( ) A.这组数据的众数是 170 B.这组数据的中位数是 169 C.这组数据的平均数是 169 D.若从 8 名学生中任选 1 名学生参加校文艺会演,则这名学生的身高不低于 170 的概率为

考点:众数;加权平均数;中位数;概率公式. .
分析:分别利用众数、中位数、平均数及概率的知识求解后即可判断正误; 解答:解:A、数据 170 出现了 3 次,最多,故众数为 170,正确,不符合题意;
B、排序后位于中间位置的两数为 168 和 170,故中位数为 169,正确,不符合题意; C、平均数为(168+165+168+166+170+170+176+170)÷4=169.125,故错误,符合题 意; D、从 8 名学生中任选 1 名学生参加校文艺会演,则这名学生的身高不低于 170 的概
率为 = ,
故选 C. 点评:本题考查了众数、加权平均数、中位数及概率公式,解题的关键是能够分别求得有关
统计量,难度不大.

4.(3 分)(2015?永州)永州市双牌县的阳明山风光秀丽,历史文化源远流长,尤以山顶数

万亩野生杜鹃花最为壮观,被誉为“天下第一杜鹃红”.今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃

花旅游文化节”,吸引了众多游客前去观光赏花.在文化节开幕式当天,从早晨 8:00 开始

每小时进入阳明山景区的游客人数约为 1000 人,同时每小时走出景区的游客人数约为 600

人,已知阳明上景区游客的饱和人数约为 2000 人,则据此可知开幕式当天该景区游客人数

饱和的时间约为( )

A.10:00

B.12:00

C.13:00

D.16:00

考点:一元一次方程的应用. .
分析:设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为 x 点,结合已知条件“从早晨 8:00 开 始每小时进入阳明山景区的游客人数约为 1000 人,同时每小时走出景区的游客人数 约为 600 人,已知阳明上景区游客的饱和人数约为 2000 人”列出方程并解答.
解答:解:设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为 x 点,则 (x﹣8)×(1000﹣600)=2000, 解得 x=13. 即开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为 13:00. 故选:C.
点评:本题考查了一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条 件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.

5.(3 分)(2015?永州)一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子,现从三个方 向看,其三种视图如图所示,则这张桌子上碟子的总数为( )

A.11

B.12

C.13

D.14

考点:由三视图判断几何体. .
分析:从俯视图可得:碟子共有 3 摞,结合主视图和左视图,可得每摞碟子的个数,相加可 得答案.
解答:解:由俯视图可得:碟子共有 3 摞, 由几何体的主视图和左视图,可得每摞碟子的个数,如下图所示:

故这张桌子上碟子的个数为 3+4+5=12 个, 故选:B. 点评:本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,分析出每摞碟子的个数是解答的关键.
6.(3 分)(2015?永州)如图,P 是⊙O 外一点,PA、PB 分别交⊙O 于 C、D 两点,已知
和 所对的圆心角分别为 90°和 50°,则∠P=( )

A.45°

B.40°

C.25°

D.20°

考点:圆周角定理. .
分析:先由圆周角定理求出∠A 与∠ADB 的度数,然后根据三角形外角的性质即可求出∠P 的度数.
解答: 解:∵ 和 所对的圆心角分别为 90°和 50°,
∴∠A=25°,∠ADB=45°, ∵∠P+∠A=∠ADB,

∴∠P=∠ADB﹣∠P=45°﹣25°=20°. 故选 D. 点评:此题考查了圆周角定理及三角形外角的性质,解题的关键是:熟记并能灵活应用圆周 角定理及三角形外角的性质解题.

7.(3 分)(2015?永州)若不等式组

恰有两个整数解,则 m 的取值范围是( )

A.A﹣1≤m<0

B.﹣1<m≤0

C.﹣1≤m≤0

D.﹣1<m<0

考点:一元一次不等式组的整数解. .

分析:先求出不等式的解集,根据题意得出关于 m 的不等式组,求出不等式组的解集即可.

解答:

解:∵不等式组

的解集为 m﹣1<x<1,

又∵不等式组

恰有两个整数解,

∴﹣2≤m﹣1<﹣1, 解得:﹣1≤m<0 恰有两个整数解, 故选 A. 点评:本题考查了解一元一次不等式组,不等式组的解集的应用,解此题的关键是能求出关 于 m 的不等式组,难度适中.
8.(3 分)(2015?永州)如图,下列条件不能判定△ ADB∽△ABC 的是( )

A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.AB2=AD?AC

D. =

考点:相似三角形的判定. .
分析:根据有两个角对应相等的三角形相似,以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三 角形相似,分别判断得出即可.
解答:解:A、∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意; B、∵∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意; C、∵AB2=AD?AC,∴ = ,∠A=∠A,△ ABC∽△ADB,故此选项不合题意;
D、 = 不能判定△ ADB∽△ABC,故此选项符合题意.
故选:D.

点评:本题考查了相似三角形的判定,利用了有两个角对应相等的三角形相似,两边对应成 比例且夹角相等的两个三角形相似.
9.(3 分)(2015?永州)如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,BA 和 CD 的延长线交于点 E, 若点 P 使得 S△ PAB=S△ PCD,则满足此条件的点 P( )

A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.组成∠E 的角平分线 D.组成∠E 的角平分线所在的直线(E 点除外)

考点:角平分线的性质. .
分析:根据角平分线的性质分析,作∠E 的平分线,点 P 到 AB 和 CD 的距离相等,即可得 到 S△ PAB=S△ PCD.
解答:解:作∠E 的平分线, 可得点 P 到 AB 和 CD 的距离相等, 因为 AB=CD, 所以此时点 P 满足 S△ PAB=S△ PCD. 故选 D.
点评:此题考查角平分线的性质,关键是根据 AB=CD 和三角形等底作出等高即可.

10.(3 分)(2015?永州)定义[x]为不超过 x 的最大整数,如[3.6]=3,[0.6]=0,[﹣3.6]=﹣4.对

于任意实数 x,下列式子中错误的是( )

A.[x]=x(x 为整数)

B. 0≤x﹣[x]<1

C. [x+y]≤[x]+[y]

D.[n+x]=n+[x](n 为整数)

考点:一元一次不等式组的应用. .
专题:新定义. 分析:根据“定义[x]为不超过 x 的最大整数”进行计算. 解答:解:A、∵[x]为不超过 x 的最大整数,
∴当 x 是整数时,[x]=x,成立; B、∵[x]为不超过 x 的最大整数, ∴0≤x﹣[x]<1,成立; C、例如,[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9,[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+(﹣4)=﹣10, ∵﹣9>﹣10, ∴[﹣5.4﹣3.2]>[﹣5.4]+[﹣3.2], ∴[x+y]≤[x]+[y]不成立, D、[n+x]=n+[x](n 为整数),成立;

故选:C. 点评:本题考查了一元一次不等式组的应用,解决本题的关键是理解新定义.新定义解题是
近几年高考常考的题型.
二、填空题,共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分 11.(3 分)(2015?永州)国家森林城市的创建极大地促进了森林资源的增长,美化了城市 环境,提升了市民的生活质量,截至 2014 年.全国已有 21 个省、自治区、直辖市的 75 个 城市获得了“国家森林城市”乘号.永州市也在积极创建“国家森林城市”.据统计近两年全市 投入“创森”资金约为 365000000 元,365000000 用科学记数法表示为 3.65×108 .
考点:科学记数法—表示较大的数. .
分析:科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.
解答:解:将 365000000 用科学记数法表示为 3.65×108. 故答案为:3.65×108.
点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
12.(3 分)(2015?永州)如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC= 120 度.
考点:平行线的判定与性质. .
分析:由已知一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到 AB 与 DC 平行,再利用两 直线平行同旁内角互补,由∠A 的度数即可求出∠ADC 的度数.
解答:解:∵∠1=∠2, ∴AB∥CD, ∴∠A+∠ADC=180°, ∵∠A=60°, ∴∠ADC=120°. 故答案为:120°
点评:本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
13.(3 分)(2015?永州)已知一次函数 y=kx+b 的图象经过两点 A(0,1),B(2,0),则 当 x ≥2 时,y≤0.
考点:待定系数法求一次函数解析式;一次函数的性质. .
分析:利用待定系数法把点 A(0,﹣1),B(1,0)代入 y=kx+b,可得关于 k、b 的方程组, 再解出方程组可得 k、b 的值,进而得到函数解析式,再解不等式即可.

解答:解:∵一次函数 y=kx+b 的图象经过两点 A(0,1),B(2,0),





解得:
这个一次函数的表达式为 y=﹣ x+1.
解不等式﹣ x+1≤0,
解得 x≥2. 故答案为 x≥2. 点评:本题考查了待定系数法求一次函数解析式,解不等式,把点的坐标代入函数解析式求 出解析式是解题的关键.
14.(3 分)(2015?永州)已知点 A(﹣1,y1),B(1,y2)和 C(2,y3)都在反比例函数 y= (k>0)的图象上.则 y1 < y3 < y2 (填 y1,y2,y3).
考点:反比例函数图象上点的坐标特征. .
分析:先根据反比例函数中 k>0 判断出函数图象所在的象限及增减性,再根据各点横坐标 的特点即可得出结论.
解答:解:∵反比例函数 y= (k>0)中 k>0,
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限,且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小. ∵﹣1<0,﹣1<0, ∴点 A(﹣1,y1)位于第三象限, ∴y1<0, ∴B(1,y2)和 C(2,y3)位于第一象限, ∴y2>0,y3>0, ∵1<2, ∴y2>y3, ∴y1<y3<y2. 故答案为:y1,y3,y2. 点评:本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数图象上各点的坐标一 定适合此函数的解析式是解答此题的关键.
15.(3 分)(2015?永州)如图,在△ ABC 中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则 CE= 3.

考点:全等三角形的判定与性质. .
分析:由已知条件易证△ ABE≌△ACD,再根据全等三角形的性质得出结论. 解答:解:△ ABE 和△ ACD 中,

∴△ABE≌△ACD(AAS), ∴AD=AE=2,AC=AB=5, ∴CE=BD=AB﹣AD=3, 故答案为 3. 点评:本题主要考查了全等三角形的性质和判定,熟记定理是解题的关键.
16.(3 分)(2015?永州)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标(﹣2,0),△ ABO 是直 角三角形,∠AOB=60°.现将 Rt△ ABO 绕原点 O 按顺时针方向旋转到 Rt△ A′B′O 的位置,则 此时边 OB 扫过的面积为 π .

考点:扇形面积的计算;坐标与图形性质;旋转的性质. .
分析:根据点 A 的坐标(﹣2,0),可得 OA=2,再根据含 30°的直角三角形的性质可得 OB 的长,再根据性质的性质和扇形的面积公式即可求解.
解答:解:∵点 A 的坐标(﹣2,0), ∴OA=2, ∵△ABO 是直角三角形,∠AOB=60°, ∴∠OAB=30°,
∴OB= OA=1,

∴边 OB 扫过的面积为:

= π.

故答案为: π. 点评:
本题考查了扇形的面积公式:S=

,其中 n 为扇形的圆心角的度数,R 为圆的半

径),或 S= lR,l 为扇形的弧长,R 为半径.

17.(3 分)(2015?永州)在等腰△ ABC 中,AB=AC,则有 BC 边上的中线,高线和∠BAC 的 平分线重合于 AD(如图一).若将等腰△ ABC 的顶点 A 向右平行移动后,得到△ A′BC(如图 二),那么,此时 BC 边上的中线、BC 边上的高线和∠BA′C 的平分线应依次分别是 A′D , AF , AE .(填 A′D、A′E、A′F)

考点:平移的性质;等腰三角形的性质. .
分析:根据三角形中线的定义,可得答案,根据三角形角平分线的定义,可得答案,三角形 高线的定义,可得答案.
解答:

解:



在等腰△ ABC 中,AB=AC,则有 BC 边上的中线,高线和∠BAC 的平分线重合于 AD

(如图一).若将等腰△ ABC 的顶点 A 向右平行移动后,得到△ A′BC(如图二),那

么,此时 BC 边上的中线、BC 边上的高线和∠BA′C 的平分线应依次分别是 A′D,

AF,AE,

故答案为:A′D,A′F,A′E.

点评:本题考查了平移的性质,平移不改变三角形的中线,三角形的角平分线分角相等,三

角形的高线垂直于角的对边.

18.(3 分)(2015?永州)设 an 为正整数 n4 的末位数,如 a1=1,a2=6,a3=1,a4=6.则 a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015= 2 .

考点:尾数特征. .
分析:正整数 n4 的末位数依次是 1,6,1,6,5,6,1,6,1,0,十个一循环,先求出 2015÷10 的商和余数,再根据商和余数,即可求解.
解答:解:正整数 n4 的末位数依次是 1,6,1,6,5,6,1,6,1,0,十个一循环,

1+6+1+6+5+6+1+6+1+0=33, 2015÷10=201…5, 33×201+(1+6+1+6+5)
=6633+19 =6652. 故 a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=2. 故答案为:2. 点评:考查了尾数特征,本题关键是得出正整数 n4 的末位数依次是 1,6,1,6,5,6,1, 6,1,0,十个一循环.

三、简单题,共 9 小题,共 76 分 19.(6 分)(2015?永州)计算:cos30°﹣

+( )﹣2.

考点:实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. .
专题:计算题. 分析:原式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项化为最简二次根式,最后一项利用
负整数指数幂法则计算即可得到结果. 解答:解:原式= ﹣ +4=4.
点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.(6 分)(2015?永州)先化简,再求值:

?(m﹣n),其中 =2.

考点:分式的化简求值. .
分析:先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再由 =2 得出 m=2n,代入原式进行计

算即可.
解答: 解:原式=

?(m﹣n)

=,

由 =2 得 m=2n,

故原式=

= =5.

点评:本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

21.(8 分)(2015?永州)中央电视台举办的“中国汉字听写大会”节目受到中学生的广泛关 注.某中学为了了解学生对观看“中国汉字听写大会”节目的喜爱程度,对该校部分学生进行 了随机抽样调查,并绘制出如图所示的两幅统计图.在条形图中,从左向右依次为 A 类(非

常喜欢),B 类(较喜欢),C 类(一般),D 类(不喜欢).已知 A 类和 B 类所占人数的比是 5:9,请结合两幅统计图,回答下列问题:
(1)写出本次抽样调查的样本容量; (2)请补全两幅统计图; (3)若该校有 2000 名学生.请你估计观看“中国汉字听写大会”节目不喜欢的学生人数. 考点:条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
.
分析:(1)用 A 类的人数除以它所占的百分比,即可得样本容量; (2)分别计算出 D 类的人数为:100﹣20﹣35﹣100×19%=26(人),D 类所占的百分 比为:26÷100×100%=26%,B 类所占的百分比为:35÷100×100%=35%,即可补全统 计图; (3)用 2000 乘以 26%,即可解答.
解答:解:(1)20÷20%=100, ∴本次抽样调查的样本容量为 100. (2)D 类的人数为:100﹣20﹣35﹣100×19%=26(人), D 类所占的百分比为:26÷100×100%=26%,B 类所占的百分比为:35÷100×100%=35%, 如图所示:
(3)2000×26%=520(人). 故若该校有 2000 名学生.估计观看“中国汉字听写大会”节目不喜欢的学生人数为 520 人. 点评:本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 22.(8 分)(2015?永州)已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m2﹣2m=0 有一个实数根为﹣1, 求 m 的值及方程的另一实根. 考点:一元二次方程的解;根与系数的关系.
.

分析:把 x=﹣1 代入已知方程列出关于 m 的新方程,通过解该方程来求 m 的值;然后结合 根与系数的关系来求方程的另一根.
解答:解:设方程的另一根为 x2,则 ﹣1+x2=﹣1, 解得 x2=0. 把 x=﹣1 代入 x2+x+m2﹣2m=0,得 (﹣1)2+(﹣1)+m2﹣2m=0,即 m(m﹣2)=0, 解得 m1=0,m2=2. 综上所述,m 的值是 0 或 2,方程的另一实根是 0.
点评:本题主要考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是 能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
23.(8 分)(2015?永州)如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长 AD 到 E 点,使 DE=AB. (1)求证:∠ABC=∠EDC; (2)求证:△ ABC≌△EDC.
考点:全等三角形的判定与性质. .
专题:证明题. 分析:(1)根据四边形的内角和等于 360°求出∠B+∠ADC=180°,再根据邻补角的和等于
180°可得∠CDE+∠ADE=180°,从而求出∠B=∠CDE; (2)根据“边角边”证明即可. 解答:(1)证明:在四边形 ABCD 中,∵∠BAD=∠BCD=90°, ∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°, ∴∠B+∠ADC=180°, 又∵∠CDE+∠ADE=180°, ∴∠ABC=∠CDE,
(2)连接 AC,由(1)证得∠ABC=∠CDE, 在△ ABC 和△ EDC 中,

∴△ABC≌△EDC(SAS).

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,根据四边形的 内角和定理以及邻补角的定义,利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等 的关键,也是本题的难点.
24.(10 分)(2015?永州)如图,有两条公路 OM、ON 相交成 30°角,沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校 A.当重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时,在以 P 为圆心 50 米长 为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越 大.若一直重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米/时. (1)求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离; (2)求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间.

考点:勾股定理的应用;垂径定理的应用. .
分析:(1)直接利用直角三角形中 30°所对的边等于斜边的一半求出即可; (2)根据题意可知,图中 AB=50m,AD⊥BC,且 BD=CD,∠AOD=30°,OA=80m; 再利用垂径定理及勾股定理解答即可.
解答:解:(1)过点 A 作 AD⊥ON 于点 D, ∵∠NOM=30°,AO=80m, ∴AD=40m, 即对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离为 40 米;

(2)由图可知:以 50m 为半径画圆,分别交 ON 于 B,C 两点,AD⊥BC,BD=CD= BC,

OA=800m, ∵在 Rt△ AOD 中,∠AOB=30°,
∴AD= OA= ×800=400m,

在 Rt△ ABD 中,AB=50,AD=40,由勾股定理得:

BD=

=

=30m,

故 BC=2×30=60 米,即重型运输卡车在经过 BD 时对学校产生影响.

∵重型运输卡车的速度为 18 千米/小时,即

=30 米/分钟,

∴重型运输卡车经过 BD 时需要 60÷30=2(分钟). 答:卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 2 分钟.
点评:此题考查的是垂径定理与勾股定理在实际生活中的运用,解答此题的关键是卡车在哪 段路上运行时对学校产生影响.
25.(10 分)(2015?永州)如图,已知△ ABC 内接于⊙O,且 AB=AC,直径 AD 交 BC 于点 E, F 是 OE 上的一点,使 CF∥BD. (1)求证:BE=CE; (2)试判断四边形 BFCD 的形状,并说明理由; (3)若 BC=8,AD=10,求 CD 的长.
考点:垂径定理;勾股定理;菱形的判定. .
分析:(1)证明△ ABD≌△ACD,得到∠BAD=∠CAD,根据等腰三角形的性质即可证明; (2)菱形,证明△ BFE≌△CDE,得到 BF=DC,可知四边形 BFCD 是平行四边形, 易证 BD=CD,可证明结论; (3)设 DE=x,则根据 CE2=DE?AE 列方程求出 DE,再用勾股定理求出 CD.
解答:(1)证明:∵AD 是直径, ∴∠ABD=∠ACD=90°, 在 Rt△ ABD 和 Rt△ ACD 中, , ∴Rt△ ABD≌Rt△ ACD, ∴∠BAD=∠CAD, ∵AB=AC, ∴BE=CE; (2)四边形 BFCD 是菱形. 证明:∵AD 是直径,AB=AC, ∴AD⊥BC,BE=CE, ∵CF∥BD, ∴∠FCE=∠DBE,

在△ BED 和△ CEF 中



∴△BED≌△CEF, ∴CF=BD, ∴四边形 BFCD 是平行四边形, ∵∠BAD=∠CAD, ∴BD=CD, ∴四边形 BFCD 是菱形; (3)解:∵AD 是直径,AD⊥BC,BE=CE, ∴CE2=DE?AE, 设 DE=x, ∵BC=8,AD=10, ∴42=x(10﹣x), 解得:x=2 或 x=8(舍去) 在 Rt△ CED 中,

CD=

=

=2 .

点评:本题主要考查了圆的有关性质:垂径定理、圆周角定理,三角形全等的判定与性质, 菱形的判定与性质,勾股定理,三角形相似的判定与性质,熟悉圆的有关性质是解决 问题的关键.
26.(10 分)(2015?永州)已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为(1,0),与 y 轴的交点坐标为 (0, ).R(1,1)是抛物线对称轴 l 上的一点.
(1)求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式; (2)若 P 是抛物线上的一个动点(如图一),求证:点 P 到 R 的距离与点 P 到直线 y=﹣1 的距离恒相等;

(3)设直线 PR 与抛物线的另一交点为 Q,E 为线段 PQ 的中点,过点 P、E、Q 分别作直线 y=﹣1 的垂线.垂足分别为 M、F、N(如图二).求证:
PF⊥QF.
考点:二次函数综合题. .
专题:计算题. 分析:(1)设顶点式 y=a(x﹣1)2,然后把(0, )代入求出 a 即可;
(2)根据二次函数图象上点的坐标,设 P(x, (x﹣1)2),易得 PM= (x﹣1)2+1, 然后利用两点的距离公式计算 PR,得到 PR2=(x﹣1)2+[ (x﹣1)2﹣1]2,接着根 据完全平方公式变形可得 PR2=[ (x﹣1)2+1]2,则 PR= (x﹣1)2+1,所以 PR=PM, 于是可判断点 P 到 R 的距离与点 P 到直线 y=﹣1 的距离恒相等; (3)根据(2)的结论得到得 QN=QR,PR=PM,则 PQ=PR=QR=PM+QN,再证明 EF 为梯形 PMNQ 的中位线,所以 EF= (QN+PM),则 EF= PQ=EQ=EP,根据点与 圆的位置关系得到点 F 在以 PQ 为直径的圆上,则根据圆周角定理得∠PFQ=90°,即 有 PF⊥QF. 解答:(1)解:设抛物线解析式为 y=a(x﹣1)2, 把(0, )代入得 a= , 所以抛物线解析式为 y= (x﹣1)2; (2)证明:如图 1,设 P(x, (x﹣1)2),则 PM= (x﹣1)2+1, ∵PR2=(x﹣1)2+[ (x﹣1)2﹣1]2=(x﹣1)2+[ (x﹣1)]4﹣ (x﹣1)2+1=[ (x ﹣1)]4+ (x﹣1)2+1=[ (x﹣1)2+1]2, ∴PR= (x﹣1)2+1, ∴PR=PM, 即点 P 到 R 的距离与点 P 到直线 y=﹣1 的距离恒相等; (3)证明:由(2)得 QN=QR,PR=PM,

∴PQ=PR=QR=PM+QN, ∵EF⊥MN,QN⊥MN,PM⊥MN, 而 E 为线段 PQ 的中点, ∴EF 为梯形 PMNQ 的中位线, ∴EF= (QN+PM),
∴EF= PQ, ∴EF=EQ=EP, ∴点 F 在以 PQ 为直径的圆上, ∴∠PFQ=90°, ∴PF⊥QF.
点评:本题考查了二次函数综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和梯形的中位线 性质;理解坐标与图形性质;会利用待定系数法求二次函数解析式和利用两点间的距 离公式计算线段的长.要充分运用(2)的结论解决(3)中的问题.
27.(10 分)(2015?永州)问题探究: (一)新知学习: 圆内接四边形的判断定理:如果四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形 EFGH 的对角互补,那么四边形 EFGH 的四个顶点 E、F、G、H 都在同个圆上). (二)问题解决: 已知⊙O 的半径为 2,AB,CD 是⊙O 的直径.P 是 上任意一点,过点 P 分别作 AB,CD 的 垂线,垂足分别为 N,M. (1)若直径 AB⊥CD,对于 上任意一点 P(不与 B、C 重合)(如图一),证明四边形 PMON 内接于圆,并求此圆直径的长; (2)若直径 AB⊥CD,在点 P(不与 B、C 重合)从 B 运动到 C 的过程汇总,证明 MN 的长 为定值,并求其定值; (3)若直径 AB 与 CD 相交成 120°角. ①当点 P 运动到 的中点 P1 时(如图二),求 MN 的长; ②当点 P(不与 B、C 重合)从 B 运动到 C 的过程中(如图三),证明 MN 的长为定值. (4)试问当直径 AB 与 CD 相交成多少度角时,MN 的长取最大值,并写出其最大值.

考点:圆的综合题. .
专题:探究型. 分析:(1)如图一,易证∠PMO+∠PNO=180°,从而可得四边形 PMON 内接于圆,直径
OP=2; (2)如图一,易证四边形 PMON 是矩形,则有 MN=OP=2,问题得以解决; (3)①如图二,根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°,根据圆内接 四边形的对角互补可得∠MP1N=60°.根据角平分线的性质可得 P1M=P1N,从而得到 △ P1MN 是等边三角形,则有 MN=P1M.然后在 Rt△ P1MO 运用三角函数就可解决问 题;②设四边形 PMON 的外接圆为⊙O′,连接 NO′并延长,交⊙O′于点 Q,连接 QM, 如图三,根据圆周角定理可得∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°,在 Rt△ QMN 中运 用三角函数可得:MN=QN?sin∠MQN,从而可得 MN=OP?sin∠MQN,由此即可解 决问题; (4)由(3)②中已得结论 MN=OP?sin∠MQN 可知,当∠MQN=90°时,MN 最大, 问题得以解决. 解答:解:(1)如图一, ∵PM⊥OC,PN⊥OB, ∴∠PMO=∠PNO=90°, ∴∠PMO+∠PNO=180°, ∴四边形 PMON 内接于圆,直径 OP=2;
(2)如图一, ∵AB⊥OC,即∠BOC=90°, ∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°, ∴四边形 PMON 是矩形, ∴MN=OP=2, ∴MN 的长为定值,该定值为 2;
(3)①如图二,
∵P1 是 的中点,∠BOC=120°
∴∠COP1=∠BOP1=60°,∠MP1N=60°. ∵P1M⊥OC,P1N⊥OB, ∴P1M=P1N, ∴△P1MN 是等边三角形, ∴MN=P1M.

∵P1M=OP1?sin∠MOP1=2×sin60°= , ∴MN= ; ②设四边形 PMON 的外接圆为⊙O′,连接 NO′并延长, 交⊙O′于点 Q,连接 QM,如图三, 则有∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°, 在 Rt△ QMN 中,sin∠MQN= , ∴MN=QN?sin∠MQN, ∴MN=OP?sin∠MQN=2×sin60°=2× = , ∴MN 是定值. (4)由(3)②得 MN=OP?sin∠MQN=2sin∠MQN. 当直径 AB 与 CD 相交成 90°角时,∠MQN=180°﹣90°=90°,MN 取得最大值 2.
点评:本题主要考查了圆内接四边形的判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、 矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识, 推出 MN=OP?sin∠MQN 是解决本题的关键.


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