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2017高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本运算课件理


第一章

集合与常用逻辑用语

第 1讲

集合的概念及运算

考点二

集合的基本运算

撬点· 基础点 重难点

1

集合的运算及性质 名称 符号 交集 A∩B 并集 A∪B 补集 ? UA ?UA= {x|x∈U 且 x?A}

数学语言 A∩B= {x|x∈A 且 x∈B} A∪B= {x|x∈A 或 x∈B} 图形 A∩B? A A∩B? B A ∩? = , ,
? B

?A∪B,

A∪(?UA)=

U ,

运算性质

A ?A∪B, A ∪? = A

A∩(?UA)= ? ? U( ? UA ) = A



2

集合间运算性质的重要结论

(1)A∪B=A? B?A . (2)A∩B=A? A?B . (3)A∩B=A∪B? A=B . (4)狄摩根定律:?U(A∪B)= (?UA)∩(?UB) ?U(A∩B)= (?UA)∪(?UB) . ;

注意点 应分类讨论.

空集的特殊性

在解题中,若未指明集合非空时,要考虑空集的可能性,如 A?B,则有 A=?和 A≠?两种可能,此时

1.思维辨析 (1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × ) (2)若{x2,1}={0,1},则 x=0,1.( × ) (3)对于任意两个集合 A,B,关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.( √ ) (4)若 A∩B=A∩C,则 B=C.( × ) (5)已知集合 M={1,2,3,4},N={2,3},则 M∩N=N.( √ ) (6)若全集 U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则?UP={2}.( √ )

2.已知集合 A={x|x2-x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B=( A.{-1,0,1,2} C.{0,1} B.{-2,-1,0,1} D.{-1,0}

)

解析

A={x|(x-2)(x+1)≤0}={x|-1≤x≤2},又 B 为整数集,所以 A∩B={-1,0,1,2},故选 A.

8 3.已知集合 A={0,1,2},集合 B 满足 A∪B={0,1,2},则集合 B 有________ 个.
解析 由 A∪B={0,1,2}得 B?A,所以 B 是 A 的子集.由 A 中有 3 个元素知 B 有 23=8 个.

撬法· 命题法 解题法

[考法综述] 以选择题形式出现.

集合的基本运算是历年高考的热点,常与函数、不等式、方程等知识综合考查,主要

命题法 求交集、并集和补集 典例 (1)已知集合 A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B=( A.[-2,-1] B.[-1,1] C.[-1,2) D.[1,2) (2)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}

)

[解析] (1)由不等式 x2-2x-3≥0 解得 x≥3 或 x≤-1,因此集合 A={x|x≤-1 或 x≥3},又集合 B ={x|-2≤x<2},所以 A∩B={x|-2≤x≤-1},故选 A. (2)利用数轴分析求解. ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0,或 x≥1}.在数轴上表示,如图所示.

∴?U(A∪B)={x|0<x<1}.

【解题法】

解决集合运算问题的方法

在进行集合运算时,要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化. (1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算,常采用 Venn 图法解决,此时要搞清 Venn 图中的各部 分区域表示的实际意义. (2)用描述法表示的数集进行运算,常采用数轴分析法解决,此时要注意 “端点”能否取到. (3)若给定的集合是点集,常采用数形结合法求解.

微型专题 创新考向

集合中的创新题型

以集合为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点,这类问题以集合为依托,考查学生理解问题、 解决创新问题的能力.其命题形式常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等.

创新例题 已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合 A⊕B={(x1 +x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A⊕B 中元素的个数为( A.77 C.45 B.49 D.30 )

解析 集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合 A 中有 5 个元素(即 5 个点),即图中圆内及圆 上的整点.集合 B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有 25 个元素(即 25 个点),即图中正方形 ABCD 内 及正方形 ABCD 上的整点.集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}中的元素可看作正方形 A1B1C1D1 内及正方形 A1B1C1D1 上除去四个顶点外的整点,共 7×7-4=45 个.

创新练习 1.设集合 S={A0, A1 , A2}, 在 S 上定义运算⊕: Ai⊕Aj=Ak, 其中 k 为 i+j 被 3 除的余数, i, j∈{1,2,3}, 则使关系式(Ai⊕Aj)⊕Ai=A0 成立的有序数对(i,j)总共有( A.1 对 C.3 对 B.2 对 D .4 对 )

解析

i=1 时,j=1 符合要求,i=2 时,j=2 符合要求;i=3 时,j=3 符合要求,所以使关系式(Ai

⊕Aj)⊕Ai=A0 成立的有序数对(i,j)有(1,1),(2,2),(3,3),共 3 对.

2.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个 6 数是________ .
解析 因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符

合条件的有序数组为(2,3,1,4), (3,2,1,4); 若只有③正确, ①②④都不正确, 则符合条件的有序数组为(3,1,2,4); 若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件 的有序数组的个数是 6.

3.设集合 Sn={1,2,3,?,n},若 X?Sn,把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量(若 X 中只有一个元素, 则该元素的数值即为它的容量, 规定空集的容量为 0). 若 X 的容量为奇(偶)数, 则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集. 则

7 S4 的所有奇子集的容量之和为________ .
解析 根据题意,S4 的所有奇子集为{1}、{3}、{1,3},分析可得{1}的容量为 1,{3}的容量为 3,{1,3}

的容量为 3,则其容量之和为 1+3+3=7.

创新指导 1.准确转化:解决集合创新问题时,一定要读懂题目的本质含义,紧扣题目所给条件,结合题目要求进 行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆. 2.方法选取:对于集合创新问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的 相关性质求解,同时注意培养学生领悟新信息、运用新信息的能力.

已知集合 A={x|ax-1=0},B={x|1<log2x≤2,x∈N},且 A∩B=A,则 a 的所有可能值组成的集合 是( ) A.?
? 1 1? C. 3,4? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? B. 3? ? ? ? ? 1 1 D. 3,4,0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

[错解]

[错因分析]

集合 A 为方程 ax-1=0 的实数解构成的集合, 由 A∩B=A, 知 A ?B , A 可以为非空集合,

也可以是空集.在解题中,很容易漏掉对 A=?的讨论,导致误选 C.

[正解]

由 A∩B=A,得 A?B.

因为 B={x|1<log2x≤2,x∈N}={x|2<x≤4,x∈N}={3,4}, 当 A=?时,则方程 ax-1=0 无实数解,所以 a=0,此时显然有 A?B,符合题意. 1 当 A≠?时,则由方程 ax-1=0,得 x= . a 1 1 1 1 要使 A?B,则 =3 或 =4,即 a= 或 a= . a a 3 4
? 1 1? 综上所述,a 的所有可能取值组成的集合是 0,3,4? .故选 D. ? ? ? ? ? ? ?

[心得体会]


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