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2016年新课标全国卷试题汇编:数列 老师专用


2016 年新课标全国卷试题汇编:数列
1.(2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 理数 3T) 已知等差数列 则

{an } 前 9 项的和为 27,a10 =8 ,

a100 =



) (C)98 (D)97

(A)100 (B)99 答案:C

2.(2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 理数 15T)设等比数列满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2… an 的最大值为. 答案:64 3.(2016 全国高考新课标Ⅰ卷·文数 17T) (12 分)已知 {an } 是公差为 3 的等差数列,数 列 {bn } 满足 b1 ? 1 , b2 ?

1 , anbn?1 ? bn?1 ? nbn 3

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 {bn } 的前 n 项和

解析: (Ⅰ)由已知,a1b2 ? b2 ? b1 , b1 ? 1, b2 ?

1 1 , 得 a1b2 ? b2 ? b1 , b1 ? 1, b2 ? , 得 a1 ? 2 , 3 3

所以数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an ? 3n ? 1 .

(Ⅱ)由(I)和 anbn?1 ? bn?1 ? nbn ,得 bn ?1 ? 的等比数列.记 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则

bn 1 ,因此 ?bn ? 是首项为 1,公比为 3 3

1 1 ? ( )n 3 ? 3? 1 . Sn ? 1 2 2 ? 3n ?1 1? 3
4. (2016 全国高考新课标Ⅱ卷· 文数 17T) (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中,a3 ? a4 ? 4 ,

a5 ? a7 ? 6 .

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? [an ] ,求数列 {bn } 的前 1 0 项和,其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,如
[0.9] ? 0 , [2.6] ? 2 .

? a3 ? a4 ? 4 ? a ? a ? 6, { a } d n 解: (Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,因为 ? 5 7 所以

? 2a1 ? 5d ? 4 ? ? 2a1 ? 10d ? 6, 解得

? a1 ? 1, ? ? 2 2n ? 3 d? . an ? ? 5 所以数列 {an} 的通项公式为 ? 5 .
{bn} 的前

(Ⅱ)设数列

n

项和为

Sn ,因为 bn ? [an ] ,所以

7 9 11 13 15 17 19 21 23 S10 ? [a1] ? [a2 ] ? [a3 ] ? [a4 ] ? [a5 ] ? [a6 ] ? [a7 ] ? [a8 ] ? [a9 ] ? [a10 ] ? [1] ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? [ ] 5 5 5 5 5 5 5 5 5

?1 ?1 ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 24 .
5.(2016 全国高考新课标Ⅱ卷· 理数 17T) (本小题满分 12 分)
Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , S7 ? 28 .记 bn ? ?lg an ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x

的最大整数,如 ?0.9? ? 0 , ?lg99? ? 1 . (Ⅰ)求 b1 , b11 , b101 ; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和. 解析: (Ⅰ)设 a 的公差为 d , S ? 7a ? 28 , ? n? 7 4 ∴ a4 ? 4 ,∴ d ?
a4 ? a1 ? 1 ,∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n . 3

∴ b1 ? ?lg a1 ? ? ?lg1? ? 0 , b11 ? ?lg a11 ? ? ?lg11? ? 1 , b101 ? ?lg a101 ? ? ?lg101 ? ? 2 .

(Ⅱ)记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 T1000 ? b1 ? b2 ? ??? ? b1000

? ?lg a1 ? ? ?lg a2 ? ? ??? ? ?lg a1000 ? .
当 0 ≤ lg an ? 1时, n ? 1,2 ,???,9 ;
11,? ? ? ,99 ; 当 1 ≤ lg an ? 2 时, n ? 10 , 101,? ? ? ,999 ; 当 2 ≤ lg an ? 3 时, n ? 100 ,

当 lg an ? 3 时, n ? 1000 . ∴ T1000 ? 0 ? 9 ? 1? 90 ? 2 ? 900 ? 3 ? 1 ? 1893 . 6.(2016 全国高考新课标Ⅲ卷·文数 17T) (本小题满分 12 分)
2 已知各项都为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0 .

(I)求 a2 , a3 ; (II)求 ?an ? 的通项公式. 解: (Ⅰ)由题意得 a2 ?

1 1 , a3 ? . 2 4

.........5 分

2 (Ⅱ)由 an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0 得 2an?1 (an ? 1) ? an (an ? 1) .

因为 ?an ?的各项都为正数,所以

an ?1 1 ? . an 2
......12 分

故 ?an ?是首项为 1 ,公比为

1 1 的等比数列,因此 an ? n ?1 . 2 2

7.(2016 全国高考新课标Ⅲ卷· 理数 17T) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 1 ? ? an ,其中 ? ? 0 . (I)证明 {an } 是等比数列,并求其通项公式; (II)若 S5 ?

31 ,求 ? . 32

【答案】 (Ⅰ)

an ?

1 ? n ?1 ; (Ⅱ) . ? ? ?1 ( ) 1? ? ? ?1

【解析】


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