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2013高考数学总复习讲义2:三角函数性质与图像


高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像 知识清单: 反三角函数符号的运用:

? ? ? ? ?? arcsin a ? ? ? , ? 、 arccos a ??0, ? ?、 arc tan a ? ( ? , ) 2 2 ? 2 2?
注意:反三角数符号只表示这个范围的角,其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围.备注: ... 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象. .......... 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质以函数 y ? sin x 为基础,通过图像变换来把握.

y ? sin x
定义域 值域 周期性 R

y ? cos x
R

y ? A sin??x ? ? ? (A、 ? >0)

R

[?1,1]

[?1,1]

?? A, A?
2?

2?
奇函数

2?
偶函数

?
当 ? ? 0, 非奇非偶, 当 ? ? 0, 奇函数

奇偶性

[?

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2k? ] [? 2k ?1? ? , 2k? ]
上为增函数;

上为增函数; 单调性

? 3? [ ? 2 k? , ? 2 k? ] 2 2
上为减函数. (k?Z )

[2k? , ? 2k ?1? ? ]
上为减函数. (k?Z )

? 1 ? ? 2k? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? ? 2 , 2 ? ? 上增函数; ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? 2 k ? ? 2 ? ? 2 k? ? 2 ? ? ? ? , ? ? 上 减 函 数 ? ? ? ? ? ?
(k?Z )

y ? tan x
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
R

R

?
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 上为增函数( k ? Z ) 2 ? 2 ?

?

奇函数

奇函数 ?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函数( k ? Z )

如① y ? sin x

图例变化为 ???? ② y ? A sin(? x ? ? ) (A>0, ? >0)相应地, ?

第 1 页(共 12 页)

①的单调增区间 ? ? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ? 2 ? 2 ? ?

变为 ??? ?

?

?
2

? 2 k? ≤ ? x ? ? ≤

?
2

? 2k? 的解集是②的增区间.
2?

注:
? ⑴ y ? sin( x ? ? ) 或 y ? cos(? x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?
?

;

⑵ y ? sin(? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

(k?Z ) ,对称中心 (k? , 0) ;

y ? cos(? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ( k ? Z ) ,对称中心 (k? ? 1 ? , 0) ;
2

y ? tan( x ? ? ) 的对称中心( ?
课前预习

k? ,0 ). 2

1.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 2. 函数 y ? 2sin( x ? ) 的最小正周期 T= 3.函数 y ? sin

. .

1 2

π 3

x 的最小正周期是( 2
(B) ?

) (C) 2? (D) 4?

(A)

? 2

4.函数 y ? 2 sin( (A) [0,

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是( )
(B) [

?
3

]

?
12

,

5.函数 y ? 2 cos( x ?

? ?

7? ] 12

(C) [

?
3

,

5? ] 6


(D) [

5? , ?] 6

2 )( ≤ x ≤ ? ) 的最小值是( 3 6 3
(C ) ? 1

( A) ? 2

( B) ? 3

( D)1


6.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(

? 个单位长度 6 ? (C)向左平移 个单位长度 6
(A)向右平移

? 6

? 个单位长度 3 ? (D)向左平移 个单位长度 3
(B)向右平移

7.将函数 y ? sin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向左

? 个单位,所得图象的解析式是__________________. 3 ? 8. 函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间[ 0, ]的最小值为______. 2
平移 9.适合 sin x ? ? , x ? ?? , ? ? 的角 x 是( 3 2 第 2 页(共 12 页)

1

? ?

3 ? ?



1 ( A) arc sin( ? ) 3

( B ) ? arc sin

1 3

1 (C )2? ? arcsin(? ) 3
5 3 (x∈R) 2

1 ( D)? ? arc sin(? ) 3

10.已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

⑴求 f(x)的最小正周期; ⑵求 f(x)单调区间; ⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。 11.求函数 f (x)= log 1 cos( x ?
2

1 3

?
4

) 的单调递增区间

典型例题 EG1、三角函数图像变换 将函数 y ? 2 cos(

?

1 x ? ) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图像? 3 2

变式 1:将函数 y ? cos x 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? 2 cos(2 x ? 变式 2:将函数 y ? 2 cos( x ? 变式 3:将函数 y ?

?

1 ? sin(2 x ? ) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? sin x 的图像? 3 3

1 2

?
6

4

) 的图像?

) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图像?

EG2、三角函数图像 函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 一个周期的图像如图所示,试确定 A, ? , ? 的值. 变式 1:已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 小正周期 T 和初相 ? 分别为( A. T ? 6 , ? ?

π? ?π ?? 1) x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, ,则该简谐运动的最 2? ?3 ??



π 6

B. T ? 6 , ? ?

π 3

C. T ? 6π , ? ?

π π D. T ? 6π , ? ? 6 3

变式 2:函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?



第 3 页(共 12 页)

0 变式 3:如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤ ? ≤ )

π 2

y
3
O

的图象与 y 轴交于点 (0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 . 求 ? 和 ? 的值. EG3、三角函数性质 求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时 x 的值的集合. (1) y ?

x

3 4? sin(2? x ? ); 2 3

(2) y ? ?6sin(2.5 x ? 2) ? 2

变式 1:已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? 于 (A)

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等 , ? 3 4? ?
( )

2 3

(B)

3 2

(C)2 )

(D)3

变式 2:函数 y=2sinx 的单调增区间是( A. [2kπ -

? 2

,2kπ +

? 2

] (k∈Z)B. [2kπ +

? 2

,2kπ +

3? ] (k∈Z) 2

C. [2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z)D. [2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z) 变式 3:关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。

第 4 页(共 12 页)

变式 4、函数 f ? x ? ? 2sin ? ? x+ ? 的最小正周期是 变式 5、下列函数中,既是(0, (A)y=lgx2

? ?

1? 4?

.

? )上的增函数,又是以π 为周期的偶函数是( 2

)

(B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y= 2 sin 2 x ? 5? ? ?? 变式 6、已知 x ? ?0, ? ,求函数 y ? cos( ? x) ? cos( ? x) 的值域 2? 12 12 ? 变式 7、已知函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x)
2

⑴求它的定义域和值域; ⑵求它的单调区间; ⑶判断它的奇偶性; ⑷判断它的周期性.

(1 ? sin ? ? cos ? )(sin
化简:

?

2 ? 2 cos ?

? cos ) 2 2 .

?

变式 1:函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
B.

) .

A.

2 -1 2

2 +1 2

C.1-

2 2

D.-1-

2 2

变式 2:已知

cos 2? 2 ,求 cos ? ? sin ? 的值. ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
2

变式 3:已知函数 f ( x) ? 2sin ?

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .求 f ( x) 的最大值和最小值. ?4 ? ?4 2?

实战训练 1.方程 sin x ? ax ( a 为常数, a ? 0 )的所有根的和为 2.函数 f ( x) ? 1 ? 2 sin x 的最小正周期为
2



3.若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是( (A) ? ? 1, ? ?

)

?
3

(B) ? ? 1, ? ? ?

?
3

(C) ? ?

1 ? ,? ? 2 6

(D) ? ?

1 ? ,? ? ? 2 6

4. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是_____ 第 5 页(共 12 页)

5.函数 f ( x) ? cos x ?

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2

6.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ? ( )

? )的最小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,则 2

A. ? ?

1 ? ,? ? 2 6

B. ? ?

1 ? ? ? ,? ? C. ? ? 2,? ? D. ? ? 2,? ? 2 3 6 3


7.若函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移后,得到函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象,则向量 a = ( A. (1 ? 2) , B. (1 2) , C. (1 ? 2) , ) D. 2π ) C. sin x ? D. (?1 2) ,

8.函数 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的最小正周期为( A.

π 4

B.

π 2

C. π

π ,则下列命题正确的是( 2 2 2 A. sin x ? x B. sin x ? x π π
9.若 0 ? x ?

3 x π

D. sin x ?

3 x π

?x π? ? π ? ? 10.将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( ) 3 6? 4 ? ? ? ?x π? ? x π? ?x π ? ?x π ? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ? 3 12 ? ? 3 12 ?

11.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?
y



y
? ? 3

1
? 6

1
?

? ? 2

O
?1

x

?

? ?? O 3 2

?1

? 6

? x

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? ? 2
? O ? 6

x

?

?1

? 2

? ? 6

1
? 3

O
?1
D.

? x

C.

1 12.若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R) ,则 f(x)是 2

? 的奇函数; (B)最小正周期为 ? 的奇函数; 2 (C)最小正周期为 2 ? 的偶函数; (D)最小正周期为 ? 的偶函数;
(A)最小正周期为 第 6 页(共 12 页)

13.已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ??
B.关于直线 x ?



A.关于点 ? ,? 对称 0

?? ??

? ?

? 对称 ? ? 对称 ?

C.关于点 ? ,? 对称 0

?? ??

? ?

D.关于直线 x ?

14.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象( 3?



A.关于点 ? ,? 对称 0

?π ?3 ?π ?4

? ? ? ?

B.关于直线 x ?

π 对称 4 π 对称 3

C.关于点 ? ,? 对称 0

D.关于直线 x ?

15.下列函数中,周期为 A. y ? sin

? 的是( 2

) C. y ? cos

x 2

B. y ? sin 2 x

x 4

D. y ? cos 4 x

16.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是( ) A. [ ?? , ?

5? ] 6

B. [?

5? ? ,? ] 6 6

C. [ ?

?
3

, 0]

D. [ ?

?
6

, 0]

17.设函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ? ( x ? R) ,则 f ( x) ( 3?



A.在区间 ?

? 2? 7 ? ? , 上是增函数 ?3 6? ?

B.在区间 ? ??, ?

? ?

?? 上是减函数 2? ?

C.在区间 ? , ? 上是增函数 8 4

?? ?? ? ?

D.在区间 ? , ? 上是减函数 3 6

? ? 5? ? ? ?

18.要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ?

? ?

?? ? 的图象( ) ??

? 个单位 ? ? C.向左平移 个单位 ?
A.向右平移

? 个单位 ? ? D.向左平移 个单位 ?
B.向右平移 )

19.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是(

第 7 页(共 12 页)

A. ? ? , ?

? ? ?? ? ? ??

B. ? , ?
2 2

? ? 3? ? ?? ? ?

C. ? ?, ?

? ?

?? ? ? ?

D. ?

? 3? ? ,? ? 2 ? ? ?


20.函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos A. ? , ?

x 的一个单调增区间是( 2
C. ? 0, ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B. ? , ?

?? ?? ?6 2?

? ?

?? 3?

D. ? ? , ?

? ? ?? ? 6 6?

21.函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为

π 3 11 ? 对称; ①图象 C 关于直线 x ? 12 π 5π ) 内是增函数; ②函灶 f (x) 在区间 (? , 12 12 π ③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C . 3
其中正确的个数有( )个 (A)0 (B)1 (C)2 ) D. 4π (D)3

22.函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是( A.

π 2

B. π

C. 2π

23.下面有五个命题: ①函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 ? . ②终边在 y 轴上的角的集合是 {a | a ?

k? , k ? Z} 2

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

?
2
2

? ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6

)在[0,? ]上是减函数.
(写出所有真命题的编号)

其中真命题的序号是

24.设 f (x) = 6 cos x ? 3 sin 2 x (1)求 f(x)的最大值及最小正周期; (2)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值。

4 5

24. (18)已知函数

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?



2

)

3 (Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限且 cos a ? , 求f(a)。 5
第 8 页(共 12 页)

25. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? (I)求函数 f ( x ) 的值域; (II)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为 间. 26.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , x ? R . (1)求函数 f (x) 在 [0,2? ] 内的单调递增区间; (2)若函数 f (x) 在 x ? x0 处取到最大值,求 f ( x0 ) ? f (2 x0 ) ? f (3x0 ) 的值; (3)若 g ( x) ? e x ( x ? R ) ,求证:方程 f ( x) ? g ( x) 在 ?0,??? 内没有实数解. (参考数据: ln 2 ? 0.69 , ? ? 3.14 ) 实战训练 B 1.为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? π? ? 2 ?x ,x ? R (其中 ? ? 0 ) ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 6? 6? 2 ?

π ,求函数 y ? f ( x) 的单调增区 2

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?
B.向右平移



5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

2.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则 MN 的最大值为 ( A.1 ) B. 2 C. 3 D.2 )

4.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是:( A?

?? ? ? , ? ?3 2?

B?

?? ? ,? ? ?3 ?

C?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

D?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?

5.把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2 ? x ? A y ? sin(2 x ? ) , x ? R B y ? sin( ? ) , x ? R 3 2 6 ? 2? ) ,x?R C y ? sin(2 x ? ) , x ? R D y ? sin(2 x ? 3 3 5? 2? 2? 6.设 a ? sin , b ? cos , c ? tan ,则 7 7 7
第 9 页(共 12 页)

Aa ? b ? c

B a?c?b

C b?c?a

D b?a?c

7 将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 ( ?
) C. (

?
12

, 0) 中

心对称,则向量 ? 的坐标可能为( A. ( ?

?

12

, 0)

B. ( ?

?

6

, 0)

?
12

, 0)

D. (

?
6

, 0)

8 将函数 y ? 3sin( x ? ? ) 的图象 F 按向量 ( 的一个可能取值是 A.

?
3

,3) 平移得到图象 F ? ,若 F ? 的一条对称轴是直线 x ?

?
4

,则 ?

5 ? 12

B. ?

5 ? 12

C.

11 ? 12

D. ?

11 ? 12
)

9.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是( , ?4 2? ?
D.1+ 3

A.1

B.

1? 3 2

C.

3 2

10.函数 f(x)=

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是 3 ? 2 cos x ? 2sin x
B[-1,0] C[- 2,0 ] D[- 3,0 ]

A[-

2 ,0 ] 2

11.函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的值可以为 A.

? 2

B. ?

C.- ?

D.-

12.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( (A)0 (B)1

1 x 3? ? )( x ? [0, ]) 的图象和直线 y ? 的交点个数是 2? 2 2 2
(D)4 )

? 2

(C)2

13.已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如下:那么ω =( A. 1 C. 1/2 B. 2 D. 1/3

? 14.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 15. f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?



16.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期是 17.已知 f ( x) ? sin ? ? x ?



? ?

?? ? (? ? 0),f 3?

?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值,无最大值,则 ?6 3? ?6? ?3?

? =__________.
18. (本小题共 13 分) 第 10 页(共 12 页)

已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (Ⅰ)求 ? 的值;

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 19. (本小题满分 12 分) 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合. 21.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

? 2π ? ? ?

? . 2

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

22.已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相 邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 倍, 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 23.已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域. 24. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ? 第 11 页(共 12 页)

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?

25.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ? , ? . 0 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

?π 1? ? 3 2?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

第 12 页(共 12 页)


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