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2015-2016学年高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修1-1


1. 2 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 题型一 椭圆定义的应用 x2 2 例 1 过椭圆 +y =1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A,B 两点,则 A,B 与椭圆的 4 另一个焦点 F2 构成△ABF2 的周长是( ) A.2 B.4 C. 2 D.2 3 分析:依题意画出图形,根据椭圆的定义可得出结果. 解析:如下图所示,∵|AF1|+|AF2|=2, |BF1|+|BF2|=2, ∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4, 即|AB|+|AF2|+|BF2|=4. 答案:B x2 y2 1.设 F1,F2 是椭圆 + =1 的焦点,P 为椭圆上一点,则△PF1F2 的周长为(B) 25 9 A.16 B.18 C.20 D.不确定 变式训练 解析:a=5,b=3,c=4,易知△PF1F2 的周长为 2a+2c=18. 题型二 求椭圆的标准方程 例 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: 16 3, ?. (1)已知两焦点 F1(-3,0),F2(3,0),且椭圆过? ? 5? (2)已知 a=4,c= 15,焦点在 y 轴上. (3)已知椭圆经过点(2,- 2)和点?-1, 14? . 2 ? ? 解析:(1)方法一 ∵椭圆的焦点在 x 轴上. x2 y2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由椭圆的定义知 2 2 2 ?16? 2 ?16? 2a= (3+3) +? 5 ? + (3-3) +? 5 ? =10. ∴a=5 又∵c=3∴b2=a2-c2=25-9=16. x2 y2 因此,所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16 x2 y2 方法二 ∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 16 3, ?, 因为 c=3,椭圆过点? ? 5? 2 2 2 a -b =c =9, 2 ? ? ? ?a =25, ∴? 9 256 解得? 2 ? ?b =16. ? ?a2+25b2=1, x2 y2 因此所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16 y2 x2 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1,(a>b>0) a b 又∵a=4,c= 15.∴b2=a2-c2=16-15=1. y2 2 ∴椭圆的标准方程为 +x =1. 16 x2 y2 (3)方法一 当焦点在 x 轴上时,可设椭圆的标准方程为: 2+ 2=1(a>b>0), a b 14 将点(2,- 2)和点?-1, ?代入,可得 2 ? ? 4 2 + =1, ? 2 a2 b2 ?a =8, ?? 2 1 7 ? ?b =4. 2+ 2=1 a 2b x2 y2 椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 ? ? ? 当焦点在 y 轴上时,可设椭圆的标准方程为 y2 x2 + =1(a>b>0), a2 b2 14 将点(2,- 2)和点?-1, ?代入,可得 2 ? ? 2 4 + =1, ? 2 a2 b2 ?a =4, 2 2 ?? 2 (a <b ,舍去) 7 1 ? b = 8. ? 2+ 2=1 2a b x2 y2 综上所述,椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 方法二 设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n), 14 将点(2,- 2)和点?-1, ?代入,可得 2 ? ? 1 4m+2n=1, m= , ? 8 ? ? 7 ? 1 m + n = 1 ? ? 2 n= . 4 x2 y

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