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江西省赣州市十二县(市)重点中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


命题学校:定南中 一、选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后
的括号内(每小题 5 分,共 50 分) 。 1. 已知集合 M ? ?1,2,3,4? , N ? ??2,2? ,下列结论成立的是( A. N ? M B. M ? N ? M C. M ? N ? N D. M ? N ? ?2? )

y?
2.函数 A.

1 log 0.5 (4 x ? 3)
B、 ?

的定义域为



) D、 ?

?3 ? ? ,1? ?4 ?

?3 ? , ?? ? ?4 ?

C、 ?1, ?? ?

?3 ? ,1? ∪ ?1, ?? ? ?4 ?


3.下列选项中,说法正确的是

A.命题“若 am2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题; (

B.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”; C.命题“ p ? q ”为真命题,则命题 p和q 均为真命题; D. 设 a, b 是向量,命题“若 a ? ?b, 则 a ? b ”的否命题是真命题. 4. 一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的 体积为 10 3 ,则 h 的值为( )

? ?

?

?

?

?

A.

3 2

B. 3

C. 3 3 5.

D. 5 3 )

执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 ( A.2 C.8 B.4 D.16

? 5 6. 已知 a∈( 2 , ? ) ,sinα= 5 ,则 tan2α= (
A. ?



3 2

B.

3 2

C. ?

4 3

D.

3 4

7. 如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60? ,点 M 在 AB 边上,且 AM ?

???? ??? ? ? 1 AB,则DM ? DB 等于 ( 3
C. ?1 D.1



A. ?

3 2

B.

3 2

8. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(其中 则只要将 f (x) 的图像( )

A ? 0, ? ?

?

) 2 )的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图像,

? A.向右平移 6 个单位长度 ? C.向左平移 6 个单位长度

? B.向右平移 12 个单位长度 ? D.向左平移 12 个单位长度
8 题图

?2 x ? y ? 6 ? 0 9 、 设 O 为 坐 标 原 点 , 第 一 象 限 内 的 点 M ( x, y ) 的 坐 标 满 足 约 束 条 件 ? , ?x ? y ? 2 ? 0

???? ???? ? ???? OM ? 的最大值为 40,则 5 ? 1 的最小值为( ON ON ? (a, b) (a ? 0, b ? 0) ,若
a b
(A)



25 6

(B)

9 4

(C)1

(D)4

10. 如图,线段 AB =8,点 C 在线段 AB 上,且 AC =2, P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x , △ CPD 的面积为 f ( x ) .则 f ( x ) 的最大值为( ) . A. 2 2 C.3 B. 2 D. 3 3
A

D
C

P

B

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置.) 11. 在平面直角坐标系 xOy 中,由直线 x ? 0, x ? 1, y ? 0 与曲线 y ? e 围成的封闭图形的面积是
x

? x2 ? 1 x ? 1 12. f ( x) ? ? ,则 f ( f (3)) ? ?2 x ?1 ? ?x

13.若双曲线

x2 y 2 右焦点分别为 F1 ,F2 , 线段 F1 F2 被抛物线 y 2 ? 2bx 的焦点分成 5: ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 a 2 b2
__.

3 两段,则此双曲线的离心率为____ 14.根据下面一组等式 S1 =1 S2 =2+3=5 S3 =4+5+6=1 5 S4 =7+8+9+1 0=34 S5 =1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=65 S6 =1 6+1 7+1 8+1 9+20+2 1=1 1 1 S7 =22+23+24+25+26+27+28=1 75 … … … … … … … … 可得 s1 ? s3 ? s5 ? ... ? s2n?1

?

三、选做题(在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共 5 分) 15.(1)(选修 4—4 坐标系与参数方程)已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的 正半轴重合,曲线 C 的参数方程为 直线与曲线 C 的位置关系为 (2)(选修 4—5 不等式选讲)不等式 | x ? 3| ? | x ? 1|? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ____________. 四、解答题: 16、 (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3sin 2x ? 2,cos x) , n ? (1,,2cos x) , f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及对称轴方程; (Ⅱ)在 V ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c 若 f ( A) ? 4 ,b=1,V ABC 的面积为 的值. 17、 (本小题满分 12 分)袋中有 8 个大小相同的小球,其中 1 个黑球,3 个白球,4 个红球. (I)若从袋中一次摸出 2 个小球,求恰为异色球的概率; (II)若从袋中一次摸出 3 个小球,且 3 个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球 的个数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? . 18 、 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 已 知 直 角 梯 形 ACDE 所 在 的 平 面 垂 直 于 平 面 ABC , ( ?BAC ? ?ACD ? 90? , ?EAC ? 60? , AB ? AC ? AE . (Ⅰ)点 P 是直线 BC 中点,证明 DP // 平面 EAB ; (Ⅱ)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 6 .则 y ? sin ? 3

u r

r

u r r

3 ,求 a 2

19、 (本小题满分 12 分)已知数列{an } 满足 a1 ? 1 , a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ?1 ( n ? 2 且 n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)令 d n ? 1 ? log a
2 2 an ?1 ? an ? 2 (a ? 0, a ? 1) ,记数列 {dn } 的前 n 项和为 Sn , 5



S2n 恒为一个与 n 无关的常数 ? ,试求常数 a 和 ? . Sn

20、 (本小题满分 13 分)已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F2 ,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,以 F1 ,F2 为焦点 的椭圆 C 过点 ?1, 2 ? . ? ?
? ? 2 ? ?

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设点 T (2,0) , 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, F2 A ? ? F2 B , ? ?? 2 1, 且 若 ? ,? 的取值范围.

???? ?

???? ?

A ? ? 求T

? ? ? ? T B

21、 (本小题满分 14 分)已知

f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 1] (t ? 0) 上的最小值; (Ⅱ)对一切 x ? (0, ??), 2 f

( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
? 1 2 ? 成立. e x ex

(Ⅲ )证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x

2013---2014 学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考 高三数学(理科)试卷答案

1 1 1 1 17、解:解: (Ⅰ)摸出的 2 个小球为异色球的种数为 C1 C7 ? C3C4 ? 19 ………2 分

从 8 个球中摸出 2 个小球的种数为 C82 ? 28 故所求概率为 P ?

………………3 分 ………………………………6 分

19 28

(Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有 1 个红球,1 个黑球,1 个白球,
1 1 1 共有 C1 C4C3 ? 12 种

………………………………7 分 ………………………………8 分
3 4

一种是有 2 个红球,1 个其它颜色球, 共有 C4 C4 ? 24 种,
2 1

一种是所摸得的 3 小球均为红球,共有 C ? 4 种不同摸法, 故符合条件的不同摸法共有 40 种. ………………………………10 分

由题意知,随机变量 ? 的取值为 1 , 2 , 3 .其分布列为:

?

1

2

3

P

3 10

3 5

1 10

E? ? 1?

3 3 1 9 ? 2 ? ? 3? ? 10 5 10 5

……………………12 分

18、 (Ⅰ)证明: 取 AB 的中点 F 连结 DP、PF、EF ,则

1 AC , 取 AC 的中点 M ,连结 EM 、EC , 2 ∵ AE ? AC 且 ?EAC ? 60? ,∴△ EAC 是正三角形,∴ EM ? AC . 1 ∴四边形 EMCD 为矩形,∴ ED ? MC ? AC .………………4 分 2 又∵ ED // AC , ∴ ED // FP 且 ED ? FP ,四边形 EFPD 是平行四边形. ∴ DP // EF ,而 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB ,∴ DP // 平面 EAB .……6 分 (Ⅱ) (法 1)过 B 作 AC 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 DG ,∵ ED // AC ,∴ ED // l , l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱.……8 分 E D ∵平面 EAC ? 平面 ABC , DC ? AC ,∴ DC ? 平面 ABC ,

FP // AC , FP ?

又∵ l ? 平面 ABC ,? DC ? l , ∴ l ? 平面 DGC ,∴ l ? DG , ∴ ?DGC 是所求二面角的平面角.………………10 分 设 AB ? AC ? AE ? 2a ,则 CD ? ∴ GD ? GC ? CD ? 7a ,
2 2

3a , GC ? 2a ,
F

M
A
P

C

B

G

GC 2 7 ∴ cos? ? cos?DGC ? . ………12 分 ? GD 7 (法 2)∵ ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC ,
∴以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则 z 轴在平面

EACD 内 (如图) 设 AB ? AC ? AE ? 2a , . 由已知, B(2a , 0 , 0) , (0 , a , 3a) ,D(0 , 2a , 3a) . 得 E
∴ EB ? (2a , ? a , ? 3a) , ED ? (0 , a , 0) ,…………………8 分
z
E D

M A F P

C

y

x

B

设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x , y , z) , 则 n ? EB 且 n ? ED ,

?

?

??? ?

?

??? ?

? ??? ? ?n ? EB ? 0 , ?2ax ? ay ? 3az ? 0 , ? ∴ ? ? ??? ∴? ? ?n ? ED ? 0 . ?ay ? 0 . ?
解之得 ?

? ?x ?

3 z, 2 ?y ? 0 . ?

取 z ? 2 ,得平面 EBD 的一个法向量为 n ? ( 3 , 0 , 2) . 又∵平面 ABC 的一个法向量为 n? ? (0 , 0 ,1) . ……10 分

?

………10 分

??

? ?? cos ? ? cos ? n , n? ? ?
19、 (本小题满分 12 分)

3 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ?1 ( 3) ? 0 ? 2 ? 0 ? 0 ? 1
2 2 2 2 2 2

?

2 7 .………12 分 7

解: (Ⅰ) 由题 a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ?1 ……①

? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?1 ……②
由① ? ②得: an?1 ? 2an ? 0 ,即

an?1 ? 2(n ? 2) …………………………………………3 分 an
a2 ?2 a1

当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ?1 ,? a1 ? 1 ,? a2 ? 2 ,

所以,数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列 故 an ? 2n?1 ( n ? N )………………………………………………………………………6 分
*

(Ⅱ)? an ? 2n?1 ,? d n ? 1 ? log a

2 2 an ?1 ? an ? 2 ? 1 ? 2n log a 2 5

? dn?1 ? dn ? 2loga 2 , ?{dn } 是以 d1 ? 1 ? 2loga 2 为首项,以 2loga 2 为公差的等差数列,…………………8 分
2n(2n ? 1) ? (2log a 2) S2 n 2n(1 ? 2log a 2) ? 2 ? (4n ? 2) log a 2 2 ? ? ? ?? n(n ? 1) 1 ? (n ? 1) log a 2 Sn n(1 ? 2log a 2) ? ? (2log a 2) 2

? (? ? 4)n loga 2 ? (? ? 2)(1 ? loga 2) ? 0 ……………………………………………10 分
?

? (? ? 4) log a 2 ? 0 S2n 恒为一个与 n 无关的常数 ? ,? ? Sn ?(? ? 2)(1 ? log a 2) ? 0
1 2
………………………………………………………………12 分

解之得: ? ? 4 , a ?

20、解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

1 1 则 2 ? 2 ?1 a b2 a 2 ? b2 ? 1

③ ④

将④代入③,解得 b2 ? 1 或 b 2 ? ? 所以 a 2 ? b2 ? 1 ? 2 故椭圆 C 的标准方程为

1 (舍去) 2
……………………4 分

x2 ? y2 ? 1 2

(Ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

x2 ? y 2 ? 1中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ?1 ? 0 .…………………6 分 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 2k 可得: y1 ? y2 ? ? 2 ⑤ k ?2 1 y1 y2 ? ? 2 ⑥ …………………7 分 k ?2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
将直线 l 的方程代入 将⑤式平方除以⑥式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
1 4k 2 5 1 1 1 ?0 由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? 2 k ?2 2 2 所以 0 ? k ? ……………………………………………………………10 分 7
因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,

???

???

??? ???

4(k 2 ? 1) 2k 又 y1 ? y2 ? ? 2 ,所以 x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? 2 , k ?2 k ?2 ??? ??? 2 16(k 2 ? 1)2 4k 2 2 2 故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? ? 2 (k 2 ? 2)2 (k ? 2)2 16(k 2 ? 2)2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 , ? ? 16 ? 2 ? 2 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2)2 1 2 7 1 1 7 1 2 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , 令t ? 2 ,所以 0 ? k ? 所以 k ?2 7 16 k ? 2 2 16 2 ??? ??? 2 7 2 17 2 所以 | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ? . 4 2 7 1 169 ]. 而 t ? [ , ] ,所以 f (t ) ? [4, 16 2 32

所以 | TA ? TB |? [2, 方法二:

??? ???

13 2 ]. 8

………………………………………………13 分

1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1, 又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

2 2 ) , B(1,? ), 2 2
…………6 分

???

???

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,
4k 2 2k 2 ? 2 可得: x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 2k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 1 ? 2k 2 ? k2 y1 ? y2 ? k 2 ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ? 1 ? 2k 2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
将⑤式平方除以⑥式得: ……………………7 分 ⑤ ⑥

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ?4 7 ? 0 ,解得 k 2 ? 故? ? ………………………………………10 分 2 2 1 ? 2k 2 ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) , ??? ??? 所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,
由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ?

1

又 x1 ? x2 ? 4 ?
2

? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2
2 2

故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?

16(1 ? k 2 )2 4k 2 ? (1 ? 2k 2 )2 (1 ? 2k 2 )2

4(1 ? 2k 2 )2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 …………………11 分 ? 4? ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 )2 1 7 1 1 ? 1? 2 ? ,即 t ? ? 0, ? , 令t ? ,因为 k ? 所以 0 ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 8 ? 8? ??? ??? 2 5 2 17 ? 169 ? 2 所以 TA ? TB ? 2t ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) ? ? 4, ?. 2 2 ? 32 ? ? ?
所以 TA ? TB ? ? 2,

? 13 2 ? ? ? 8 ? ?

……………………12 分

综上所述: | TA ? TB |? [2,

??? ???

13 2 ]. 8

……………………13 分

21、 【解析】 ) f ?( x) ? ln x ? 1 . (Ⅰ 当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x ) 单调递增 ……2 分

1 e

1 e

1 1 1 1 ? t ? 1 ,即 0 ? t ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ;………………4 分 e e e e 1 1 ② ? t ? t ? 1 ,即 t ? 时, f ( x ) 在 [t , t ? 1] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t . e e
① 0?t ?

所以 f ( x ) min

1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e . ? . ?? ?t ln t , t ? 1 ? e ?

……………………………………6 分

3 , x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x ) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h?( x) ? ,………………8 分 x x2
(Ⅱ 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ? ) ① x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减,② x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增, 所以 h( x)min ? h(1) ? 4 ,对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 所以 a ? h( x)min ? 4 . (Ⅲ )问题等价于证明 x ln x ? ………………10 分

x 2 ? ( x ? (0, ??)) , ex e 1 1 ,当且仅当 x ? 时取到.…12 分 e e

由(Ⅰ )可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? 设 m( x ) ?

x 2 1? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m?( x) ? x ,易知 x e e e 1 m( x ) max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立. ………………14 分 e ex


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