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江苏专用2018高考数学一轮复习第九章平面解析几何热点探究训练6高考中的圆锥曲线问题


第九章 平面解析几何 热点探究训练 6 高考中的圆锥曲线问题
A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 1.(2017·扬州模拟)如图 3,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,P 是 → → 椭圆上一点,O 为坐标原点,M 在 PF1 上,F1M=λ MP(λ ∈R),PO⊥F2M.

x2 y 2 a b

图3 (1)若椭圆方程为 + =1,P(2, 2),求点 M 的横坐标; 8 4 (2)若 λ =2,求椭圆离心率 e 的取值范围. 【导学号:62172281】 [解] (1)∵ + =1,∴F1(-2,0),F2(2,0), 8 4 ∴kOP= 2 2 ,kF2M=- 2,kF1M= . 2 4 2 (x+2). 4

x2 y2

x2 y 2

∴直线 F2M 的方程为 y=- 2(x-2),直线 F1M 的方程为:y=

?y=- 2?x-2? ? 由? 2 y= ?x+2? ? 4 ?
6 解得 x= , 5 6 ∴点 M 的横坐标为 .6 分 5 (2)设 P(x0,y0),M(xM,yM), → → → 2 1 2 ? → ?2 4 2 ? ?2 ∵F1M=2MP, ∴F1M= (x0+c, y0)=(xM+c, yM), ∴M? x0- c, y0?, F M= x0- c, y0?. 3 3 ? 2 ? 3 3 ? 3 ?3 ?3 → 4 ? 2 2 ?2 ∵PO⊥F2M,OP=(x0,y0),∴? x0- c?x0+ y0=0, 3 ? 3 ?3 即 x0+y0=2cx0.
2 2

1

x0+y0=2cx0 ? ? 2 2 联立方程得?x0 y0 2+ 2=1 ? ?a b
解得 x0=

2

2

,消去 y0 得:c x0-2a cx0+a (a -c )=0.

2 2

2

2

2

2

a?a+c? a?a-c? 或 x0= . c c a?a-c? 2 ∈(0,a),∴0<a -ac<ac, c

∵-a<x0<a,∴x0= 1 解得 e> . 2

?1 ? 综上,椭圆离心率 e 的取值范围为? ,1?.14 分 ?2 ?
x y 1 2.(2017·无锡期末)已知椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,一个焦点到相应的 a b 2
准线的距离为 3,圆 N 的方程为(x-c) +y =a +c (c 为半焦距),直线 l :y=kx+m(k>0) 与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点,分别设为 A,B. (1)求椭圆方程和直线方程; (2)试在圆 N 上求一点 P,使
2 2 2 2 2 2

PB =2 2. PA

[解]

c 1 ? ?a=2, (1)由题意知? a ? c -c=3, ?
2

解得 a=2,c=1,所以 b= 3,

所以椭圆 M 的方程为: + =1. 4 3 圆 N 的方程为(x-1) +y =5.
2 2

x2 y2

x y ? ? + =1, 由直线 l:y=kx+m 与椭圆 M 只有一个公共点,所以由? 4 3 ? ?y=kx+m,
+8kmx+4m -12=0,① 所以 Δ =64k m -4(3+4k )(4m -12)=0 得 m =3+4k .② 由直线 l:y=kx+m 与 N 只有一个公共点,得 即 k +2km+m =5+5k ,③ 将②代入③得 km=1,④ 1 由②,④且 k>0,得:k= ,m=2. 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

得(3+4k )x

2

2

|k+m| 1+k
2

= 5,

2

1 所以直线方程为:y= x+2.6 分 2 3? 1 ? (2)将 k= ,m=2 代入①可得 A?-1, ?, 2 2 ? ? 又过切点 B 的半径所在的直线 l′为:y=-2x+2,所以得交点 B(0,2),设 P(x,y), 因为 =2 2, 则
2 x2 0+?y0-2?

PB PA

? 3?2 2 ?x+1? +?y- ? ? 2?
2

=8,化简得:7x0+7y0+16x0-20y0+22=0,⑤

2

2

又 P(x,y)满足 x0+y0-2x0=4,⑥ 3x0+5 将⑤-7×⑥得:3x0-2y0+5=0,即 y0= .⑦ 2 9 2 将⑦代入⑥得:13x0+22x0+9=0,解得 x0=-1 或 x0=- , 13 所以 P(-1,1)或 P?-

2

? 9 ,19?.14 分 ? ? 13 13?
B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟)

1.(2017·泰州中学高三摸底考试)已知椭圆 Γ : +y =1. 4 (1)椭圆 Γ 的短轴端点分别为 A,B(如图 4),直线 AM,BM 分别与椭圆 Γ 交于 E,F 两

x2

2

? 1? 点,其中点 M?m, ?满足 m≠0,且 m≠± 3. ? 2?
①证明直线 EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关; ②若△BME 面积是△AMF 面积的 5 倍,求 m 的值. (2)若圆 O:x +y =4.l1,l2 是过点 P(0,-1)的两条互相垂直的直线,其中 l1 交圆 O 于 T,R 两点,l2 交椭圆 Γ 于另一点 Q.求△TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程. 【导学号: 62172282】
2 2

图4 1 ? 1? 且 m≠0, [解] (1)①因为 A(0,1), B(0, -1), M?m, ?, ∴直线 AM 的斜率为 k1=- , 2m ? 2?

3

3 直线 BM 的斜率为 k2= , 2m 1 3 ∴直线 AM 的方程为 y=- x+1,直线 BM 的方程为 y= x-1, 2m 2m

? ? 4 +y =1, 由? 1 ? ?y=-2mx+1,
2

x2

得(m +1)x -4mx=0,

2

2

4m ? 4m m -1? ∴x=0,x= 2 ,∴E? 2 , 2 ?, m +1 ?m +1 m +1?

2

? ? 4 +y =1, 由? 3 ? ?y=2mx-1,
2

x2

得(m +9)x -12mx=0,

2

2

12m ? 12m 9-m ? ∴x=0 或 x= 2 ,∴F? 2 , 2 ?; m +9 ?m +9 m +9? 据已知 m≠0,m ≠3, ∴直线 EF 的斜率
2

2

m2-1 9-m2 2- 2 1+m 9+m ?m2+3??m2-3? m2+3 k= = =- , 2 4m 12m -4m?m -3? 4m 2- 2 1+m 9+m
∴直线 EF 的方程为 y- 令 x=0,得 y=2, ∴EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. 1 ②S△AMF= MA·MFsin ∠AMF, 2 4m ? m2-1 m2+3? =- ?x-m2+1?, 2 m +1 4m ? ?

S△BME= MB·MEsin ∠BME,∠AMF=∠BME,
5S△AMF=S△BME,∴5MA·MF=MB·ME, ∴ ∴ 5MA MB = ,

1 2

ME

MF

m . 4m 12m -m 2-m m2+1 9+m


5m

∵m≠0,

4

∴整理方程得

1 15 2 2 = 2 -1,即(m -3)(m -1)=0, m +1 m +9
2 2 2

又有 m≠± 3,∴m -3≠0,∴m =1,∴m=±1 为所求.8 分 (2)因为直线 l1⊥l2,且都过点 P(0,-1),所以设直线 l1:y=kx-1,即 kx-y-1=0, 1 直线 l2:y=- x-1,即 x+ky+k=0,

k

所以圆心(0,0)到直线 l1:y=kx-1,即 kx-y-1=0 的距离 d= 所以直线 l1 被圆 x +y =4 所截的弦
2 2

1 1+k
2



TR=2 4-d2=

2 3+4k 1+k
2

2



x+ky+k=0, ? ? 2 由?x 2 +y =1, ? ?4

得 k x +4x +8kx=0,

2 2

2

8k 所以 xQ+xp=- 2 ,所以 QP= k +4 1 8 4k +3 所以 S△TRQ= QP·TR= 2 = 2 k +4
2

?1+ 12? 64k =8 k +1, ? k ??k2+4?2 k2+4 ? ?
32 4k +3+
2

2

2

13
2



16 = 13, 2 13 13

32

4k +3

当 4k +3=

2

5 10 2 ,即 k = ,解得 k=± 时等号成立, 2 2 4k +3
2

13

此时直线 l1:y=±

10 x-1.16 分 2

2. (2017·苏北四市期末)如图 5, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0) 1 的离心率 e= ,左顶点为 A(-4,0),过点 A 作斜率为 k(k≠0)的直线 l 交椭圆 C 于点 D,交 2

x2 y2 a b

y 轴于点 E.

图5 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 为 AD 的中点, 是否存在定点 Q, 对于任意的 k(k≠0)都有 OP⊥EQ?若存在,
5

求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由; (3)若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M,求 [解] (1)因为左顶点为 A(-4,0),所以 a=4, 1 2 2 2 又 e= ,所以 c=2,b =a -c =12, 2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 16 12

AD+AE 的最小值. OM

x2

y2

x y ? ? + = 1, (2)直线 l 的方程为 y=k(x+4), 由?16 12 ? ?y=k?x+4?,
1.

2

2

[k?x+4?] 消元得, + = 16 12

x2

2

-16k +12 化简得(x+4)[(4k +3)x+16k -12]=0,所以 x1=-4,x2= .8 分 2 4k +3
2 2 2 k +12 ? k +12 24k -16k +12 24k ?-162 ?-162 +4?= 2 , 2 ? 当 x= 时,y=k? ,所以 D? ?. 2 4k +3? 4k +3 ? 4k +3 ? 4k +3 ? 4k +3 2 2

2

因为 P 为 AD 的中点, 所以 P 的坐标为?

k 12k 3 ?-16 , 2 ? 2 ?,kOP=-4k(k≠0), ?4k +3 4k +3?

2

直线 l 的方程为 y=k(x+4),令 x=0 得 E 点坐标为(0,4k), 3 n-4k 假设存在定点 Q(m,n)(m≠0),使得 OP⊥EQ,则 kOP·kEQ=-1,即- · =-1 4k m 恒成立,
?4m+12=0, ? 所以(4m+12)k-3n=0 恒成立,所以? ?-3n=0, ?

即?

?m=-3, ? ?n=0, ?

所以存在定点 Q,对于任意的 k(k≠0)都有 OP⊥EQ,且定点 Q 的坐标为(-3,0).12 分 (3)因为 OM∥l,所以 OM 的方程可设为 y=kx,

x y ? ? + =1, 16 12 由? ? ?y=kx,
由 OM∥l,得
2

2

2

得 M 点的横坐标为 x=±

4 3 4k +3
2



AD+AE |xD-xA|+|xE-xA| xD-2xA = = OM |xM| |xM|

-16k +12 +8 2 2 4k +3 1 4k +9 = = · 2 4 3 3 4k +3 4k +3
2

6



6 1? 2 ? ? 4k +3+ ?≥2 2, 2 4k +3? 3?
2

当且仅当 4k +3=

6 4k +3
2

即 k=±

3 时取等号, 2

所以当 k=±

3 AD+AE 时, 的最小值为 2 2.16 分 2 OM

7


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