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安徽省淮南市2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文(扫描版)_图文

1

2

3

4

2016 二模文科答案 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 D 7 D 8 A 9 C 10 C 11 D 12 B

二、填空题: 13.

1 2

14. (??,0) 和 (0,1)

( 或写成 (??,0) 和 (0,1] )

15. ?

3 3

16. bn ? 2n ? 1, (n ? N ? )

三、解答题 17.解: (Ⅰ)由题设及正弦定理知, 2b ? a ? c ,即 b ?

a?c .由余弦定理知, 2


cos B ?

a ?c ?b ? 2ac
2 2 2

a2 ? c2 ? (

a?c 2 ) 3(a 2 ? c 2 ) ? 2ac 3(2ac) ? 2ac 1 2 ? ? ? 2ac 8ac 8ac 2

? y ? cos x 在 (0, ? ) 上单调递减,? B 的最大值 B0 ?
(II)

? . 3

6分

? B ? B0 ?
? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? C ?

? , a ? 3, c ? 6 , 2 , a ? 1, c ? 2,? b ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 3,
3

?
2

, ?b ? 3 3

又 AD ? 2 在 ?ACD 中由余弦定理得: CD ? 13 18.解: (I)证明:取 AB 的中点 M,? AF ? 又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
? A1 D // BM , A1 D ? BM , ? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD
? EF // BD,
? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ? EF // 平面 BC1 D
G E C A1 D

12 分
1 AB ? F 为 AM 的中点, 4

C1 B1

???6 分

A

F

M

B

(II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15, 则 VE ? AFG : VABC ? A B C ? 1:16
1 1 1

5

1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE VE ? AFG ? ?3 2 1 VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2 AG 3 1 AG 1 ? ? , ? ? ? , AC 2 24 AC 16 所以符合要求的点 G 不存在

1 1 1 AG 1 AG ? ? ? ? ? ? 3 4 2 AC 24 AC
? AG ? 3 AC ? AC 2

?????.12 分

19. 解: (I) P ? (II) K ?
2

3 5

80? (20?12 ? 28? 20) 2 10 ? 40? 40? 48? 32 3



10 ? 2.076 ,知只有 90 % 的把握认为“两个学段的学生对”四大名著”的了解有差异” 3

20. 解:(Ⅰ)由 2b ? 2 3 ,得 b ? 3 再由 d ?

2 21 ,得 a ? 2 7
x2 y2 ? ?1 4 3

椭圆 C 的方程

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知: F1 (?1,0), F2 (1,0) 设直线 PF1 斜率为 k ,则直线 PF1 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,直线 PF2 的方程为:

1 3 y ? - ( x ? 1) ,令 x ? 4 得: P ( 4,5k ), Q ( 4,? ) k k
于是以 PQ 为直径的圆的方程为: ( x ? 4)( x ? 4) ? ( y ? 5k )( y ? ) ? 0 即: ? 5 y 2 k 2 ? ( x 2 ? y 2 ? 8x ? 1)k ? 3 y ? 0 令 y ? 0 ,得 x ? 4 ? 15 或 x ? 4 - 15 圆过定点 , (4 ? 15 , 0) (4 - 15, 0)

3 k

6

21. 解:(Ⅰ)依题意, h ( x) ?
'

1 1 ? 2ax ,所以 f ( x) ? (2 - a) ln x ? ? 2ax ,其定义域为 x x

(0,??)
当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ?
'

1 2 1 2x ?1 ' , f ( x) ? ? 2 ? x x x x2

1 1 1 ' ' ,当 0 ? x ? 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? 时, f ( x) ? 0 2 2 2 1 1 所以当 x ? 时, f ( x) 有极小值 f ( ) ? 2 ? ln 2 ,无极大值。 2 2 1 a(2 x ? 1)(x ? ) 2 2?a 1 2ax ? (2 ? a) x ? 1 ' a ,x ?0 ? 2 ? 2a ? ? (Ⅱ) f ( x) ? x x x2 x2 1 1 1 ' 当 ? 3 ? a ? ?2 时, ? ? ? ,故当 x ?[1,3] 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [1,3] 3 a 2 1 单调递减,此时 f ( x) max ? f (1) ? 2a ? 1 , f ( x) min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3 1 | f (?1 ) ? f (?2 ) |max ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? [( 2 ? a) ln 3 ? 2 ln 3 ? ? 6a] = 3 2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 2 依题意,只需 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 2 2 ?4 即: ma ? ? 4a ? m ? 3 3a 13 2 38 ? ?4? ? 而当 ? 3 ? a ? ?2 , ? ? 3 3a 9 13 ?m?? 3
令 f ( x) ? 0 ,解得: x ?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答 时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 证明: (I)连 OD ,则 ?ABD ? ?ODB ? ?ACD 得 OD // AC ,又 DE 为切线, 所以 OD ? DE 得 DE ? AC 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 (II)由(I)得 D 为 BC 中点, 所以 AD ? BC (或有直径上圆周角得)

7

所以 DC ? CE ? AC (射影定理)
2

有 BD ? DC 得 BD ? CE ? CA
2

。 。 。 。 。 。 。 。10 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I) ? 的普通方程为 y ?

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 联立方程组

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ) ,则 | AB |? 1 . ? ?5 分 ? 2 2 2 2 ? ? x ? y ? 1,
? ?x? (II) C2 的参数方程为 ? ? ?y ? ? ? 1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) ,从 (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 2 2 3 sin ? . 2

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 而点 P 到直线 ? 的距离是 d ? 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] ,由 2 4 4 6 ? 此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) .??? ?10 分 4 4 |
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ? x ? ?

1 1 等价于 x ? 1 ? x ? .????????1 分 2 2 1 ①当 x ? ?1 时,不等式化为 ? x ? 1 ? x ? ,无解; 2 1 1 ②当 ?1 ? x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 ? ? x ? 0 ; 4 2 1 ③当 x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 x ? 0 .??????????3 分 2
综上所述,不等式 f ?x ? ? 1 的解集为 ? ?

? 1 ? , ?? ? .????????????4 分 ? 4 ?

(Ⅱ)因为不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,所以 b ? ? ? f ? x ?? ? max .???????5 分 以下给出两种思路求 f ? x ? 的最大值. 方法 1:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a 当x??

? 0 ? a ? 1? ,

a 时, f ? x? ? ?x ? a ? x ? 1? a ? ? a ? 1? a < 0 .

当?

a ? x ? 1 ? a 时, f ? x? ? x ? a ? x ? 1? a ? 2x ? a ? 1? a
? 2 1- a + a -

1- a = a + 1- a .
8

当 x ? 1 ? a 时, f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? a ? 1? a .
所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

方法 2:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? x ? a ? x ? 1? a ? a ? 1? a

? a ? 1? a ,
当且仅当 x ? 1 ? a 时取等号. 所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

因为对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集, 所以 b ? ? a ? 1 ? a ?

?

? max .?????????????????????8 分

以下给出三种思路求 g ? a ? ? a ? 1 ? a 的最大值. 方法 1:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 所以 g 2 ? a ? ? 1 ? 2 a 1 ? a ? 1 ? 当且仅当 a ? 1 ? a ,即 a ? 所以 ? ? g ? a ?? ? max ?

? a? ??
2

1? a

?

2

? 2.

1 时等号成立. 2

2.

所以 b 的取值范围为

?

2, +? .???????????????????10 分

?

方法 2:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 因为 0 ? a ? 1 ,所以可设 a ? cos ? ? 0 ? ? ?
2

? ?

?? ?, 2?

则 g ?a? ?

?? ? a ? 1 ? a ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 , 4? ?
? 时等号成立. 4

当且仅当 ? ?

所以 b 的取值范围为

?

2, +? .???????????????????10 分

?

方法 3:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a ,

9

因为 0 ? a ? 1 ,设 í

ì ? ? x = a, 则 x2 + y 2 = 1 (0 #x 1,0 #y 1) . ? ? ? y = 1- a ,

问题转化为在 x2 + y 2 = 1 (0 #x 求 z = x + y 的最大值.

1,0 #y 1) 的条件下,

y

利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为 2 ,

2 此时 x = y = . 2
所以 b 的取值范围为

O

x

?

2, +? .???????????????????10 分

?

10


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