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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(2)


年高三年级数学模拟试题( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(2)
麻城三中数学组命制 麻城三中数学组命制
一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(理科) α ∈ 0,π) 理 ( ,若 A. π 3

sinα ? cosα i ∈ R ,则 α=( sinα + cosα i
C. 2π 3

)

B. π 2

D.不存在

(文科) 若函数 g (x ) = sin 2 x cos( 文
A. π 4

π
2

? 2 x) 的最小正周期是(
C. π 3 )



B. π 2

D.2π

2.在锐角△ABC 中,A>B 是 sinA>cosB 的( A. 必要不充分条 C. 充要条件 3.函数 f ( x ) =

B. 充分不必要条件 D. 非充分非必要条件
?1 ?1

3x ?1 的反函数是 f 3x + 1

( x) ,若 f

( x) < 0 ,则 x 的取值范围是(
D.(1,+∞)



A.(-∞,-1)

B.(-∞,0)

C.(-1,0)

4.某部队为了了解战士课外阅读情况,随机调查了 50 名战

士,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据.结果 用右面的条形图表示,根据条形图可得这 50 名战士这一天 平均每人的课外阅读时间为(
A. 0.6h?

)?
C. 1.0h?? D. 1.5h?? )条.

B. 0.9h?

5.在平面直角坐标系中,过 A (2,2 ) 的直线为 L.到原点距离等于 m 的直线 L 有(

A. 0 C. 2

B. 1 D. 以上答案都正确 )

6.不等式 | a | ? | b |≤| a + b |≤| a | + | b | 中两等号同时成立的充要条件是(

-1-

A. | b |= 0 7.二项式 ( y +

B. | a | + | b |= 0

C. a、 b反向

D. a、 b同向

1 n ) 的展开式中前三项系数成等差数列,则展开式的常数项为( 2y
B. T4 = 70 C. T5 = 70 D. T5 =



A. T4 =

35 8

35 8


AC⊥BC, ∠AB1C=α, ∠ABC=β, ∠BAB1=θ, ( 则 8. 在直三棱柱 ABC―A1B1C1 中, A.sinα=sinβcosθ C.cosβ=cosαcosθ B.cosα=cosβcosθ D.sinβ=sinαcosβ )

9.(理科)函数 f ( x ) = x + 4 m ? x 的单调递增区间为(-∞,1),则实数 m 等于( 理 A.1 B.3 C.5 D.7

(文科) 设 f (x ) 是定义在实数集 R 上的函数,满足 f (0) = 1 ,且对任意实数 a、b 都有 文科) 文科

f (a ) ? f (a ? b) = b(2a ? b + 1) ,则 f (x) 的解析式可以是?
A. f ( x ) = x 2 + x + 1 C. f ( x ) = x 2 ? x + 1 ? B. f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ? D. f ( x ) = x 2 ? 2 x + 1 ?

10.(理)设 f ( x ) = x3 + bx2 + cx, 又 m 是一个常数.已知当 m<0 或 m>4 时, f ( x ) ? m = 0 只有 一个实根;当 0<m<4 时, f ( x ) ? m = 0 有三个相异实根,现给出下列命题:(1)

f ( x) ? 4 = 0 和 f ' ( x) = 0 有一个相同的实根;(2) f ( x) = 0 和 f ' ( x) = 0 有一个相同的实
根;(3) f ( x ) + 3 = 0 的任一实根大于 f ( x ) ? 1 = 0 的任一实根;(4) f ( x ) + 5 = 0 的任一实 根小于 f ( x ) ? 2 = 0 的任一实根.其中错误命题的个数是(
A. 4 B . 3? C. 2 ?


D. 1

x2 y2 (文)椭圆 C1: + = 1 的左准线为 l,左、右焦点分别为 F1、F2,抛物线 C2 的准线为 l, 文 4 3
焦点为 F2,C1 与 C2 的一个交点为 P,则|PF2|的值等于?(
A.



2 3

B. D.

C. 2

4 3 8 3

-2-

( 小题, 把答案填在横线上) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上) 填空题: 11. 在一次有奖彩票的 100000 个有机会中奖的号码(编号 00000—99999)中, 民政部门按照随 机抽取的方式确定后两位是 88 或 68 的号码作为中奖号码, 这是运用了____________抽样 方法. 12. 理科)等腰直角三角形 ABC 中,AB=1,锐角顶点 C 在平面 α 内,β∥α,α、β 的距离为 ( 1, 随意旋转三角形 ABC,则三角形 ABC 在 β 另一侧的最大面积为 。

(文科)一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一 文 个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。

13.已知双曲线

x2 y2 ? = 1 的左焦点为 F1,左、右顶点为 A1、A2,P 为双曲线右支上任意 a 2 b2

一点,则分别以线段 PF1,A1A2 为直径的两个圆的位置关系为_____________ 14.已知函数 f ( x) = 1 ? 3( x ? 1) + 3( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 3 则:

f ?1(8) + f (1) =



15.(理科)给出下列四个命题: ( ①函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处可导,则函数 y = f (x ) 在 x 0 处连续; ②函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数 f ( x 0 ) = 0 ,则 f ( x 0 ) 是函数 y = f (x ) 的一个极值; ③函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数不存在,则 f ( x 0 ) 不是函数 y = f (x ) 的一个极值; ④函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处连续,则函数在 x = x 0 处可导; ⑤函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的左、右极限存在,则函数 y = f (x ) 在 x 0 处连续; 其中正确的命题的序号是________________(请把所有正确命题的序号都填上)。 (文科)曲线 y = 2 x ? x 3 上在横坐标为 ? 1 的点处的切线方程是______________. 文 三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分.解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设钝角三角形 ABC 的内角 A、B、C 对的边分别为 a、b、c,a>b>c, b=2asinB,

-3-

(1) 求∠A 的大小. (2)求 cosB+sinC 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 如图在四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形 ABCD 为平行四边形, PA⊥面 ABCD, PC ? BD = 0 , PA=AB=2。 ∠BAD = 60 。 (1) 证明:面 PAC⊥面 PBD. (2)求C到面 PBD 的距离. (3)(理科)求面 PBC 与面 PAD 的二面角的大小. 理
°

18.(理科)(本小题满分 12 分) ( 甲、乙两人定点投篮,甲投篮 3 次,记投篮投中的次数为 ξ;乙投篮 2 次,记投篮投中的次数 为 η. (1)求 Eξ 和 Dξ; (2)规定:若 ξ>η,则甲获胜;若 ξ<η,则乙获胜,分别求出甲、乙获胜的概率。 (文科)如图是一个正方体魔块(表面有颜色) 文 ,将它掰开(沿图中各面的线) ,得到 27 棱长为 1 的小正方体,将这些小正方体充分混合后,装入一个口袋中。

-4-

(1) 从这个口袋中任意取出 1 个小正方体, 这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率为多少? (2)从这个口袋中同时任意取出 2 个小正方体,其中一个小正方体恰好有 1 个面涂有颜色, 另一个小正方体至少有 2 个面涂有颜色的概率为多少?

19.(本小题满分 12 分) (理科)已知 f ( x ) = 2mx + 理
(1) 求 m,n 的值; (2) 若对 x ∈[

1 n 处都取得极值。 + ln x 在 x = 1与 x = 2 x

1 31 ,4]时, f (x) > lnc ? 恒成立,求 c 的取值范围; 4 12

(文)已知 f ( x ) = 文 (1)当 | a |≤

2 3 x ? ax 2 ? 3 x, ( a ∈ R ) 。? 3

1 时,求证: f (x ) 在(-1,1)内是减函数;? 2

(2)若 y = f (x ) 在(-1,1)内有且只有一个极值点,求 a 的取值范围;

20.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 x 2 = 2 y 上有两个点 A(x1,y1)B(x2,y2)且 x1 x2 = ?2m (m 为定值且 m>0) 。 (1)求证:线段 AB 与轴的交点为定点(0, m) ; (2) (理科)过 A,B 两点做抛物线的切线,求 PA与PB 夹角的取值范围; 理 (文科)过 A,B 两点做抛物线的切线,求两切线夹角的取值范围; 文

-5-

21.(本小题满分 14 分) ( 理 科 ) 已 知 函 数 f (x ) =
x2 +1 ?1 (x > 0) , 数 列 x

{a n }

满 足 a1 > 0, 且

an = f

?1

(a n+1 ) (n ∈ N * )。

(1) 若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,试比较 S n 与 na n 的大小; (2) 若 a1 = 1, 证明: S n + a n > 1 ; (文科)在数列 {a n } 中, a1 = 1 , 文

an 1 =1? . an ?1 n

(1) 求 a n ;

(2)设 小;

f (x) =sinx, An 是数列 { f (an )} 前

n 项的和, Bn 是 {a n } 前 n 项的和,比较 An 与 Bn 的大

-6-

参考答案: 参考答案:
1 (理)B【解析】: 理 【解析】

π sin α ? cos α i 2 = (sin α ? cos α i ) = ? cos 2α ? sin 2α i ∈ R ∴ α = 2 sin α + cos α i
π
2 ? 2 x) = sin 2 2 x = 1 1 ? cos 4 x 2 2

(文)B【解析】: g (x ) = sin 2 x cos( 文 【解析】

∴函数的周期为 T =

π
2



2、 B 【解析】: A + B > 解析】 解析 无关. ∴选 B.

π
2

? A>

π
2

? B > 0 ? sin A > cos B 恒成立,与 A>B

3、 C 【解析】:本题实际是求值域, y = 解析】 解析

3x ? 1 ?2 y +1 ( x < 0) 得, 3x = ∴ =1+ x x 1? y 3 +1 3 +1

0<

y +1 < 1 ∴选 C 1? y

4

.B 【解析】: 20 × 0.5 + 1× 10 + 1.5 × 10 + 2 × 5 = 0.9 ,∴选 B. 解析】 解析
50

5. D 【解析】 由于直线 L 过定点 解析】 (2, , 2) 原点到 L 的最小距离为 2 2 , 故当 m > 2 2 解析 : 时,0 条。 m = 2
2 时,1

条。 m = 2 2 时,2 条。∴选 D.

6. A 【解析】:右边等号成立条件为 a、 同向,左边等号成立条件为 a、 异向且 b b 解析】

| a |> | b |

∴ | b |= 0 满足题意。∴选 A.

7. D 【解析】: ( y + 解析】

1 2 1 ) 的展开式中前三项为 C n0 y n , C n y n ?1 ( 1 )1 , 2y 2y

2 Cn y n ? 2 (

1 2 n n(n ? 1) n(n ? 1) ) , 其系数为 1、 , ,∴ n = 1 + ,解之得 n = 8 。 2y 8 2 8
1 r 35 r 1 ) = Cn ( ) r y n ? 2 r 当 r = 4 时, T5 = , 故选 D。 2y 2 8

r 又 Tr +1 = Cn y n ? 2 (

-7-

8. C 【解析】:如图在 RT△AB1C 中 sin α = 解析】

AC , AB1

在 RT△ABC 中 sin β =

AC , AB AB ,∴ sinα = sin β cos θ ,故选 C。 AB1

在 RT△AB1B 中 cos θ =

9.(理) C【解析】 :换元法用复合函数的单调法则处理或用导数法。令 t= m ? x ,则 ( 解析】 解析

f (t ) = ?t 2 + 4t + m ,欲使 f(x) 的单调递增区间为(-∞,1),需使 f(t)的单调递减区间
为( m ? 1 ,+∞),即为(4,+∞),∴m=5。故选 C。 (文)A【解析】:令 a = b = x ,得 f(x)-f(0)=x(2x-x+1)=x2+x.又 f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1. 文 解析】: 解析】: 10.(理)D【解析】:有题意可知 4 为 f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx 的极大值, ( 解析】 解析

0为

f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx + d

的极小值,有右图,⑴⑵⑷正确.

(文) 解析】 椭圆的离心率为 文 D【解析 : 解析】

1 1 , 到椭圆的左准线的距离设为 d, P 则|PF1|= d, 2|+ |PF 2 2

|PF1|=4,又|PF2|=d,∴|PF2|=

8 。故选 D。 3

11.系统. 【解析】:有系统抽样的定义可知。 解析】

( 12. (理) 理

2 ?1 解析】 【解析】:当直角三角形的斜边垂直与平面时,所求面积最大.本题是近几 2

)

2

年高考中常出现的竞赛性题目类似题。

(文) 1∶5【解析】 文 :设正三棱柱底面正三角形的边长为 a,当球外切于正三棱柱时,球的 【解析】 半径 R1 等于正三棱柱的底面正三角形的边心距

3 3 a ,故正三棱柱的高为 a ,当球外 3 3

接正三棱柱时,球的圆心是正三棱柱高的中点,且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形 构成两个正三棱锥, R2 = (
2

3 2 3 2 a) + ( a ) ,∴内切球与外接球表面积之比为 1∶5。 6 3

-8-

13

.内切 【解析】:如图在三角形 PF1F2 中 解析】 解析

PF ? 2a PF1 1 OQ = PF2 = 1 = ?a 2 2 2
∴内切

?1 14.1 【解析】 解析】 解析 :由题意得 f ( x ) = (2 ? x ) ,令 f ( x ) = 8 得 x=0, ∴ f (8) = 0 ,令 x=1,
3

f (1) = 1 。
15. (理)① 【解:由定义知,①正确,②④⑤错误。函数求导是求极值的方法之一,求极 理 值的方法与函数存在极值无关,故③错误。

(文)x+y-2=0【解析】 f ( ?1) = ?2 + 1 = ?1 , f ' ( x ) = 2 ? 3 x 2 , f ' (?1) = 2 ? 3 = ?1 文 【解析】 : ∴切线方程为 y + 1 = ?( x + 1) , 即 x+y-2=0. ∴ sinB = 2sinAsinB∴ sin A =

17.【解析】:(1)Q b = 2a sin B 【解析】

1 , 2

3分

∵△ABC 为钝角三角形,a>b>c, ∴A 为钝角, ∴ A =

5π 。 6

5分

(2)由(1)知 B + C =

π
6

,C 为最小角, 0 < C <

π
12



∴ cosB + sin C = cos(

π
6

? C ) + sin C = 3 sin(C +

π
6

)

8分

∵ C ∈ (0,

π
12

) ,∴ C +

π

∈( , ) 6 6 4

π π

∴ cos B + sin C 的取值范围为 (

3 , 2) 。 2

10 分

18.如图(1)证明:连 AC,BD ∵PA⊥BD,PC⊥BD ∴BD⊥面 PAC,

-9-

1 1 P (ξ = 0) = C 30 ? ( ) 3 = , 2 8 1 3 3 1 P (ξ = 1) = C 3 ? ( ) = , 2 8 1 3 3 P (ξ = 2) = C 32 ? ( ) = , 2 8 1 3 1 3 P (ξ = 3) = C 3 ? ( ) = , 2 8 1 2 1 0 P (η = 0) = C 2 ? ( ) = , 2 4 1 2 1 1 P (η = 1) = C 2 ? ( ) = , 2 2 1 2 1 2 P (η = 2) = C 2 ? ( ) = 2 4

∴面 PAC⊥面 PBD.

2分

(2)【解法 1】:O 为 AC 的中点,故 A、C 到面 PBD 的距离 解法 】 相等。连 PO,过 A 做 AE⊥PO 于 E,∵面 PAC⊥面 PBD. ∴AE 为 A 到面PBD的高。 4分

在 Rt△APO 中,AO =

3, AP=2, AE = ∴

AO ? AP 3 ? 2 2 21 = = 。 PO 7 3+ 4

7分 【解法 2】: VP ? ABD = VA ? PBD 】 ∴ S ABD ? PA = S PBD ? AE .

∴ AE =

2 21 . 7

7分

(3)解: ∵BC∥AD ∴BC∥面 PAD, ∴过 P 做 PQ 即为面PBC与面PAD 的交线.过 B 做 BM⊥AD 于 M,BM⊥面PAD,过 M 做 MQ⊥PQ 于 Q,连 BQ,则∠BQM 为 面 PBC 与面 PAD 的二面角的平面角。 9分

在 Rt△BQM 中,BM= 3 ,MQ=2 ∴tan∠BQM=

3 3 ∴∠BQM= arctan 。 2 2

12 分

19.(理)【解析】: (1)依题 ξ~B (3, ) ,∴ Eξ = 3 × ( 解析 分

1 2

1 3 1 1 3 = , Dξ = 3 × × = 。 4 2 2 2 2 4

(2) 甲获胜有以下情况:ζ=1,η=0,ζ=2,η=0,1;ζ=3,η=0,1,2. 则甲获胜的概率为:
P1 = 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 × + ×( + )+ ×( + + ) = . 8 4 8 4 2 8 4 2 4 2

9分

乙获胜有以下情况: η=1,ζ=0;η=2,ζ=0,1. 则乙获胜的概率为:

- 10 -

P2 =

1 1 1 1 3 3 × + ×( + ) = . 2 8 4 8 8 16

12 分

(文)在 27 个小正方体中,恰好有三个面都涂色有颜色的共有 8 个,恰好有两个都涂有颜 文 色的共 12 个,恰好有一个面都涂有颜色的共 6 个,表面没涂颜色的 1 个. (1)记“从这个口袋中任意取出 1 个小正方体,这个小正方体的表面恰好没有颜色”为事件 A,则 P(A)=

1 . 27
2

(2) 27 个小正方体中同时任意取出 2 个小正方体, C 27 种等可能的结果.这些结果中, 从 共 有一个小正方体恰好有 1 面涂有颜色;另一个小正方体至少有 2 个面涂有颜色有
1 1 1 C 6 (C12 + C8 ) 种.所以从 27 个小正方体中同时任意取出 2 个小正方体,有一个小正方体恰

好有 1 个面涂有颜色,另一个小正方体至少有 2 个面涂有颜色概率为

p=

1 1 1 C6 (C12 + C8 ) 40 = 。 2 C27 117

20.(理)【解析】:(1) f ' (x ) = 2m ? ( 解析

1 n 1 + ,由求函数极值的过程可知 1 与 为 2 2 x x

方程 2m ?

? 2m ? n + 1 = 0 n 1 + = 0 的两个根。代入得 ? x2 x ?2 m ? 4 n + 2 = 0 1 1 ,n = 。 3 3
5分

解之得 m = ?

1 2 1 1 ' 2 1 (2)由(1)得 f (x) = ? x + + ln x , f (x) = ? ? 2 + = ? 2 3 3x x 3x 3 3x
分 故当 x ∈ [ 1 , 1 ) 时, f ' (x ) < 0, f ( x ) 是减函数, 4 2 当 x ∈ ( 1 ,1) 时, f ' (x ) > 0, f (x ) 增函数, 2 当 x ∈ (1,4] 时, f ' (x ) > 0, f (x ) 是减函数, 又 f ? 1 ? = 7 ? ln 2. , f (4) = ? 8 + 1 + 2 ln 2 ? ?
? 2? 6

(x ?1)(2x ?1) 。

7

3 12

- 11 -

f (4 ) ? f ? ? = ?

? 1? ? 2?

8 1 7 15 + + 2ln2 ?( ?ln2.)= ? +3ln2 < ?3+3 =0 3 12 6 4
f (4) = ? 31 + 2ln2 12
10 分

∴在 x ∈[

1 ,4]上, f ( x ) 的最小值为 4
12
12

使 f ( x ) > ln c ? 31 恒成立,只要 ln c ? 31 < ? 31 + 2 ln 2
12

∴0 < c < 4 (文) (1)证明:∵f(x)= 文

12 分

2 3 2 x -ax -3x, 3
1
3分

? ? f ′ (? 1 ) = 2 ( a ? 2 ) ≤ 0 , 1 2 ∴f′(x)=2x -2ax-3.2 分∵|a|≤ ,∴? ? ? 2 1 ? ? ? f ′ (1) = ? 2 ( a + 2 ) ≤ 0.
又∵二次函数 f′(x)的图象开口向上,? ∴在(-1,1)内 f′(x)<0.故 f(x)在(-1,1)内是减函数. 6 分 (2)解:设极值点为 x0∈(-1,1),则 f′(x0)=0,?

? f ′ (? 1) = 2 ( a ? 2 ) > 0 , 1 当 a> 时,∵ ? ?∴在(-1,x0)内 f′(x)>0,在(x0,1)内 f′(x)<0,? ? 2 1 ? 1 ? ? f ′ (1) = ? 2 ( a + 2 ) < 0.
即 f(x)在(-1,x0)内是增函数,f(x)在(x0,1)内是减函数.?9 分 ∴当 a> 当 a< ? 当?

?

1 时 f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点且是极大值点.? 2 1 时,同理可知 f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点,且是极小值点. 2
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1 1 ≤a≤ 时,由(1)知 f(x)在(-1,1)内没有极值点. 2 2 1 1 )∪( ,+∞). 2 2

故所求 a 的取值范围是(-∞, ?

12 分

21.【解析】(1)∵x1 x2=-2m<0 ∴线段 AB 与轴必有交点,且设为 M(0, y0) 【解析 : 。
2 ? 设 A ? x1 , x1 ? 2 ?
2 ? ? ? ? ,B ? x 2 , x 2 ? , ? ? 2 ? ? ? ?



x1 ? x2

x1 = 2

2

? y0 x2 2
2



y0 ?

1 1 2 2 x1 x 2 ? x1 y 0 = x 2 x1 ? x 2 y 0 2 2

- 12 -

∵x1 x2=-2m

∴ ? mx 2 ? x1 y 0 = ? mx1 ? x 2 y 0 ∵ x 2 ≠ x1 ∴ m = y0 。 6分

∴ m( x 2 ? x1 ) = y 0 ( x 2 ? x1 )

即线段 AB 与轴的交点为定点(0, m) 。

(2) (理)设过 A,B 两点做抛物线的切线的交点为 P ,则两切线的夹角为∠APB 。 理 由 x 2 = 2 y 可得 y =

x2 ' ,则 y = x , 2

∴过 A,B 两点做抛物线的切线的斜率分别为 K AP = x1 , K AP = x 2 , 若m = 若m ≠

1 π ,则 tan ∠APB = . 2 2 1 x ? x2 x ? x2 ,∴ tan ∠APB = 1 , = 1 2 1 ? 2m 1 + x1 x 2
9分

∵x1 x2=-2m ∴ x1 ? x 2 = ?( x2 ? x1 ) ≤ ?2 ? x1 x 2 = ?2 ? 2m ,

π ? 2 ? 2m 当 m > 1 时, tan ∠APB ≥ >0 ∴ arctan 2 ? 2m ≤ ∠APB< . 2 2 1 ? 2m 2m ? 1 1 时, tan ∠APB ≤ ? 2 ? 2m <0 ∴ π ? 2 ? 2m ∠APB< π . 当m < arctan ≤ 2 1 ? 2m 1 ? 2m
π 综上所述, m = 1 ,则 tan ∠APB = 2 2
m>

π 1 时, 2 ? 2m ∠APB< . arctan ≤ 2 2 2m ? 1 1 2 ? 2m ∠APB< π 。 m < 时, π ? arctan ≤ 2 1 ? 2m

12 分

讨论思想。解答的关键是列方程和分类讨论。该题的难度系数为 0.51。 (2) 文)设过 A,B 两点做抛物线的切线的交点为 P ,则两切线的夹角为∠APB 。 ( 由 x 2 = 2 y 可得 y =

x2 ,则 y ' = x , 2

8分

∴过 A,B 两点做抛物线的切线的斜率分别为 K AP = x1 , K AP = x 2 , 若m = 若m ≠

1 ,则 tan ∠APB = π 。 2 2 1 ,∴ tan ∠APB = x1 ? x 2 = x1 ? x2 2 1 + x1 x 2 1 ? 2m
10 分

∵x1 x2=-2m ∴ x1 ? x 2 ≥ 2 ? x1 x 2 = 2 ? 2m 。

- 13 -

π ∴ tan ∠APB ≥ 2 ? 2m , arctan 2 ? 2m ≤ ∠APB< . 2 1 ? 2m 1 ? 2m

π ∴两切线夹角的取值范围为[ arctan 2 ? 2m , ]。 2 1 ? 2m
22. 理) 解析 :(1) f (x ) = ( 【解析 解析】
x2 ? ( x 2 + 1 ? 1) x2
?1

12 分

x2 +1 ?1 (x > 0) , x
1? = 1 x +1 > 0 ,∴ x2
2

则 f ' (x ) = ∵ an = f

x +1
2

f ( x ) 在 (0,+∞ ) 上为增函数。2 分
∴ a n +1 =

(a n+1 ) , f (x ) =

x2 +1 ?1 > 0( x > 0) x
1

an + 1 ? 1
2

an

> 0 。4 分

? 2 2? a n + 1 ? ?1 + a n ? 2 1 an + 1 ? 1 1 ? 2 ?, 又 a n +1 ? a n = ? an = 2 an an 2

1 ∵ ( a n 2 + 1) 2 ? ?1 + 1 a n 2 ? = ? 1 a n 4 < 0 ,∴ a n +1 < a n 。 ? ? 2 4 ? 2 ?
2

∴ a1 > 2a 2 > 2 a 3 > L > 2
2

n ?1

an ,

∴ S n = a1 + a 2 + L a n > 2

n ?1

a n + 2 n?2 an + L an = 2 n ? 1 an ,
n n

(

)

∴ S n ? na n > 2 ? n ? 1 a n ,∵ 2 ? n ? 1 = (1 + 1) ? n ? 1 ≥ 0
n

(

)

∴ S n ? na n > 0 ,∴ S n > na n .
n

8分

(2)由(1)知 S n > ( 2 ? 1)a n ,∴ S n 下面只需比较 a n 与

+ an > 2 n an 。

1 即可。 2n
an

9分

2 2 ∵ a n+1 ? 1 = a n + 1 ? 1 ? 1 = a n + 1 ? (1 + an )

an

(a

2 n

+ 1 ? (1 + a n ) = ?2a n < 0
2

)

∴ 0 < a n +1 < 1 ,∴ 0 < a n < 1 。

1
∴ an =

2a n +1 1 ? a n +1
2

<

2a n +1 ,∴ 1 > 1 ? 1 ,即 a n +1 1 ? a n +1 a n 2a n +1 2

<

2 +1 an 。

- 14 -

1
∴ a n +1

+ 1 < 2(

1 + 1), an ∴ 1 + 1 < 2 n ?1 ( 1 + 1) = 2 n , a n +1 a1



an >

1 1 1 S n + a n > 2 n a n > 2 n × n = 1. > n 2 2 ? 1 2 。∴
n

12 分

(文)解:(1)由 文

1 an = 1 ? 得, nan = (n ?1)an?1 ,2 分 an ?1 n

∴ {na n }构成以 1× a 1 为首项的常数数列,又1× a 1 =1,故 na n =1,∴ an = . (2)令 g (n ) = a ? f (a ) = 1 ? sin 1 , n n
n n

1 n

5分

可使 g (x ) = 1 ? sin 1 (x>0).
x x

则在单位圆中,由当 α ∈ ? 0,

? π? ?, sin α < α < tan α ? 2?



1 1 > sin x x

9分

∴ 1 ? sin 1 > 1 ? sin 1 > L > 1 ? sin 1 >0
2 2 n n

∴ 1 > sin 1 , 1 > sin 1 ,L , 1 > sin 1
2 2 n n

∴ An < Bn .

12 分

- 15 -



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