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2017高考(新课标)数学(文)二轮专题复习:专题一第1讲函数的图象与性质、函数与方程 Word版含解析


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专题一

函数与导数、不等式

第 1 讲函数的图象与性质、函数与方程
一、选择题 1. (2016· 广东肇庆三模)在函数 y=xcos x, y=ex+x2, y=lg x2-2, y=xsin x 中,偶函数的个数是( A.3 B.2 )(导学号 53130092) C.1 D.0

解析:y=xcos x 为奇函数,y=lg x2-2与 y=xsin x 为偶函数,y =ex+x2 是非奇非偶函数. 答案:B 1-3x 2.(2016· 石家庄模拟)函数 f(x)= 的定义域为( x-1 A.(-∞,0] C.1,+∞) B.0,1]∪1,+∞) D.(1,+∞)
.

)

?1-3x≥0, ? 解析:由题意知? 解得 x≤0 且 x≠1,即 x≤0. ? ?x≠1,

答案:A
?π ? 2xsin?2+6x? ? ?

3.函数 y=

4 -1

x

的图象大致为(

)

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?π ? 2xsin?2+6x? x 2-xcos(-6x) ? ? 2 cos 6x 解析: ∵f(x)= = x , ∴f(-x)= = 4x-1 4 -1 4-x-1

2xcos 6x - x =-f(x),∴函数 f(x)为奇函数,排除 A;当 x→+∞时,总 4 -1 会存在 x,使 cos 6x<0,故排除 B,C,选 D. 答案:D 4.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同根 函数”,给出四个函数:f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)= log2x2,f4(x)=log2(2x),则“同根函数”是( A.f2(x)与 f4(x) C.f1(x)与 f4(x) B.f1(x)与 f3(x) D.f3(x)与 f4(x) ) (导学号 53130093)

解析:f4(x)=log2(2x)=1+log2x,f2(x)=log2(x+2),将 f2(x)的图象 沿着 x 轴先向右平移 2 个单位得到 y=log2x 的图象, 然后再沿着 y 轴向 上平移 1 个单位可得到 f4(x)的图象, 根据“同根函数”的定义可知 f2(x) 与 f4(x)为“同根函数”. 答案:A 2x+1 5.若函数 f(x)= x 是奇函数,则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围 2 -a 为( ) A.(-∞,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,+∞)

解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 2-x+1 2x+1 则 -x =- x ,整理得(1-a)(2x+1)=0,a=1. 2 -a 2 -a 2x+1 ∴f(x)>3 即为 x >3,化简得(2x-2)(2x-1)<0,∴1<2x<2, 2 -1 ∴0<x<1. 答案:C

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二、填空题

6.已知函数 f (x)= 范围是________.

1 若 f(a)< ,则实数 a 的取值 2

1 解析:若 a≤0,由 2a< ,得 a<-1; 2 1 若 a>0,由 log2a< ,得 0<a< 2. 2 综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,-1)∪(0, 2). 答案:(-∞,-1)∪(0, 2)
?x2-2,x≤0, ? 7.函数 f(x)=? 的零点个数是________. ? ?2x-6+lnx,x>0

解析:当 x≤0 时,由 x2-2=0,得 x=- 2. 当 x>0 时,f(x)=2x-6+lnx 在(0,+∞)上为增函数. 且 f(2)=ln2-2<0.f(3)=ln3>0. ∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. 综上可知,函数 y=f(x)的零点个数为 2. 答案:2 8.(2015· 安徽卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点,则 a 的值为________. 解析:如图所示,画出函数 y=|x-a|-1 与 y=2a 的图象.

因为直线 y=2a 与 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点. 1 故 2a=-1,解得 a=- . 2 答案:-
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1 2

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三、解答题 9.已知函数 f(x)=ax +b(a>0,a≠1).

图①

图② (导学号 53130094)

(1)若 f(x)的图象如图①所示,求 a、b 的值; (2)若 f(x)的图象如图②所示,求 a、b 的取值范围; (3)在(1)中,若|f(x)|=m 有且仅有一个实数解,求实数 m 的取值范 围. 解:(1) f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),
2 ? ?a +b=0, ∴? 0 解得 a= 3,b=-3. ?a +b=-2, ?

(2)∵f(x)单调递减, ∴0<a<1, 又 f(0)<0,即 a0+b<0, ∴b<-1. 即 a 的取值范围是(0,1),b 的取值范围是(-∞,-1). (3)画出 y=|f(x)|的草图(图略), 知当 m=0 或 m≥3 时,|f(x)|=m 有且仅有一个实数解. ∴实数 m 的取值范围是{0}∪3,+∞). 10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),
? ?f(x),x>0, F(x)=? 若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 ?-f(x),x<0. ?

成立. (导学号 53130095)
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(1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 解:(1)∵f(-1)=0, ∴a-b+1=0, ∴b=a+1, ∴f(x)=ax2+(a+1)x+1. ∵f(x)≥0 恒成立,
?a>0, ? ∴? 2 ? ?Δ=(a+1) -4a≤0, ? ?a>0, 即? 2 ?(a-1) ≤0. ?

∴a=1,从而 b=2, ∴f(x)=x2+2x+1,
2 ? ?x +2x+1,x>0, ∴F(x)=? 2 ?-x -2x-1,x<0. ?

(2)由(1)知,g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在-2,2]上是单调函数, ∴ k-2 k-2 ≤-2 或 ≥2,解得 k≤-2 或 k≥6. 2 2

∴k 的取值范围是(-∞,-2]∪6,+∞). 2 11.(2016· 珠海模拟)已知函数 f(x)=a- x . 2 +1 (导学号 53130096) (1)求 f(0); (2)探究 f(x)的单调性,并证明你的结论; (3)若 f(x)为奇函数,求满足 f(ax)<f(2)的 x 的范围. 解:(1)f(0)=a- 2 =a-1. 2 +1
0

(2)∵f(x)的定义域为 R,
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∴任取 x1,x2∈R 且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=a- 2 2 -a+ x2 = 2 +1 2 +1
x1

2· (2 x1-2 x2) (1+2 x1)(1+2 x2) ∵y=2x 在 R 上单调递增且 x1<x2, ∴0<2x1<2 x2, ∴2 x1-2 x2<0,2 x1+1>0,2 x2+1>0. ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上单调递增. (3)∵f(x)是奇函数, 2 2 ∴f(-x)=-f(x),即 a- -x =-a+ x , 2 +1 2 +1 解得 a=1(或用 f(0)=0 去解). ∴f(ax)<f(2)即为 f(x)<f(2), 又∵f(x)在 R 上单调递增, ∴x<2. ∴不等式的解集为(-∞,2).

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