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高中数学 第四章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式


第2讲

同角三角函数的基本关系与诱导公式

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) ? 11 ? 1.计算 cos?- 3 π?=________. ? ? π? π 1 ? 11 ? ? 解析 cos?- 3 π?=cos?-4π+3?=cos3=2. ? ? ? ? 1 答案 2 3 2.(2012· 南京模拟)已知 cos(π+x)=5,x∈(π,2π),则 tan x=________. 3π? 3 3 ? 解析 由 cos(π+x)=-cos x=5,得 cos x=-5<0,所以 x∈?π, 2 ?.此时 sin ? ? 4 4 x=-5,故 tan x=3. 4 答案 3 3.设 tan(5π+α)=m,则 解析 ∵ = = = sin?α-3π?+cos?π-α? 的值为________. sin?-α?-cos?π+α?

sin?α-3π?+cos?π-α? sin?-α?-cos?π+α?

sin?-4π+π+α?-cos α -sin α+cos α sin?π+α?-cos α -sin α-cos α = -sin α+cos α -sin α+cos α sin α+cos α tan α+1 = ,又 tan(5π+α)=m, sin α-cos α tan α-1

∴tan(π+α)=m,tan α=m, m+1 ∴原式= . m-1

答案

m+1 m-1

2π? ?π ? 2 ? 4.(2013· 苏州模拟)已知 cos?6-α?=3,则 sin?α- 3 ?=________. ? ? ? ? 2π? ? π ?π ?? ? 解析 sin?α- 3 ?=sin?-2-?6-α?? ? ?? ? ? ? 2 ?π ?π ?? ?π ? =-sin?2+?6-α??=-cos?6-α?=-3. ? ?? ? ? ? 2 答案 -3 3π? 8 ? 5.(2012· 镇江月考)已知 cos(π-α)=17,α∈?π, 2 ?,则 tan α=________. ? ? 3π? 8 8 ? 解析 cos(π-α)=-cos α=17,即 cos α=-17.又 α∈?π, 2 ?,∴sin α<0. ? ? 15 sin α 15 所以 sin α=- 1-cos2α=-17.故 tan α=cos α= 8 . 答案 15 8

1 π π 6.(2012· 揭阳模拟)已知 sin αcos α=8,且4<α<2,则 cos α-sin α 的值是 ________. 3 解析 1-2sin αcos α=(sin α-cos α)2=4, π π 3 又∵4<α<2,sin α>cos α.∴cos α-sin α=- 2 . 3 答案 - 2 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) cos?π+θ? 1 7.已知 sin(3π+θ)= ,求 + 3 cos θ[cos?π-θ?-1] 的值. ? 3π? ?3π ? sin?θ- 2 ?cos?θ-π?-sin? 2 +θ? ? ? ? ? 1 1 解 因为 sin(3π+θ)=-sin θ=3,所以 sin θ=-3. 所以原式 cos?θ-2π?

-cos θ = + cos θ?-cos θ-1?

cos?2π-θ? ?3π ? -sin? 2 -θ?cos?π-θ?+cos θ ? ?



1 cos θ 1 1 2 2 2 + = + = 2 = 2 2 = 1+cos θ -cos θ+cos θ 1+cos θ 1-cos θ 1-cos θ sin θ ? 1?2 ?-3? ? ?

=18. π 5 8 . (2012· 州 模 拟 ) 已 知 0 < α < 2 , 若 cos α - sin α = - 5 , 试 求 苏 2sin αcos α-cos α+1 的值. 1-tan α 5 1 解 因为 cos α-sin α=- 5 ,所以 1-2sin α· α=5. cos 4 所以 2sin α· α=5, cos 4 9 所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+5=5. π 3 因为 0<α<2,所以 sin α+cos α=5 5. 5 3 5 2 5 由 cos α-sin α=- 5 ,sin α+cos α= 5 得 sin α= 5 , 5 cos α= 5 ,∴tan α=2, 2 5 5 5 2· 5 ·5 - 5 +1 2sin αcos α-cos α+1 5 9 ∴ = = 5 -5. 1-tan α 1-2 分层训练 B 级 创新能力提升

π? ? ?π ? 1.若 x∈?0,2?,则 2tan x+tan?2-x?的最小值为________. ? ? ? ? π? ? 解析 因为 x∈?0,2?,所以 tan x>0. ? ? 1 ?π ? ?π ? 所以 2tan x+tan?2-x?=2tan x+tan x≥2 2,所以 2tan x+tan?2-x?的最小值 ? ? ? ? 为 2 2. 答案 2 2 1 2.已知 sin x+sin y=3,则 sin y-cos2x 的最大值为________.

1 1 解析 因为 sin x+sin y=3,所以 sin y=3-sin x. 1 2 又-1≤sin y≤1,所以-1≤3-sin x≤1,得-3≤sin x≤1.因此,sin y-cos2x 1 =3-sin x-(1-sin2x) 2 =-3-sin x+sin2x 1? 11? 2 ? ? ? =?sin x-2?2-12?-3≤sin x≤1?, ? ? ? 2 4 所以当 sin x=-3时,sin y-cos2x 取最大值9. 4 答案 9 π? π ? 3. (2012· 扬州调研)已知 2tan α· α=3, 2<α<0, cos?α-6?的值是________. sin - 则 ? ? 2sin2α 1 解析 依题意得 cos α =3,即 2cos2α+3cos α-2=0,解得 cos α=2或 cos α π? π π ? ? π π? =-2(舍去).又-2<α<0,因此 α=-3,故 cos?α-6?=cos?-3-6?=cos ? ? ? ? π 2=0. 答案 0 π ?5π ? 1 ?π ? 4.(2012· 盐城模拟)已知 cos ?12+α? = 3 ,且-π<α<- 2 ,则 cos ?12-α? = ? ? ? ? ________. π 7 ?π ?5π ?? ?π ? ?5π ? 解析 cos?12-α?=cos?2-?12+α??=sin?12+α?.又-π<α<-2,所以-12π ? ?? ? ? ? ? ? 5π π <12+α<-12. 2 2 2 2 ?5 ? ?π ? 所以 sin?12π+α?=- 3 ,所以 cos?12-α?=- 3 . ? ? ? ? 2 2 答案 - 3 ?π ? 5.已知函数 f(x)=cos?2-x?+cos x. ? ? (1)若 x∈[0,π],求 f(x)的值域;

π? 1 ? (2)若 x∈?0,6?,且 sin 2x=3,求 f(x)的值. ? ? π ?π 5π? ? π? 解 (1)f(x)=sin x+cos x= 2sin?x+4?.因为 x∈[0,π],所以 x+4∈?4, 4 ?, ? ? ? ? 2 ? π? 所以- 2 ≤sin?x+4?≤1,所以 f(x)的值域为[-1, 2]. ? ? 4 (2)因为[f(x)]2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=1+sin 2x=3,且 f(x)>0,所 2 3 以 f(x)= 3 . π 1 6.已知-2<x<0,且 sin x+cos x=5. (1)求 sin x-cos x 的值; (2)求 1 的值. cos x-sin2x
2

解 (1)法一

联立方程,得 ① ② 1 由①得 sin x=5

1 ? ?sin x+cos x= , 5 ? ?sin2 x+cos2 x=1, ? -cos x,将其代入②,整理得 25cos2x-5cos x-12=0.

?sin x=-3, ? 5 π 因为-2<x<0,所以? 4 ?cos x=5, ?
7 所以 sin x-cos x=-5. 1 ?1? 法二 由 sin x+cos x= ,得(sin x+cos x)2=?5?2, 5 ? ? 1 24 即 1+2sin xcos x=25,所以 2sin xcos x=-25. 因为(sin x-cos x)2=sin2x-2sin xcos x+cos2x 24 49 =1-2sin xcos x=1+25=25① π 且-2<x<0,所以 sin x<0,cos x>0,

所以 sin x-cos x<0.② 7 由①②可知,sin x-cos x=-5. (2)由已知条件及(1)可知

?sin x+cos x=1, ? 5 ? 7 ?sin x-cos x=-5, ?
3 所以 tan x=-4.

?sin x=-3, ? 5 解得? 4 ?cos x=5. ?

sin2x+cos2x tan2x+1 1 所以 2 = 2 = cos x-sin2x cos x-sin2x 1-tan2x ? 3?2 ?-4? +1 ? ? 25 = =7. ? 3? 1-?-4?2 ? ? 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资 源见《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.


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