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【新步步高】(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 高考中档大题规范练(一)理

高考中档大题规范练 (一)三角函数与平面向量

1.(2015·广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=?

2? ? 2 ,- ?,n=(sin x,cos x), 2? ?2

x∈?0, ?. 2

? ?

π?

?

(1)若 m⊥n,求 tan x 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3

2.(2015·福建)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cos x 的图象经如下变换得到:先将

g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), 再将所得到的图象向右平移 个
单位长度. (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π )内有两个不同的解 α ,β . ①求实数 m 的取值范围; 2m ②证明:cos(α -β )= -1. 5
2

π 2

-1-

3.(2015·湖南)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btan A,且 B 为钝角. π (1)证明:B-A= ; 2

-2-

(2)求 sin A+sin C 的取值范围.

π 1 4.如图,在△ABC 中,B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2,cos∠ADC= . 3 7 (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长.

5.已知函数 f(x)=cos x(sin x- 3cos x)(x∈R). (1)求函数 f(x)的最大值以及取最大值时 x 的取值集合;

A 3 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f( )=- ,a=3,b+c=2 3,求 2 2
△ABC 的面积.

-3-

-4-

答案精析

高考中档大题规范练 (一)三角函数与平面向量 2? ? 2 ,- ?,n=(sin x,cos x),m⊥n. 2 ? ?2

1.解 (1)因为 m=? 所以 m·n=0,即

2 2 sin x- cos x=0, 2 2

所以 sin x=cos x,所以 tan x=1. (2)因为|m|=|n|=1, π 1 所以 m·n=cos = , 3 2 即 2 2 1 sin x- cos x= , 2 2 2

? π? 1 所以 sin?x- ?= , 4? 2 ?
π π π π 因为 0<x< ,所以- <x- < , 2 4 4 4 π π 5π 所以 x- = ,即 x= . 4 6 12 2. 方法一 (1)解 将 g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) π ? π? 得到 y=2cos x 的图象,再将 y=2cos x 的图象向右平移 个单位长度后得到 y=2cos?x- ? 2? 2 ? 的图象,故 f(x)=2sin x. 从而函数 f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为 x=kπ + (2)①解 = 5? π (k∈Z). 2

f(x)+g(x)=2sin x+cos x

? 2 sin x+ 1 cos x? ? 5 ? 5 ?

= 5sin(x+φ )

?其中sin φ = 1 ,cos φ = 2 ? ? ?. 5 5? ?
依题意,sin(x+φ )=

m
5

在[0,2π )内有两个不同的解 α ,β ,当且仅当?

?m? ?<1,故 m 的取 ? 5?

值范围是(- 5, 5).
-5-

②证明 因为 α ,β 是方程 5sin(x+φ )=m 在[0,2π )内的两个不同的解, 所以 sin(α +φ )=

m

,sin(β +φ )= . 5 5

m

?π ? 当 1≤m< 5时,α +β =2? -φ ?, ?2 ?
即 α -β =π -2(β +φ ); 当- 5<m<1 时,α +β =2? 即 α -β =3π -2(β +φ ). 所以 cos(α -β )=-cos 2(β +φ ) =2sin (β +φ )-1=2?
2 2 2m ? m ?2 - 1 = -1. ? 5 ? 5?

?3π -φ ?, ? ? 2 ?

方法二 (1)同法一. (2)①同法一. ②证明 因为 α ,β 是方程 5sin(x+φ )=m 在[0,2π )内的两个不同的解, 所以 sin(α +φ )=

m

,sin(β +φ )= . 5 5

m

?π ? 当 1≤m< 5时,α +β =2? -φ ?,即 α +φ =π -(β +φ ); ?2 ?
当- 5<m<1 时,α +β =2? 即 α +φ =3π -(β +φ ); 所以 cos(α +φ )=-cos(β +φ ). 于是 cos(α -β )=cos[(α +φ )-(β +φ )] =cos(α +φ )cos(β +φ )+sin(α +φ )sin(β +φ ) =-cos (β +φ )+sin(α +φ )sin(β +φ ) =-?1-?
2

?3π -φ ?, ? ? 2 ?

? ?

2 ? m ?2? ? m ?2 2m + = -1. ?? ? ? ? 5? ? ? 5? 5

3.(1)证明 由 a=btan A 及正弦定理, 得 sin A a sin A = = , cos A b sin B

所以 sin B=cos A,又 B 为钝角,

?π ? 故 sin B=sin? +A?. ?2 ?
π π ?π ? 因此 +A∈? ,π ?,故 B= +A, 2 2 ?2 ?

-6-

π 即 B-A= . 2 (2)解 由(1)知,

C=π -(A+B)=π -?2A+ ? 2

? ?

π?

?

π = -2A>0, 2

? π? 所以 A∈?0, ?. 4? ? ?π ? 于是 sin A+sin C=sin A+sin? -2A? ?2 ?
=sin A+cos 2A=-2sin A+sin A+1 1?2 9 ? =-2?sin A- ? + . 4? 8 ? π 2 因为 0<A< ,所以 0<sin A< , 4 2 因此 1?2 9 9 2 ? <-2?sin A- ? + ≤ . 4? 8 8 2 ?
2

由此可知 sin A+sin C 的取值范围是? 4.解 (1)在△ADC 中, 1 因为 cos∠ADC= , 7 4 3 所以 sin∠ADC= . 7 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B = 4 3 1 1 3 3 3 × - × = . 7 2 7 2 14

? 2 9? , ?. ? 2 8?

(2)在△ABD 中,由正弦定理得 3 3 8× 14 AB·sin∠BAD BD= = =3. sin∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B
1 2 2 =8 +5 -2×8×5× =49. 2 所以 AC=7.

-7-

5.解 (1)f(x)=cos x(sin x- 3cos x) =sin xcos x- 3cos x = sin 2x 3cos 2x 3 - - 2 2 2
2

π 3 =sin(2x- )- . 3 2 π π 5π 当 2x- =2kπ + (k∈Z),即 x=kπ + ,k∈Z, 3 2 12 5π 即 x∈{x|x=kπ + ,k∈Z}时, 12

f(x)取最大值 1-

3 . 2

A 3 (2)由 f( )=- , 2 2
π 可得 sin(A- )=0, 3 π 因为 A 为△ABC 的内角,所以 A= , 3 则 a =b +c -2bccos A=b +c -bc, 由 a=3,b+c=2 3, 解得 bc=1, 1 3 所以 S△ABC= bcsin A= . 2 4
2 2 2 2 2

-8-


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