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2018届高三文科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版

2018 届高三文科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版 【3 年高考试题比较】 对于导数的解答题,考纲的要求是:1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数 的单调区间(其中多项式函数不超过三次);2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的 极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次); 3.会用导数解决实际问题. 通过比较近三年的高考卷总结如下:一般有两问,(16 年 3 卷出现了三问),第一问往往是以讨论函数单调性和切 线问题为主,第二问主要涉及不等式的恒成立问题,零点问题,函数最值问题,一元的不等式证明和二元的不等 式证明 【必备基础知识融合】 1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=0 f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos__x f(x)=cos x f′(x)=-sin__x f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=ax(a>0) f′(x)=axln__a f(x)=ln x f′(x)=1x f(x)=logax (a>0,a≠1) f′(x)=xln1 a 2.导数的运算法则 若 f′(x),g′(x)存在,则有: (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)???gf((xx))???′=f′(x)g([gx()x-)f(]2 x)g′(x)(g(x)≠0). 3.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′,即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 4.函数的单调性与导数 (1)在区间 D 上,若 f′(x)≥0,且 f′(x)=0 不连续成立?函数 f(x)在区间 D 上递增; (2)在区间 D 上,若 f′(x)≤0,且 f′(x)=0 不连续成立?函数 f(x)在区间 D 上递减; (3)在区间 D 上,若 f′(x)=0 恒成立?函数 f(x)在区间 D 上是常函数. 5.函数的极值与导数 6.函数的最值与导数 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在[a, b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 【解题方法规律技巧】 典例 1:已知曲线 y=13x3+43. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. (2)设曲线 y=13x3+43与过点 P(2,4)的切线相切于点 A??x0,13x30+43??,则切线的斜率为 y′|x=x0=x02. ∴切线方程为 y-??13x30+43??=x20(x-x0),即 y=x20·x-23x30+43.∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x02-23x30+43,即 x30-3x20 +4=0,∴x03+x20-4x20+4=0, ∴x02(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2,故所求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0. 【规律方法】(1)求切线方程的方法: ①求曲线在点 P 处的切线,则表明 P 点是切点,只需求出函数在点 P 处的导数,然后利用点斜式写出切线方程; ②求曲线过点 P 的切线,则 P 点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进 而写出切线方程. (2)处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处 的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上. 典例 2:设函数 f(x)=aln x+xx- +11,其中 a 为常数. (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 【规律方法】 (1)确定函数单调区间的步骤: ①确定函数 f(x)的定义域; ②求 f′(x); ③解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式 f ′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性,如函数 f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(x=0 时,f′(x)=0),但 f(x) =x3 在 R 上是增函数. (3)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当 f(x)含参数时,需依据参 数取值对不等式 解集的影响进行分类讨论.分类讨论时,要做到不重不漏. 典例 3: 已知函数 f(x)=ln x,g(x)=12ax2+2x(a≠0). (1)若函数 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调 递减,求实数 a 的取值范围. 解 (1)h(x)=ln x-12a x2-2x,x∈(0,+∞),① 所以 h′(x)=1x-ax-2,由 h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当 x∈(0,+∞)时,1x-ax-2<0 有解,② 【规律方法】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法: (1)函数 f(x)在区间 D 上存在递增(减)区间. 方法一:转化为“f′(x)>0(<0)在区间 D 上有解”; 方法二:转化为“存在区间 D 的一个子区间使 f′(x)>0(<0)成立”. (2)函数 f(x)在区间 D 上

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