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合肥168中学高二年级文科立体几何基础知识点全集.完整版


高二年级文科期末复习资料 立体几何知识点整理
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行
l α

2. 线面平行:
l m α

方法一:用线线平行实现。

l // m ? ? m ? ? ? ? l // ? l ?? ? ?

方法二:用面面平行实现。 符号表示:
α β l

2. 线面相交
l A α

? // ? ? ? ? l // ? l ? ??

方法三:用平面法向量实现。 符号表示:
n l

若 n 为平面 ? 的一个法向 量 , n ? l 且 l ?? , 则

3. 线在面内
α
α l

l // ? 。

符号表示:

3. 面面平行: 方法一:用线线平行实现。
l

二.平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。
l ?

β α l' m'

m

? ? l?? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

l // ?

? ? m // m' ? ? ? ? // ? l , m ? ?且相交 ? l ' , m' ? ?且相交? ? l // l '
l // ?

方法二:用线面平行实现。
l

?

m

方法二:用面面平行实现。
l β γ α m

β α

m

? ? m // ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交? ?

? // ? ? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。

方法三:用线面垂直实现。 若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m 。 方法四:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 共线且 l、 不重合, l // m 。 m 则

l ? AC

l α A C B

? ? l ? AB ? ??l ?? AC ? AB ? A? AC , AB ? ? ? ?

1

方法二:用面面垂直实现。

步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理:

β

l m

? ?? ? ? ? ?? ? m ??l ?? l ? m, l ? ? ? ?

a2 ? b2 ? c2 cos? ? 2ab
(计算结果可能是其补角)

a θ b

c

α
2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。
C
β l

方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角):
θ A B

l ??? ??? ? ? l ? ??

cos? ?

AB ? AC AB ? AC

α

(二) 线面角 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。
l m α

(1)定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外) ,作 PO ? ? 于 O,连结 AO, AO 为斜线 PA 在面 ? 内 则 的射影, PAO (图中 ? )为直线 l 与面 ? 所成的角。 ?
P A θ

l ?? ? ??l ?m m ? ??
α

O

方法二:三垂线定理及其逆定理。

P A O l

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA l ?? ? ?

(2)范围: [0?,90?] 当 ? ? 0? 时, l ? ? 或 l // ? 当 ? ? 90? 时, l ? ? (3)求法:

α

方法三:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 的数量积为 0,则 l ? m 。 三.夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围: (0?,90?] (2)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。

方法一:定义法。 步骤 1:作出线面角,并证明。 步骤 2:解三角形,求出线面角。 方法二:向量法( n 为平面 ? 的一个法向量)。

sin? ? cos ? n, AP ?
n α A θ P O

?

n ? AP n ? AP

2

(三) 二面角及其平面角 (1)定义:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线)m、n,则射线 m 和 n 的夹角 ? 为 二面角 ? —l— ? 的平面角。
? ? ? m P n l

四.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。
P

? A

O

步骤 1: 过点 P 作 PO ? ? 于 O, 线段 PO 即为所求。 步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等 体积法和等面积法;换点法) 方法二:坐标法。
n θ α A P O

(2)范围: [0?,180 ?] (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1: 作出二面角的平面角(三垂线定理), 并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤 1: 如图, 若平面 POA 同时垂直于平面 ?和? , 则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。 步骤 2:解三角形,求出二面角。
β P θ α O A

d ? AP ? cos ? n ? AP ?
n ? AP n

?

2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。
m

?

n

如图,m 和 n 为两条异面直线, n ? ? 且 则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直 m // ? , 线 m 与平面 ? 之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

n1 θ

n2
方法三:公式法。
B a A m

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 步骤一:计算 cos ? n1 ? n2 ?? ?? ?? ? n1 ? n2
步骤二:判断 ? 与 ? n1 ? n2 ? 的关系,可能相等或 者互补。

c

d n ? b D m'

C

?? ?? ?

如图,AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段,

m //m' ,则异面直线 m 和 n 之间的距离为:
d ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos?
3

高考题典例 1. 18.(本小题满分 12 分) 如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点 (Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

2.(本大题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,再用 S 平方 米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)若要制作一个如图放置的,底面半径为 0.3 米的灯笼,请作出 用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素). 解析:(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l,则 l?1.2?2r(0<r<0.6),S??3?(r?0.4)2?0.48?, 所以当 r?0.4 时,S 取得最大值约为 1.51 平方米; (2) 当 r?0.3 时,l?0.6,作三视图略. 3. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中 点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 解 (Ⅰ)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,
4

∴EF∥平面 PAD.

(Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 则 BG⊥平面 ABCD,且 EG=

1 PA. 2
2 . 2

在△PAB 中,AD=AB, ? PAB°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG= ∴S△ABC=

1 1 AB·BC= × 2 ×2= 2 , 2 2
2 1 1 1 S△ABC·EG= × 2 × = . 2 3 3 3

∴VE-ABC=

4.(19) (本小题满分 12 分) 如图,棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 BCC1 B1 是菱形, B1C ? A1 B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A1 BC1 ; (Ⅱ)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1 B // 平面 B1CD ,求 A1D : DC1 的值. 解: (Ⅰ)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C ? BC1 又已知 B1C ? A1 B,且A1 B ? BC1 ? B 所又 B1C ? 平面 A1BC1,又 B1C ? 平面 AB1C , 所以平面 AB1C ? 平面 A1BC1 . (Ⅱ)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE, 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线, 因为 A1B//平面 B1CD,所以 A1B//DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D:DC1=1.

5.(17) (本小题共 13 分) 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。 EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1 (Ⅰ)求证:AF//平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDF;
5

证明: (Ⅰ)设 AC 于 BD 交于点 G。 因为 EF∥AG,且 EF=1,AG=

1 AG=1 2

所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF∥EG 因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE (Ⅱ)连接 FG。因为 EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1, 所以平行四边形 CEFG 为菱形。所以 CF⊥EG. 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD⊥AC. 又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD,且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC, 所以 BD⊥平面 ACEF.所以 CF⊥BD.又 BD∩EG=G,所以 CF⊥平面 BDE. 6.如图, 在五面体 ABCDEF 中, 四边形 ADEF 是正方形, FA⊥平面 ABCD, BC∥AD, CD=1, AD= 2 2 , ∠BAD=∠CDA=45°. (Ⅰ)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值; (Ⅱ)证明 CD⊥平面 ABF; (Ⅲ)求二面角 B-EF-A 的正切值。 (I)解: 因为四边形 ADEF 是正方形, 所以 FA//ED.故 ?CED 为异面直 线 CE 与 AF 所成的角. 因为 FA ? 平面 ABCD,所以 FA ? CD.故 ED ? CD. 在 Rt △ CDE 中 , CD=1 , ED= 2 2 , CE= cos ?CED =

CD 2 ? ED 2 =3, 故

ED 2 2 = . 3 CE
2 2 . 3
? ?

所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为

(Ⅱ)证明:过点 B 作 BG//CD,交 AD 于点 G,则 ?BGA ? ?CDA ? 45 .由 ?BAD ? 45 ,可得 BG ? AB, 从而 CD ? AB,又 CD ? FA,FA ? AB=A,所以 CD ? 平面 ABF. (Ⅲ)解:由(Ⅱ)及已知,可得 AG= 2 ,即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N,连接 GN,则 GN ? EF,因 为 BC//AD,所以 BC//EF.过点 N 作 NM ? EF,交 BC 于 M,则 ?GNM 为二面角 B-EF-A 的平面角。 连接 GM,可得 AD ? 平面 GNM,故 AD ? GM.从而 BC ? GM.由已知,可得 GM= NG ? GM. 在 Rt△NGM 中,tan ?GNM ? 所以二面角 B-EF-A 的正切值为

2 .由 NG//FA,FA ? GM,得 2

GM 1 ? , NG 4

1 . 4

6


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