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2012年华侨港澳台联考数学真题试

2012 年中华人民共和国普通高等学校联合招收 华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试 数 学 满分 150 分,考试用时 120 分钟 考生注意:这份试卷共三个大题,所有考生做第一、二题,在第三(21、22、23)题中任选 两题;报考理工农医类的考生做第三(24、25)题,报考文史类的考生做第三(26、27)题。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把所选出的字母填在题后的括号内。 1、设集合 M 含有 10 个元素,那么 M 的真子集中,至少含有 8 个元素的共有 A 56 个 B 55 个 x ( ) C 46 个 D 45 个 ( ) 2、函数 f ? x ? ? 2 ? In ? 2x ? 1? 在 x ? 0 处的导数 f ' ? 0? ? A 2 ? ln 2 B 1 ? ln 2 0 C 2 D 3 ( D 2 ( ) ) 3、已知直线 ax ? 2 y ? 4 的倾斜角为 135 ,则 a ? A ?2 4、 lim n ?? B ?1 C 1 ? k ? k ? 2? k ?1 n 1 A 0 B 1 2 9 C 3 4 9 D 1 5、设 a1 、a2 、? ? ?、a9 成等差数列,若 A ? ak ? 0 ,? a2k ? 15 ,且 a1 ? a2 ,则 a9 ? ( k ?1 k ?1 ) 2 B 3 2 2 3 C 1 D 3 4 ( D ) 6、设复数 z 满足 1 ? 2 z ? 4 z ? 8z ? 0 ,则 z ? A 2 B 1 C 1 2 4 9 1 4 ( ) 7、9 个人站成一排,从中任选 3 人,则这 3 人中任意 2 人都不相邻的概率为 A 7 12 B 5 12 C D 5 9 ( ) 8、离心率为 2 的双曲线的焦点到渐近线的距离等于 3,则该双曲线的焦距为 D 2012 年数学试题第 1 页 (共 4 页) A 3 B 2 3 C 6 D 4 3 9、设椭圆 则 x0 ? A 2 x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点为 F1 、 F2 ,点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆上,且 PF1 ? 2 PF2 , 18 9 ( B 3 C 2 3 0 ) D 3 2 10 、在正三棱锥 P ? ABC 中,若侧棱与底面成 30 角,则侧面与底面所成的二面角 ? ? ( A ) arctan 3 2 B arctan 2 3 3 C arcsin 3 2 D arcsin 1 2 ) 11、 设? ? 0 , 函数 f ? x ? ? sin ? x cos ? x 在区间 ? ? D A ? ? ?? 单调递增, 则 ? 的最大值为 ( , ? 6 3? ? 3 2 B 2 5 4 2 2 C 4 3 4 4 4 D 3 4 ( )C 12、设 a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c ? A 3 4 B 2 3 C 1 2 D 1 3 二、填空题 :本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。 13、某企业从甲乙丙三地招聘一批员工,其中 39 人招自甲地,91 人招自乙地,余者招自丙 地。为了解他们对企业发展的意见和建议,采用分层抽样的方法,从这批员工中抽取 56 人 进行调研, 如果被抽取的这些人中来自丙地共有 16 人, 那么, 从这批新招的员工共有 48 14、直线 x ? 2 y ? 1 关于点 M ?1, 2? 对称的直线的方程为 15、若正四棱柱的对角线长为 3,则其侧面积的最大值是 16、在空间直角坐标系中,经过 P ?1,1,1? 和 Q ? ?1,0,2? 且与直线 ? 面方程为 17、用 x ? x 除多项式 x ? 3x ? 4 x ? 3 得到的余式为 2 5 3 人 x ? 2y ? 9 ? 0 ?3x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的平 ? y ? 3z ? 5 ? 0 2012 年数学试题第 2 页 (共 4 页) 18、设圆锥轴截面的顶角为 ? , cos ? ? ? 三、解答题 19、 (本题满分 15 分) 7 ,则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角 ? ? 25 在 ?ABC 中, 设内角 A 、B 、C 所对边长分别为 a 、b 、c 。 已知 ? tan A ? 1?? tan B ? 1? ? 2 , cos 2B ? sin 2 C ? 1 ? sin 2 A , a ? 2 。求角 C ,边长 b 和 ?ABC 的面积。 20、 (本题满分 15 分) 设等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? a ? 0 ,公比 q ? 1 。数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3n 2 (1)求 ?an ? 和 ?bn ? 的通项; (2)是否存在正数 p 和 r 使 bn ? log p an ? r 对任意正整 数 n 都成立?若存在,求 p 和 r ;若不存在,说明理由。 2012 年数学试题第 3 页 (共 4 页) 21、 (本题满分 15 分) 2 已知直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A 、 B 两点,且与圆 ? x ? 1? ? y ? 1 相切。 2 (1)求直线 l 在 x 轴上截距 c 的取值范围; (2) 设 F 是抛物线的焦点,FA?FB ? 0 , 求直线 l 的方程。 ??? ? ??? ? 22、 (本题满分 15 分) 设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? a ? 0? 是增函数, g ? x ? ? f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ,且对任 3 2 意 x0 ? ?

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