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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一


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2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十一
命题人:南昌二中 高三(01)班 张阳阳
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 若 a > 1, b > 1, 且 lg(a + b)=lga+lgb, 则 lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) (A)等于 lg2 (B)等于 1 (C ) 等于 0 (D) 不是与 a, b 无关的常数 2.若非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使 A?A∩B 成立的所有 a 的集合是 ( ) (A){a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9} (C) {a | a≤9} (D) ? 3.各项均为实数的等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn ,若 S10 = 10, S30 = 70, 则 S40 等于( ) (A) 150 (B) ? 200 (C) 150 或 ? 200 (D) ? 50 或 400 2 2 4.设命题 P:关于 x 的不等式 a1x + b1x + c1 > 0 与 a2x2 + b2x + c2 > 0 的解集相同; a1 b1 c1 命题 Q: = = . 则命题 Q( ) a2 b2 c2 (A) 是命题 P 的充分必要条件 (B) 是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件 5.设 E, F, G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C—FG—E 的大小是( ) 6 π 3 π 2 (A) arcsin (B) +arccos (C) -arctan 2 (D) π-arccot 3 2 3 2 2 6.在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 共线的三点 组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 本题满分 54 分,每小题 9 分) 各小题只要求直接填写结果. 1 98 101 104 1.若 f (x) (x?R)是以 2 为周期的偶函数, 当 x?[ 0, 1 ]时,f(x)=x1000,则 f( ),f( ),f( )由小到 19 17 15 大排列是 . 2.设复数 z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180° ),复数 z,(1+i)z,2- z 在复平面上对应的三个点分别是 P, Q, R.当 P, Q, R 不共线时,以线段 PQ, PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S, 点 S 到原点距离的最大 值是___________. 3.从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个数中取出 3 个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取法 有________种. 4.各项为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这样的数列至 多有_______项. 5.若椭圆 x2+4(y-a)2=4 与抛物线 x2=2y 有公共点,则实数 a 的取值范围是 . o o 6. ?ABC 中, ?C = 90 , ?B = 30 , AC = 2, M 是 AB 的中点. 将?ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两点间的 距离为 2 2 ,此时三棱锥 A-BCM 的体积等于__________. 三、 (本题满分 20 分)
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π 已知复数 z=1-sinθ+icosθ( <θ<π),求 z 的共轭复数- z 的辐角主值. 2

四、 (本题满分 20 分) 设函数 f (x) = ax 2 +8x +3 (a<0). 对于给定的负数 a , 有一个最大的正数 l(a) ,使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ? 5 都成立. 问:a 为何值时 l(a)最大? 求出这个最大的 l(a).证明你的结论.

五、 (本题满分 20 分) 已知抛物线 y 2 = 2px 及定点 A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b 2 ? 2pa).M 是抛物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2. 求证:当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 ? M2),直线 M1M2 恒过一个定点.并求 出这个定点的坐标.

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2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十一
参考答案
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.若 a > 1, b > 1, 且 lg (a + b) = lg a + lg b, 则 lg (a –1) + lg (b –1) 的值( ) (A)等于 lg2 (B)等于 1 (C ) 等于 0 (D) 不是与 a, b 无关的常数 解:a+b=ab,(a-1)(b-1)=1,由 a-1>0,b-1>0,故 lg(a-1)(b-1)=0,选 C. 2.若非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使 A?A∩B 成立的所有 a 的集合是 ( ) (A){a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9} (C) {a | a≤9} (D) ? 解:A?B,A≠?.? 3≤2a+1≤3a-5≤22,?6≤a≤9.故选 B. 3.各项均为实数的等比数列{a n }前 n 项之和记为 S n ,若 S10 = 10, S30 = 70, 则 S40 等于( ) (A) 150 (B) ?200 (C) 150 或 ?200 (D) ?50 或 400 a1 10 a1 30 解:首先 q≠1,于是, (q -1)=10, (q -1)=70,∴ q20+q10+1=7.?q10=2.(-3 舍) q-1 q-1 ∴ S40=10(q40-1)=150.选 A. 4.设命题 P:关于 x 的不等式 a1x2 + b1x2 + c1 > 0 与 a 2x2 + b2x + c2 > 0 的解集相同; a1 b1 c1 命题 Q: = = . 则命题 Q( ) a2 b2 c2 (A) 是命题 P 的充分必要条件 (B) 是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件 解:若两个不等式的解集都是 R,否定 A、C,若比值为-1,否定 A、B,选 D. 5.设 E, F, G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C—FG—E 的大小是( 6 π 3 π 2 (A) arcsin (B) +arccos (C) -arctan 2 (D) π-arccot 3 2 3 2 2 解:取 AD、BD 中点 H、M,则 EH∥FG∥BD,于是 EH 在平面 EFG 上.设 A CM∩FG=P,AM∩EH=Q,则 P、Q 分别为 CM、AM 中点,PQ∥AC. Q E ∵ AC⊥BD,?PQ⊥FG,CP⊥FG,?∠CPQ 是二面角 C—FG—E 的平面角. 2 +( 3) -( 3) 3 B 设 AC=2,则 MC=MA= 3,cos∠ACM= = . 3 2· 2· 3 P F ∴ 选 D. C 6.在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点 中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 解:8 个顶点中无 3 点共线,故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心. ⑴ 体中心为中点:4 对顶点,6 对棱中点,3 对面中心;共 13 组; ⑵ 面中心为中点:4×6=24 组; ⑶ 棱中点为中点:12 个.共 49 个,选B.
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2 2 2

)

H D

M G

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二、填空题( 本题满分 54 分,每小题 9 分) 各小题只要求直接填写结果.
1 98 101 104 1.若 f (x) (x?R)是以 2 为周期的偶函数, 当 x?[ 0, 1 ]时,f(x)=x1000,则 f( ),f( ),f( )由小到 19 17 15 大排列是 . 98 16 16 101 1 1 104 14 14 解:f( )=f(6- )=f( ).f( )=f(6- )=f( ),f( )=f(6+ )=f( ). 19 19 19 17 17 17 15 15 15

1 16 14 101 98 104 现 f(x)是[0,1]上的增函数.而 < < .故 f( )<f( )<f( ). 17 19 15 17 19 15 2.设复数 z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180° ),复数 z,(1+i)z,2- z 在复平面上对应的三个点分别是 P, Q, R.当 P, Q, R 不共线时,以线段 PQ, PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S, 点 S 到原点距离的最大值是___________. y → → → → → → → → → 解: OS = OP + PQ + PR = OP +OQ - OP + OR - OP → → → =OQ+ OR - OP =(1+i)z+2- z -z=iz+2- z =(2cosθ-sinθ)+i(cosθ-2sinθ). π ∴ |OS|2=5-4sin2θ≤9.即|OS|≤3,当 sin2θ=1,即 θ= 时,|OS|=3. 4 3.从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个数中取出 3 个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取法 有________种. 解:从这 10 个数中取出 3 个偶数的方法有 C5种,取出 1 个偶数,2 个奇数的方法有 C5C5种, 而取出 3 个数的和为小于 10 的偶数的方法有(0,2,4),(0,2,6),(0,1,3),(0,1,5),(0,1, 7),(0,3,5),(2,1,3),(2,1,5),(4,1,3),共有 9 种,故应答 10+50-9=51 种. 4.各项为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这样的数列至 多有_______项. 解:设其首项为 a,项数为 n.则得 a2+(n-1)a+2n2-2n-100≤0. △=(n-1)2-4(2n2-2n-100)=-7n2+6n+401≥0.∴ n≤8. 取 n=8,则-4≤a≤-3.即至多 8 项. n-1 2 n-1 2 n-1 2 (也可直接配方: (a+ ) +2n2-2n-100-( ) ≤0. 解 2n2-2n-100-( ) ≤0 仍得 n≤8. ) 2 2 2 5.若椭圆 x2+4(y-a)2=4 与抛物线 x2=2y 有公共点,则实数 a 的取值范围是 . 2 2 2 解:2y=4-4(y-a) ,?2y -(4a-1)y+2a -2=0.此方程至少有一个非负根. 17 ∴ △=(4a-1)2-16(a2-1)=-8a+17≥0.a≤ . 8 1 17 两根皆负时 2a2>2,4a-1<0.?-1<a<1 且 a< .即 a<-1.∴-1≤a≤ . 4 8 6. ?ABC 中, ?C = 90o, ?B = 30o, AC = 2, M 是 AB 的中点. 将?ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两点间的 距离为 2 2 ,此时三棱锥 A-BCM 的体积等于 .
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2 B 2 M D
2 3 E

Q

P
O

S

x
R

3

1

2

A 2 C

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解:由已知,得 AB=4,AM=MB=MC=2,BC=2 3,由△AMC 为等边三角形,取 CM 中点,则 AD⊥CM,AD 交 BC 于 E,则 AD= 3,DE= 3 2 3 ,CE= . 3 3 3 . 3
A
2 2

折起后,由 BC2=AC2+AB2,知∠BAC=90° ,cos∠ECA=

8 ∴ AE2=CA2+CE2-2CA· CEcos∠ECA= ,于是 AC2=AE2+CE2.?∠AEC=90° . 3 2 6 ∵ AD2=AE2+ED2, ?AE⊥平面 BCM, 即 AE 是三棱锥 A-BCM 的高, AE= . 3 2 2 S△BCM= 3,VA—BCM= . 3 三、 (本题满分 20 分) π 已知复数 z=1-sinθ+icosθ( <θ<π),求 z 的共轭复数- z 的辐角主值. 2 π π π +θ +θ +θ 2 2 π π 22 解:z=1+cos( +θ)+isin( +θ)=2cos +2isin cos 2 2 2 2 2 π π π +θ +θ +θ 2 2 2 =2cos (cos +isin ). 2 2 2 π π π +θ +θ +θ 2 2 2 π 当 <θ<π 时,- z =-2cos (-cos +isin ) 2 2 2 2 π θ 3π θ 3π θ =-2cos( + )(cos( - )+isin( - )). 4 2 4 2 4 2 3π θ ∴ 辐角主值为 - . 4 2

2 M

2 D C

2 B

2 3 E

四、 (本题满分 20 分) 设函数 f (x) = ax2 +8x+3 (a<0). 对于给定的负数 a , 有一个最大的正数 l(a) ,使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ? 5 都成立. 问:a 为何值时 l(a)最大? 求出这个最大的 l(a).证明你的结论. 4 16 解: f(x)=a(x+ )2+3- . a a 16 (1)当 3- >5,即-8<a<0 时, a -8+ 64+8a l(a)是方程 ax2+8x+3=5 的较小根,故 l(a)= . 2a 16 (2)当 3- ≤5,即 a≤-8 时, a -8- 64-32a l(a)是方程 ax2+8x+3=-5 的较大根,故 l(a)= . 2a
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64-32a ?-8- 2 ,(a≤-8) a 综合以上,l(a)= ? -8+ 64+8a (-8<a<0) ? 2a -8+ 64-32a 当 a≤-8 时,l(a)= = 2a -8+ 64+8a 当-8<a<0 时,l(a)= = 2a 1+ 5 所以 a=-8 时,l(a)取得最大值 . 2 五、 (本题满分 20 分) 已知抛物线 y 2 = 2px 及定点 A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b 2 ? 2pa).M 是抛物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2. 求证:当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 ? M2.)直线 M1M2 恒过一个定点.并求 出这个定点的坐标. m1 m2 m2 解:设 M( ,m).M1( ,m1),M2( ,m2), 2p 2p 2p b-m 则 A、M、M1 共线,得 = m1-m 2 m1 m2 a- 2p 2pa-m2 ,即 b-m= . m1+m
y
M2
2 2

4 ≤ 4-2a-2

4 1+ 5 = ; 2 20-2

2 2 1+ 5 < < . 2 16+2a +4 4

m2 - 2p 2p

M B

2pa-bm 2pa ∴ m1= ,同法得 m2= ; m b-m ∴ M1M2 所在直线方程为 y-m2 2pa-m2 = ,即(m1+m2)y=2px+m1m2.消去 m1,m2, m1-m2 2 2 m1-m2 得 2paby-bm2y=2pbmx-2pm2x+4p2a2-2pabm.⑴
2

O
A
M1

x

2pa 2pa 分别令 m=0,1 代入,得 x=a,y= ,以 x=a,y= 代入方程⑴知此式恒成立. b b 2pa 即 M1M2 过定点(a, ) b

·6·


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