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第1部分 专题三 第一讲 预测演练提能

一、选择题 1.一个由实数组成的等比数列,它的前 6 项和是前 3 项和的 9 倍,则此数列的公比为 ( A.2 C. 1 2 B. 3 D. 1 3 S6 -S3 =8, S3 )

解析:选 A 设等比数列的公比为 q,依题意有 S6 =9S3 ,∴S6 -S3 =8S3 ,∴ 即 q =8,得 q=2.
3

2.(2013· 南昌模拟)若 Sn 为等差数列{an }的前 n 项和,S9 =-36,S13 =-104,则 a5 与 a7 的等比中项为( A.4 2 C.4 解析:选 B 依题意得 S9 = ) B. ± 4 2 D. ± 4 9?a1 +a9 ? 13?a1 +a13? =9a5 =-36,a5 =-4; S13 = =13a7 =- 2 2

104,a7 =-8,a5 a7 =32. 因此 a5 与 a7 的等比中项是± 32=± 4 2. 3.已知等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,满足 a2 013 =S2 013 =2 013,则 a1 =( A.-2 014 C.-2 012 B.-2 013 D.-2 011 )

a2 013 -a1 007 解析: 选 D S2 013 =2 013a1 007 =2 013, 所以 a1 007 =1, 则 d= =2, a1 =a2 013 1 006 -2 012d=-2 011. 4. (2013· 杭州模拟)设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn , 若-am <a1 <-am +1(m∈N* , 且 m≥2), 则必定有( ) B. Sm <0,且 Sm +1 >0 D. Sm <0,且 Sm +1 <0 m?a1 +am ? >0 , Sm + 1 = 2

A.Sm >0,且 Sm +1 <0 C.Sm >0,且 Sm +1 >0 解析: 选 A ?m+1??a1 +am+ 1? <0. 2

据已知可 得 a1 + am >0 , a1 + am + 1 <0 ,故 Sm =

a 5.已知数列{an }满足 a1 =5,an an +1 =2n ,则 7 =( a3 A.2 C.5 B. 4 5 D. 2

)

1

解析:选 B 依题意得

an + 1 an +2 2n + 1 an + 2 = n =2,即 =2,数列 a1 ,a3 ,a5 ,a7 ,…,是一 an an +1 2 an

a 个以 5 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 7 =4. a3 6.在等比数列{an }中,对于?n∈N* 都有 an +1 · a2 n =3n ,则 a1· a2 · …· a6 =( 3 A.± ( 3)11 C.± 3
5

)

3 B. ( 3)13 D. 3
6

解析:选 D 由等比数列的性质可知,a1 · a2· a3· a4 · a5 · a6 =(a2· a6 )· a4· (a1· a5)· a3 =(a3 )3 (a4)3 = (a3 · a4) ,令 n=2,得 a3· a4 =3 ,因此 a1· a2· a3· a4 · a5 · a6 =3 . 7.已知等比数列{an }的首项为 1,项数是偶数,所有的奇数项之和为 85,所有的偶数 项之和为 170,则这个等比数列的项数为( A.4 C.8 ) B. 6 D. 10
3 2 6

解析:选 C 由题意得 a1 +a3 +…+an - 1 =85,a2 +a4 +…+an =170,所以数列{an }的 a1 ?1-qn ? 1-2n 公比 q=2. 由数列{an }的前 n 项和 Sn = ,得 85+170= ,解得 n=8. 1-q 1-2 8.(2013· 西宁模拟)已知数列{an }满足 an +1 =an -an -1 (n≥2),a1 =1,a2 =3,记 Sn =a1 +a2 +…+an ,则下列结论正确的是( A.S102 =0 C.S102 =3 ) B. S102 =1 D. S102 =4

解析:选 A 依题意得 an + 2 =an+ 1 -an =-an- 1 ,即 an +3 =-an ,an+ 6 =-an +3 =an ,数 列{an }的项是以 6 为周期重复性地出现, 且 a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 =(a1 +a4 )+(a2 +a5 )+(a3 +a6 )=0. 注意到 102=6×17. 因此 S102 =17×0=0. 9.在数列{an }中,a1 =1,a2 =2,若 an +2 =2an +1 -an +2,则 an 等于( 1 2 6 A. n3 - n+ 5 5 5 C.n2 -2n+2 B. n3 -5n2 +9n-4 D. 2n2 -5n+4 )

解析:选 C 依题意得(an + 2 -an +1 )-(an +1 -an )=2,因此数列{an+ 1 -an }是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列,an +1 -an =1+2(n-1)=2n-1. 当 n≥2 时,an =a1 +(a2 -a1)+(a3 -a2 ) ?n-1??1+2n-3? 2 2 +…+(an -an- 1 )=1+1+3+…+(2n-3)=1+ =(n-1) +1=n -2n+2, 2 又 a1 =1=1 -2×1+2,因此 an =n -2n+2. 10.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)设△A nB n Cn 的三边长分别为 an ,bn ,cn ,△A n B n Cn 的面积为 cn +an bn +an Sn ,n=1,2,3,…. 若 b1 >c1 ,b1 +c1 =2a1 ,an +1 =an ,bn +1 = ,cn +1 = ,则( 2 2 A.{Sn }为递减数列
2
2 2

)

B.{Sn }为递增数列 C.{S2 n -1 }为递增数列,{S2n }为递减数列 D.{S2 n -1 }为递减数列,{S2 n }为递增数列 解析:选 B 已知 b1 >c1 ,b1 +c1 =2a1 ,a2 =a1 ,故 b2 = c1 +a1 3 b1 +a1 1 = c1 + b1 <b1 ,c2 = 2 4 4 2

b1 +c1 c1 -b1 3 1 = b1 + c1 >c1 , b2 + c2 = a1 + = 2a1 , b2 - c2 = <0 , 即 b2 <c2 , b2 c2 = 4 4 2 2

?3c1 +1b1 ?· ?3b1 +1c1 ? = 3 (b1 + c1)2 +1 b1 c1 >b1 c1. 又 a3 = a2 = a1 ,所以 b3 =c2 +a2 = 3 c2 +1 ?4 ? ?4 4 4 ? 16 4 2 4 4
b2 <b2 ,c3 = b2 +a2 3 c2 +a2 b2 +a2 1 3 1 = b2 + c2 >c2 ,b3 +c3 = + =2a2 =2a1 ,b3 - c3 = c2 + b2 - 2 4 4 2 2 4 4

?3b2 +1c2 ?=c2 -b2 >0,即 b3 >c3 ,b3 c3 =?3c2 +1b2? ?3b2 +1c2? = 3 (b2 +c2 )2 +1b2 c2 >b2 c2 >b1 c1 . ?4 ?4 4 ? 2 4 ? ?4 4 ? 16 4
又△A n Bn Cn 的面积为 Sn = p?p-an ??p-bn ??p-cn?= 1 p?p-an ?[p2 -?bn +cn?p+bn cn],其中 p= (an +bn +cn ),p(p-an )和 p2 -(bn +cn )p 都为 2 定值,bn cn 逐渐递增,所以数列{Sn }为递增数列. 二、填空题 11.(2013· 辽宁高考)已知等比数列{an }是递增数列,Sn 是{an }的前 n 项和.若 a1 ,a3 是 方程 x2 -5x+4=0 的两个根,则 S6 =________. 解析:由题意得,a1 +a3 =5,a1 a3 =4,由数列是递增数列,得 a1 =1,a3 =4,所以 q =2,代入等比数列的求和公式得 S6 =63. 答案:63 12.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 =0,S15 =25,则 nSn 的最小值为________.

?S 解析:由已知 ? ?S

10 =10a1 +

10×9 d=0, 2 15×14 d=25, 2

15 =15a1 +

2 解得 a1 =-3 ,d= ,那么 nSn =n2 a1 + 3

3 2 n2 ?n-1? n3 10n2 x 10x 20 d= - . 由于函数 f (x)= - 在 x= 处取得极小值,因而检验 n=6 时,6S6 2 3 3 3 3 3

=-48,而 n=7 时,7S7 =-49. 故 nSn 最小值为-49. 答案:-49 13.(2013· 深圳模拟)已知公比为 2 的等比数列{an }中,a2 +a5 +a8 +a11 +a14 +a17 +a20 =13,则该数列前 21 项的和 S21 =______. 解析:设等比数列的首项为 a1 ,公比 q=2,前 n 项和为 Sn. 由题知 a2,a5 ,a8 ,a11 ,a14 ,
3

a17 ,a20 仍为等比数列,其首项为 a2 ,公比为 q3 ,故其前 7 项的和为 T7 = a1 q?1-q21? a1 ?1-q21? q 2 91 · 2= 2 =S21·=13,解得 S21 = . ?1-q??1+q+q ? 1-q 1+q+q 7 2 91 答案: 2

a2 [1-?q3?7 ] = 3 1-q

14.公差不为 0 的等差数列{an}的部分项 ak 1 ,ak 2 ,ak 3 ,…,构成等比数列,且 k 1 =1, k 2 =2,k 3 =6,则 k4 =________. 解析:据题意等差数列 a1 ,a2 ,a6 成等比数列,设等差数列的公差为 d,则有(a1 +d)2 =a1 (a1 +5d),解得 d=3a1 ,故 a2 =4a1 ,a6 =16a1 ?ak4 =64a1 =a1 +(n-1)· (3a1),解得 n= 22,即 k4 =22. 答案:22 15.将正奇数按如下表的规律填在 5 列的数表中,则 2 013 排在数表的第________行, 第________列. 1 15 31 … 13 17 29 … 3 11 19 27 … 5 9 21 25 … … 23 7

解析:通过观察发现,第三列是以 3 为首项,8 为公差的等差数列,所以通项公式可写 成 an =8n-5,当 n=252 时,a252 =2 011. 又因为此数表偶数行的数从右向左递增,故 2 013 排在数表的第 252 行,第 2 列. 答案:252 2 Sn -1 + a1 )2 (n≥2). 若

16. 已知各项都为正数的数列{an }, 其前 n 项的和为 Sn , 且 Sn =( bn = an +1 an + ,且数列{bn }的前 n 项的和为 Tn ,则 Tn =________. an an +1

2n+1 解析: Sn - Sn - 1= S1 , Sn =n S1 ,Sn =n2 a1 ,an =Sn -Sn- 1 =(2n-1)a1. bn = + 2n-1 2n-1 2 2 =2+ - , 2n+1 2n-1 2n+1
2 2 2? ? 2 2? ?2+ 2 - 2 ?=2n+2- 2 =4n +6n. Tn =? 2 + - + 2 + - + … + ? 1 3? ? 3 5? ? 2n-1 2n+1? 2n+1 2n+1

4n +6n 答案: 2n+1

2

4


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