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吉林省实验中学2015届高三数学上学期第二次模拟考试试题 文


数学(文)试题

2. i 为虚数单位,复数

i 在复平面内对应的点到原点的距离为( i ?1
C. 1 D. 2



A.

1 2

B.

2 2

3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 3 3 B.



3

C. 6 3

D.

3 3

?x ? y ? 3 ? 4.若实数 x , y 满足线性约束条件 ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( x ? y ? 2x ? ?2



A. 0

B. 4

C.

5

D. 7 )
2

5.下列函数是偶函数,且在 ? 0,1? 上单调递增的是( A. y ? cos( x ?

?
2

)

B. y ? 2 cos 2 x ? 1
2

C. y ? ? x

D. y ?| sin(? ? x) | )

6.在正项等比数列 ?an ? 中, lg a3 ? lg a 6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的值是 ( A. 10 B. 1000 C. 100 D. 10000

7.已知向量 e1 , e2 是两个不共线的向量,若 a ? 2e1 ? e2 与 b ? e1 ? ? e2 ?共线,则 ? =( B. ?2 C. ?

?? ?? ?

?

?? ?? ?

?

??

?? ?

)A.2

1 2

D.

1 2
?

8.在 ?ABC 中,点 D 是 BC 中点,若 ?A ? 60 , AB ? AC ? A.

??? ? ????

???? 1 ,则 | AD | 的最小值是( ) 2

3 2

B.

2 2

C.

3 4

D.

3 2

-1-

9.已知函数 f ( x) 的导函数图象如右图所示,若 ?ABC 为锐角三角形,则一定成立的是( A. f (cos A) ? f (cos B ) C. f (sin A) ? f (sin B ) B. f (sin A) ? f (cos B ) D. f (sin A) ? f (cos B )



y

O

1

?

x
1 1 1 ? ?? ? a1 a2 a2014

10.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 且对于任意的 n ? N * 都有 an ?1 ? an ? a1 ? n ,则 等于( A. ) B.

4026 2015

4028 2015

C.

2013 2014

D.

2014 2015

1 2 11.已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ,则满足 f ? ? f ? a ?? ? ? 2 的实数 a 的 个数有( ) A.7 B.8 C.6 D.5

1 1 ? 1 ? x ? , x ? [0, ], ? ? ? 3 6 2 12.已知函数 f ( x) ? ? 3 函数 g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2(a ? 0) , 6 ? 2 x , x ? ( 1 ,1]. ? 2 ? x ?1
若存在 x1 , x2 ? [0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是( A. ? , ? 2 3 )

?1 4? ? ?

B. (0, ]

1 2

C. ? , ? 3 3

?2 4? ? ?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13.已知 m ? R ,向量 a ? (m, 1) , b ? (2, ? 6) ,且 a ? b ,则 | a ? b | =

?

?

?

?

? ?

___

14.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位,可得到函数 y ? sin(2 x ? 象,则 ? 的最小值为 15.若函数 f ( x)( x ? R ) 是周期为 4 的奇函数,且在 [0, 2] 上的解析式为

?
4

) ?的图

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 29 41 f ?x ? ? ? ,则 f ( ) ? f ( ) ? _______ 4 6 ?sin ?x, 1 ? x ? 2
16.给出下列四个命题:

-2-

①若 x ? 0 ,且 x ? 1 则 lg x ?

1 ? 2; lg x
2 2

②设 x, y ? R ,命题“若 xy ? 0, 则x ? y ? 0 ”的否命题是真命题; ③函数 y ? cos(2 x ?

5 π ) 的一条对称轴是直线 x ? ? ; 3 12

④ 若 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x) 是 奇 函 数 , 则 对 定 义 域 内 的 任 意 x 必 有

f (2 x ? 1) ? f (?2 x ? 1) ? 0 .
其中,所有正确命题的序号是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, a2 ? a7 ? ?23 , a3 ? a8 ? ?29 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {an ? bn } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 S n .

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(

x ? x ? ? ) cos( ? ) ? sin( x ? ? ) . 2 4 2 4

(1)求 f ( x) 的最小正周期及单调增区间; (2)若将 f ( x) 的图象向右平移 π ]上的最大值和最小值. π 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间[0, 6

19.(本小题满分 12 分)

-3-

正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,AD ? CD, AB // CD ,AB ? AD ? 点 M 是 EC 中点。 (1)求证:BM//平面 ADEF; (2)求三棱锥 M ? BDE 的体积.

1 CD ? 2 , 2

20.(本小题满分 12 分)

?ABC 的 内 角

A , B , C

所 对 的 边 分 别 a, b, c

, 已 知 向 量

m= (cos A, 3 sin A) ,n= (2 cos A, ?2 cos A) , m ? n= ?1 . (1)若 a ? 2 3, c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)求

b ? 2c a cos( ? C ) 3

?

的值.

21.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) = x ln x ? ax , g ( x) ? ? x ? 2 ,
2

-4-

(1)对一切 x∈(0, +∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)证明:对一切 x∈(0, +∞),都有 ln x ? 1 ?

1 2 ? 成立。 e x ex

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲

切线 AB 与圆切于点 B ,圆内有一点 C 满足 AB ? AC , ?CAB 的 平分线 AE 交圆于 D , E ,延长 EC 交圆于 F ,延长 DC 交圆于 G ,连接 FG . (1)证明: AC // FG ; (2)求证: EC ? EG .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标 为(1,-5) ,点 M 的极坐标为(4,

π π ) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为 , 2 3

圆 C 以 M 为圆心,4 为半径. (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 与圆 C 的位置关系.

-5-

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | . (1)求函数 f ( x) 的值域 (2)求不等式:

f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 的解集.

-6-

所以 f(x)的最小正周期为 2π ; 由?

?
2

? 2 k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2 k? 得 ?

5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k? 6 6

所以增区间为 [?

5? ? ? 2k? , ? 2k? ]k ? Z 6 6

π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6

? π? ? π? π ∴g(x)=f?x- ?=2sin[?x- ?+ ] 6? 6? 3 ? ? ? π? =2sin?x+ ? 6? ?
π ?π 7π ? ∵x∈[0,π ],∴x+ ∈? , ? 6 ? 6 ?6 π π π ? π? ∴当 x+ = ,即 x= 时,sin?x+ ?=1,g(x)取得最大值 2. 6? 6 2 3 ?
-7-

π 7π 1 ? π? 当 x+ = ,即 x=π 时,sin?x+ ?= ? ,g(x)取得最小值 ? 1 6? 6 6 2 ? 19.(本小题满分 12 分) 解: (1)

(2)因 M 为 EC 的中点,所以 S ?DEM ?

1 S?CDE ? 2 , 2

因为 AD ? CD, AD ? DE ,且 DE 与 CD 相交于 D 所以 AD ? 平面CDE 因为 AB / / CD ,所以 AB//平面 CDE , B 到面 DEM 的距离,即为 AD ? 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? AD ? 3 3

-8-

在 (0, 上 F ? ( x) ? 0 1) 上 F ? ( x) ? 0 ,在 (1 , ? ?) 上 因此, F ( x) 在 x ? 1 处取极小值,也是最小值,即 Fmin ( x) ? F (1) ? 3 , 所以 a ? 3 . (2)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ? 等价于证明: x ln x ? x ?

1 2 ? 成立 e x ex

x 2 ? ( x ? (0,??)) , ex e
-9-

由(1)知 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x , f ?( x) ? ln x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 , e 当 x ? (0,

1

1 1 ) 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数; x ? ( 2 , ??) 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数, 2 e e

f ( x) 在 x ?

1 1 处取得极小值,也是最小值. f min ( x) ? ? 2 . 2 e e

设 G ( x) ?

x 2 1? x ? ( x ? (0,??)) ,则 G? ( x) ? x ,易知 x e e e

1 Gmax ( x) ? G (1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e
但? 22.

1 2 1 1 ?? , 从而可知对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ? x ? 成立. 2 e e e ex

- 10 -

- 11 -

- 12 -


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