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2015-2016学年高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修1-1

1. 2 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 题型一 椭圆定义的应用 x2 2 例 1 过椭圆 +y =1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A,B 两点,则 A,B 与椭圆的 4 另一个焦点 F2 构成△ABF2 的周长是( ) A.2 B.4 C. 2 D.2 3 分析:依题意画出图形,根据椭圆的定义可得出结果. 解析:如下图所示,∵|AF1|+|AF2|=2, |BF1|+|BF2|=2, ∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4, 即|AB|+|AF2|+|BF2|=4. 答案:B x2 y2 1.设 F1,F2 是椭圆 + =1 的焦点,P 为椭圆上一点,则△PF1F2 的周长为(B) 25 9 A.16 B.18 C.20 D.不确定 变式训练 解析:a=5,b=3,c=4,易知△PF1F2 的周长为 2a+2c=18. 题型二 求椭圆的标准方程 例 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: 16 3, ?. (1)已知两焦点 F1(-3,0),F2(3,0),且椭圆过? ? 5? (2)已知 a=4,c= 15,焦点在 y 轴上. (3)已知椭圆经过点(2,- 2)和点?-1, 14? . 2 ? ? 解析:(1)方法一 ∵椭圆的焦点在 x 轴上. x2 y2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由椭圆的定义知 2 2 2 ?16? 2 ?16? 2a= (3+3) +? 5 ? + (3-3) +? 5 ? =10. ∴a=5 又∵c=3∴b2=a2-c2=25-9=16. x2 y2 因此,所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16 x2 y2 方法二 ∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 16 3, ?, 因为 c=3,椭圆过点? ? 5? 2 2 2 a -b =c =9, 2 ? ? ? ?a =25, ∴? 9 256 解得? 2 ? ?b =16. ? ?a2+25b2=1, x2 y2 因此所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16 y2 x2 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1,(a>b>0) a b 又∵a=4,c= 15.∴b2=a2-c2=16-15=1. y2 2 ∴椭圆的标准方程为 +x =1. 16 x2 y2 (3)方法一 当焦点在 x 轴上时,可设椭圆的标准方程为: 2+ 2=1(a>b>0), a b 14 将点(2,- 2)和点?-1, ?代入,可得 2 ? ? 4 2 + =1, ? 2 a2 b2 ?a =8, ?? 2 1 7 ? ?b =4. 2+ 2=1 a 2b x2 y2 椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 ? ? ? 当焦点在 y 轴上时,可设椭圆的标准方程为 y2 x2 + =1(a>b>0), a2 b2 14 将点(2,- 2)和点?-1, ?代入,可得 2 ? ? 2 4 + =1, ? 2 a2 b2 ?a =4, 2 2 ?? 2 (a <b ,舍去) 7 1 ? b = 8. ? 2+ 2=1 2a b x2 y2 综上所述,椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 方法二 设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n), 14 将点(2,- 2)和点?-1, ?代入,可得 2 ? ? 1 4m+2n=1, m= , ? 8 ? ? 7 ? 1 m + n = 1 ? ? 2 n= . 4 x2 y2 所以椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 点评:对比两种方法,我们发现如果不知道焦点在哪条轴上的情况下,可将椭圆的方程 设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n),更简单,快速. ? ? ? ? ? ? 变式训练 2.(1)求经过点(2,-3)且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同焦点的椭圆的标准方程. 1 1? 1 , ,P2?0,- ?的椭圆的标准方程. (2)求经过两点 P1? 2? ?3 3? ? x2 y2 2 2 解析:(1)椭圆 9x +4y =36 的焦点为(0,± 5),则可设所求椭圆的方程为 2 + 2= a -5 a 1(a2>5), 把点(2,-3)代入,解得 a2=15,b2=15-5=10. x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 10 15 (2)设所求椭圆的方程为:mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 2 2 1 1 ? ?? m? ?3? +n?3? =1, ? ?m=5, 依题意,可得 ?? 2 1 ?n=4. ? - ? =1 n? ? 2? y2 x2 故所求椭圆的方程为 + =1. 1 1 4 5 ? ? ? 题型三 利用椭圆的定义求轨迹方 程 例 3 已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,圆 C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆 C1 内部和圆 C1 相内切,和圆 C2 相外切,求动圆圆心的轨迹. 分析:动圆满足的条件为:①与圆 C1 相内切;②与圆 C2 相外切,依据两圆相切的充要 条件建立关系式,可求出动圆圆心的轨迹方程. 解析:由已知可得圆 C1 与 C2 的圆心坐标分别为:C1(4,0),C2(-4,0),其半径分别 为 r1=13,r2=3. 设动圆的圆心为 C,其坐标为(x,y),动圆的半径为 r. 由于圆 C1 与圆 C 相内切,依据两圆内切的充要条件, 可得|C1C|=r1-r.① 由于圆 C2 与圆 C 相外切,依据两圆外切的充要条件, 可得|C2C|=r2+r.② 由①+②可得|CC1|+|CC2|=r1+r2=13+3=16, 即点 C 到两定点 C1 与 C2 的距离之和为 16,且|C1C2|=8, 可知动点 C 的轨迹是以 C1 与 C2 为焦点的椭圆. 由题意,得 c=4,a=8,∴b2=a2-c2=64-16=48. x2 y2 ∴ +

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