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附录1(导数与解析几何典型题)


导数典型题目小结
恒成立问题 (2013 年河南山西河北卷 21) 已知函数 f ( x ) = x ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都
2

过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。 【命题意图】 本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、 函数单调性与导数的关系、 函数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】 (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x ) = 2 x ? b , g ?( x ) = e x (cx ? d ? c) ,∴a=4,b=2,c=2,d=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 , g ( x) ? 2e x ( x ? 1) , 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2kex ( x ? 1) ? x2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ) ,

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ?1) ,
有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1)若 1 ? k ? e
2

, 则 - 2 < x1 ≤ 0 , ∴ 当 x ? (? 2,x1 )时 , F ( x) < 0 , 当

x ? ( x1 ,?? )时,F ( x) >0,即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x)
2 在 x= x1 取最小值 F ( x ,而 F ( x1 ) = 2x1 ? 2 ? x1 ? 4x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0, 1 )

∴当 x≥A-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立,
2 x 2 (2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,
2

∴当 x≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke
2
?2

? 2 = ?2e?2 (k ? e2 ) <0,

∴当 x≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述,k 的取值范围为[1, e ]. 不等式问题 (2013 年陕西卷 21 题).(本小题满分 14 分) 已知函数
2

f ( x) ? e x , x ? R .

(Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. 2 b?a

【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数 g ( x) ? ln x . 设直线 y=kx+1 与 g ( x) ? ln x 相切与点

?kx 0 ? 1 ? lnx 0 ? ?2 2 ?2 P(x 0,y0 )则 ? 1 ? x 0 ? e , k ? e 。所以 k ? e ?k ? g'(x 0 ) ? x 0 ?
(Ⅱ) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0) 的公共点个数即 方程 f ( x) ? mx2 根的个数。 由 f ( x) ? mx ? m ?
2

ex ex xe x ( x ? 2) , 令 h ( x ) ? ? h '( x ) ? , x2 x2 x2

则 h(x)在 (0, 2)上单调递减,这时h(x) ? (h(2), ??);

e2 h(x) 在(2, ??)上单调递增,这时h(x) ? (h(2), ??). h(2) ? . 4
h(2)是y ? h(x)的极小值即最小值。
所以对曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下:

当 m ? (0,

e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= 4

e2 4

( ,有 1 个公共点;当 m ?

e2 , ? ?) 有 4

2 个公共点; (Ⅲ) 设

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

?

(b ? a ? 2) ? ea ? (b ? a ? 2) ? eb (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a a ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, 则g '( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x 。

g '( x)的导函数g ''( x) ? (1 ? x ? 1) ? ex ? x ? ex ? 0,所以g '( x)在(0, ? ?)上单调递增
,且 g '(0) ? 0.因此g '( x) ? 0,g ( x)在(0, ??)上单调递增, 而g (0) ? 0,

所以在(0, ??)上g ( x) ? 0 。

当x ? 0时,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? ex ? 0且a ? b,
? (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a<b时,

f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a ) ? 2 b?a

零点问题 (2013 年江苏卷 20 题) . (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1)若 f ( x ) 在 (1, ??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1, ??) 上有最小值,求 a 的取值范 围; (2)若 g ( x) 在 (?1, ??) 上是单调增函数,试求 f ( x ) 的零点个数,并证明你的结论. 解: (1) f ?( x ) ?

1 1 ? a ≤0 在 (1, ??) 上恒成立,则 a≥ , x x
x

. x ? (1 , ? ?)

故:a≥1. g ?( x) ? e ? a , 若 1≤a≤e,则 g ?( x) ? e ? a ≥0 在 (1, ??) 上恒成立,
x

此时, g ( x) ? e ? ax 在 (1, ??) 上是单调增函数,无最小值,不合;
x

若 a>e,则 g ( x) ? e ? ax 在 (1 ,ln a) 上是单调减函数,在 (ln a,? ?) 上是单调增函数,
x

gmin ( x) ? g (ln a) ,满足.故 a 的取值范围为:a>e.
(2) g ?( x) ? e ? a ≥0 在 (?1, ??) 上恒成立,则 a≤ex,
x

1 1 ? ax 1 故:a≤ . f ?( x) ? ? a ? e x x

( x ? 0) .

1 1 (ⅰ)若 0<a≤ ,令 f ?( x) >0 得增区间为(0, ); e a 令 1 f ?( x) <0 得减区间为(a ,﹢∞).

当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f(x)→﹣∞; 1 1 1 当 x= 时,f( )=﹣lna-1≥0,当且仅当 a= 时取等号. a a e 1 1 故:当 a= 时,f(x)有 1 个零点;当 0<a< 时,f(x)有 2 个零点. e e (ⅱ)若 a=0,则 f(x)=﹣lnx,易得 f(x)有 1 个零点. (ⅲ)若 a<0,则 f ?( x ) ?

1 ? a ? 0 在 (0,? ?) 上恒成立, x

即: f ( x) ? ln x ? ax 在 (0,? ?) 上是单调增函数,当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时, f(x)→﹢∞.此时,f(x)有 1 个零点. 1 1 综上所述:当 a= 或 a<0 时,f(x)有 1 个零点;当 0<a< 时 f(x)有 2 个零点. e e

圆锥曲线典型题目小结:

求轨迹方程:
2

(2013 年高考湖南卷(理) )过抛物线 E : x 的直线 l1 , l2 ,且 k1

? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k2 的两条不同
相交于点 C,D.以 AB,CD 为直径

? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2 与 E

的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l. (I)若 k1

? 0, k2 ? 0 ,证明; FM FN ? 2P2 ;
7 5 5
,求抛物线 E 的方程.

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 【答案】解: (Ⅰ)

p F (0, ).设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), M ( x12 , y12 ), N ( x34 , y34 ), 2 p 直线l1方程:y ? k1 x ? , 与抛物线E方程联立,化简整理得: ? x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 2

? x1 ? x2 ? 2k1 p, x1 ? x2 ? ? p 2 ? 0 ? x12 ?
同理, ? x34 ?

x1 ? x2 p ? k1 p, y12 ? k12 p ? ? FM ? (k1 p, ?k12 p ) 2 2

x1 ? x2 p ? k2 p, y34 ? k2 2 p ? ? FN ? (k2 p, ?k2 2 p) . 2 2

? FM ? FN ? k1k2 p2 ? k12 k22 p2 ? p2 k1k2 (k1k2 ? 1)
k1 ? 0, k2 ? 0, k1 ? k2 , 2 ? k1 ? k2 ? 2 k1k2 ? k1k2 ? 1, ? FM ? FN ? p 2 k1k2 (k1k2 ? 1) ? p 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? 2 p 2
所以, FM (Ⅱ)

? FN ? 2 p2 成立.

(证毕)

1 p p 1 p 设圆M 、N的半径分别为r1 , r2 ? r1 ? [( ? y1 ) ? ( ? y2 )] ? [ p ? 2(k12 p ? )] ? k12 p ? p, 2 2 2 2 2

? r1 ? k12 p ? p,同理2r1 ? k22 p ? p,
设圆M、N的半径分别为r1 , r2 .


M、N的方程分别为( x ? x12 )2 ? ( y ? y12 )2 ? r12 , ( x ? x34 )2 ? ( y ? y34 )2 ? r22,直线l的方程为: 2( x34 ? x12 ) x ? 2( y34 ? y12 ) y ? x122 ? x342 ? y122 ? y342 -r12 ? r22 ? 0 .

? 2 p(k2 ? k1 ) x ? 2 p(k2 2 ? k12 ) y ? ( x12 ? x34 )( x12 ? x34 ) ?( y12 ? y34 )(y12 ? y34 ) ? (r2 -r1 )(r2 ? r1 ) ? 0 ? 2 p(k2 ? k1 ) x ? 2 p(k2 2 ? k12 ) y ? 2 p 2 (k1 ? k2 ) ? p 2 (k12 ? k2 2 )(k12 ? k2 2 ? 1) ? p 2 (k22 ? k12 )(k12 ? k22 ? 2) ? 0
? x ? 2 y ? p ? p(k12 ? k22 ? 1) ? p(k12 ? k22 ? 2) ? 0 ? x ? 2 y ? 0

点M ( x12 , y12 )到直线l的距离d ?|

x12 ? 2 y12 5

|? p? |

2k12 ? k1 ? 1 5

|?

1 1 2(? ) 2 ? (? ) ? 1 7p 7 4 4 p? ? ? 5 5 8 5 5

? p ? 8 ? 抛物线的方程为x2 ? 16 y .


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