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人教版高中数学必修5测试题及答案全套

第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
Ⅰ 学习目标 1.掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形. 2.会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.
Ⅱ 基础训练题 一、选择题

1.在△ABC 中,若 BC= 2 ,AC=2,B=45°,则角 A 等于( )

(A)60°

(B)30°

(C)60°或 120° (D)30°或 150°

2.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=3,cosC=- 1 ,则 c 等于( ) 4

(A)2

(B)3

(C)4

(D)5

3.在△ABC 中,已知 cosB ? 3 , sin C ? 2 ,AC=2,那么边 AB 等于( )

5

3

(A) 5 4

(B) 5 3

(C) 20 9

(D) 12 5

4.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 B=30°,c=150,b=50 3 ,那么这个三角形

是( )

(A)等边三角形

(B)等腰三角形

(C)直角三角形

(D)等腰三角形或直角三角形

5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,如果 A∶B∶C=1∶2∶3,那么 a∶b∶c 等于( )

(A)1∶2∶3

(B)1∶ 3 ∶2

(C)1∶4∶9

(D)1∶ 2 ∶ 3

二、填空题 6.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,B=45°,C=75°,则 b=________.

7.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=2 3 ,c=4,则 A=________.
8.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 2cosBcosC=1-cosA,则△ABC 形状是________三 角形.
9.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=3,b=4,B=60°,则 c=________.

10.在△ABC 中,若 tanA=2,B=45°,BC= 5 ,则 AC=________.
三、解答题 11.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=4,C=60°,试解△ABC.

12.在△ABC 中,已知 AB=3,BC=4,AC= 13 .
(1)求角 B 的大小; (2)若 D 是 BC 的中点,求中线 AD 的长. 13.如图,△OAB 的顶点为 O(0,0),A(5,2)和 B(-9,8),求角 A 的大小.

1

14.在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,2cos(A+B)=1.
(1)求角 C 的度数; (2)求 AB 的长; (3)求△ABC 的面积.

测试二 解三角形全章综合练习

Ⅰ 基础训练题

一、选择题

1.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b2+c2-a2=bc,则角 A 等于( )

π
(A)
6

π
(B)
3

2.在△ABC 中,给出下列关系式:


(C)
3


(D)
6

①sin(A+B)=sinC

②cos(A+B)=cosC ③ sin A ? B ? cos C

2

2

其中正确的个数是( )

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

3.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a=3,sinA= 2 ,sin(A+C)= 3 ,则 b 等于( )

3

4

(A)4

(B) 8

(C)6

(D) 27

3

8

4.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=3,b=4,sinC= 2 ,则此三角形的面积是( ) 3

(A)8

(B)6

(C)4

(D)3

5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,则

此三角形的形状是( )

(A)直角三角形

(B)正三角形

(C)腰和底边不等的等腰三角形

(D)等腰直角三角形

二、填空题

6.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a= 2 ,b=2,B=45°,则角 A=________.

7.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=3,c= 19 ,则角 C=________.
8.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b=3,c=4,cosA= 3 ,则此三角形的面积为________. 5
9.已知△ABC 的顶点 A(1,0),B(0,2),C(4,4),则 cosA=________. 10.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 满足 2B=A+C,且 AB=1,BC=4,那么边 BC 上的中线 AD 的长为________. 三、解答题 11.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a=3,b=4,C=60°.
(1)求 c; (2)求 sinB. 12.设向量 a,b 满足 a·b=3,|a|=3,|b|=2. (1)求〈a,b〉; (2)求|a-b|. 13.设△OAB 的顶点为 O(0,0),A(5,2)和 B(-9,8),若 BD⊥OA 于 D. (1)求高线 BD 的长; (2)求△OAB 的面积. 14.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B>sin2C,求证:C 为锐角.
2

(提示:利用正弦定理 a ? b ? c ? 2R ,其中 R 为△ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C Ⅱ 拓展训练题
15.如图,两条直路 OX 与 OY 相交于 O 点,且两条路所在直线夹角为 60°,甲、乙两人分别在 OX、OY 上的 A、
B 两点,| OA |=3km,| OB |=1km,两人同时都以 4km/h 的速度行走,甲沿 XO 方向,乙沿 OY 方向.
问:(1)经过 t 小时后,两人距离是多少(表示为 t 的函数)? (2)何时两人距离最近?
16.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cosB ? ? b . cosC 2a ? c
(1)求角 B 的值;
(2)若 b= 13 ,a+c=4,求△ABC 的面积.
3

第二章 数列

测试三 数列

Ⅰ 学习目标

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊的函数. 2.理解数列的通项公式的含义,由通项公式写出数列各项. 3.了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项.
Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1.数列{an}的前四项依次是:4,44,444,4444,…则数列{an}的通项公式可以是( )

(A)an=4n

(B)an=4n

(C)an= 4 (10n-1) 9

(D)an=4×11n

2.在有一定规律的数列 0,3,8,15,24,x,48,63,……中,x 的值是( )

(A)30

(B)35

(C)36

(D)42

3.数列{an}满足:a1=1,an=an-1+3n,则 a4 等于( )

(A)4

(B)13

(C)28

(D)43

4.156 是下列哪个数列中的一项( )

(A){n2+1}

(B){n2-1}

(C){n2+n}

5.若数列{an}的通项公式为 an=5-3n,则数列{an}是( )

(A)递增数列

(B)递减数列

(C)先减后增数列

二、填空题

(D){n2+n-1} (D)以上都不对

6.数列的前 5 项如下,请写出各数列的一个通项公式:

(1)

1,

2 3

,

1 2

,

2 5

,

1 3

,?,

an

=________;

(2)0,1,0,1,0,…,an=________.

7.一个数列的通项公式是

an=

n2 n2 ?1

.

(1)它的前五项依次是________;

(2)0.98 是其中的第________项. 8.在数列{an}中,a1=2,an+1=3an+1,则 a4=________.

9.数列{an}的通项公式为

an

?

1?

2

?

1 3???

(2n

?1)

(n∈N*),则

a3=________.

10.数列{an}的通项公式为 an=2n2-15n+3,则它的最小项是第________项. 三、解答题
11.已知数列{an}的通项公式为 an=14-3n. (1)写出数列{an}的前 6 项; (2)当 n≥5 时,证明 an<0.

12.在数列{an}中,已知

an=

n2

?n 3

?1

(n∈N*).

(1)写出 a10,an+1, an2 ;

(2)79 2 是否是此数列中的项?若是,是第几项? 3

13.已知函数

f

(x)

?

x

?

1 x

,设

an=f(n)(n∈N+).

4

(1)写出数列{an}的前 4 项; (2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?

测试四 等差数列

Ⅰ 学习目标

1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并能解决一些简单问题. 2.掌握等差数列的前 n 项和公式,并能应用公式解决一些简单问题. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能体会等差数列与一次函数的关系.
Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1.数列{an}满足:a1=3,an+1=an-2,则 a100 等于( )

(A)98

(B)-195

(C)-201

(D)-198

2.数列{an}是首项 a1=1,公差 d=3 的等差数列,如果 an=2008,那么 n 等于( )

(A)667

(B)668

(C)669

(D)670

3.在等差数列{an}中,若 a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是(

(A)15

(B)30

(C)31

) (D)64

4.在 a 和 b(a≠b)之间插入 n 个数,使它们与 a,b 组成等差数列,则该数列的公差为( )

(A) b ? a n

(B) b ? a n ?1

(C) b ? a n ?1

(D) b ? a n?2

5.设数列{an}是等差数列,且 a2=-6,a8=6,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则( )

(A)S4<S5

(B)S4=S5

(C)S6<S5

(D)S6=S5

二、填空题

6.在等差数列{an}中,a2 与 a6 的等差中项是________. 7.在等差数列{an}中,已知 a1+a2=5,a3+a4=9,那么 a5+a6=________. 8.设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 S17=102,则 a9=________. 9.如果一个数列的前 n 项和 Sn=3n2+2n,那么它的第 n 项 an=________. 10.在数列{an}中,若 a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),设{an}的前 n 项和是 Sn,则 S10=________. 三、解答题

11.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=7,S4=24.求数列{an}的通项公式.

12.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a10=30,a20=50. (1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n.

13.数列{an}是等差数列,且 a1=50,d=-0.6. (1)从第几项开始 an<0; (2)写出数列的前 n 项和公式 Sn,并求 Sn 的最大值.

Ⅲ 拓展训练题 14.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 3an+1=3an+2(n∈N*),a1+a3+a5+…+a99=90,求 S100.

测试五 等比数列
Ⅰ 学习目标 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能解决一些简单问题. 2.掌握等比数列的前 n 项和公式,并能应用公式解决一些简单问题. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能体会等比数列与指数函数的关系.
Ⅱ 基础训练题 一、选择题
5

1.数列{an}满足:a1=3,an+1=2an,则 a4 等于( )

(A) 3 8

(B)24

(C)48

(D)54

2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5 等于( )

(A)33

(B)72

(C)84

(D)189

3.在等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 等于( )

(A)4

(B) 3

(C) 16

(D)3

2

9

4.在等比数列{an}中,若 a2=9,a5=243,则{an}的前四项和为( )

(A)81

(B)120

(C)168

(D)192

5.若数列{an}满足 an=a1qn-1(q>1),给出以下四个结论:

①{an}是等比数列;

②{an}可能是等差数列也可能是等比数列;

③{an}是递增数列;

④{an}可能是递减数列.

其中正确的结论是( )

(A)①③

(B)①④

(C)②③

(D)②④

二、填空题

6.在等比数列{an}中,a1,a10 是方程 3x2+7x-9=0 的两根,则 a4a7=________.

7.在等比数列{an}中,已知 a1+a2=3,a3+a4=6,那么 a5+a6=________.

8.在等比数列{an}中,若

a5=9,q=

1 2

,则{an}的前

5

项和为________.

9.在 8 和 27 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________. 32

10.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q=________. 三、解答题

11.已知数列{an}是等比数列,a2=6,a5=162.设数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 Sn=242,求 n.

12.在等比数列{an}中,若 a2a6=36,a3+a5=15,求公比 q.

13.已知实数 a,b,c 成等差数列,a+1,b+1,c+4 成等比数列,且 a+b+c=15,求 a,b,c.

Ⅲ 拓展训练题

14.在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于 q,每列上的数从上到

下都成等差数列.aij

表示位于第

i

行第

j

列的数,其中

a24=

1 8

,a42=1,a54=

5 16

.

a11

a12

a13

a14

a15



a1j



a21

a22

a23

a24

a25



a2j



a31

a32

a33

a34

a35



a3j



a41

a42

a43

a44

a45



a4j



















ai1

ai2

ai3

ai4

ai5

aij

















(1)求 q 的值; (2)求 aij 的计算公式.

6

测试六 数列求和

Ⅰ 学习目标

1.会求等差、等比数列的和,以及求等差、等比数列中的部分项的和.

2.会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1.已知等比数列的公比为 2,且前 4 项的和为 1,那么前 8 项的和等于( )

(A)15

(B)17

(C)19

(D)21

2.若数列{an}是公差为

1 2

的等差数列,它的前

100

项和为

145,则

a1+a3+a5+…+a99

的值为(

)

(A)60

(B)72.5

(C)85

(D)120

3.数列{an}的通项公式 an=(-1)n-1·2n(n∈N*),设其前 n 项和为 Sn,则 S100 等于( )

(A)100

(B)-100

(C)200

(D)-200

4.数列

? ? ?

(2n

1 ?1)(2n

?

1)

? ? ?

的前

n

项和为(

)

(A) n 2n ?1

(B) 2n 2n ?1

(C) n 4n ? 2

(D) 2n n ?1

5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=2,且 an+2=an+3(n=1,2,3,…),则 S100 等于( )

(A)7000

(B)7250

(C)7500

(D)14950

二、填空题

6. 1 ? 1 ? 1 ? ? ?

1

=________.

2 ?1 3 ? 2 4 ? 3

n ?1 ? n

7.数列{n+

1 2n

}的前

n

项和为________.

8.数列{an}满足:a1=1,an+1=2an,则

a

2 1

+a

2 2

+…+a

2 n

=________.

9.设 n∈N*,a∈R,则 1+a+a2+…+an=________.

10.1?

1 2

?

2?

1 4

?

3?

1 8

???

n?

1 2n

=________.

三、解答题

11.在数列{an}中,a1=-11,an+1=an+2(n∈N*),求数列{|an|}的前 n 项和 Sn.

12.已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*,x∈R),且对一切正整数 n 都有 f(1)=n2 成立. (1)求数列{an}的通项 an;

(2)求 1 ? 1 ? ? ? 1 .

a1a2 a2a3

an an ?1

13.在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,an=1 ?

1 2

?

1 4

???

1 2n?1

,求数列的前

n 项和 Sn.

Ⅲ 拓展训练题
14.已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=anxn(x∈R),求数列{bn}的前 n 项和公式.
7

测试七 数列综合问题

Ⅰ 基础训练题

一、选择题

1.等差数列{an}中,a1=1,公差 d≠0,如果 a1,a2,a5 成等比数列,那么 d 等于( )

(A)3

(B)2

(C)-2

(D)2 或-2

2.等比数列{an}中,an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5 等于( )

(A)5

(B)10

(C)15

(D)20

3.如果 a1,a2,a3,…,a8 为各项都是正数的等差数列,公差 d≠0,则( )

(A)a1a8>a4a5

(B)a1a8<a4a5

(C)a1+a8>a4+a5

(D)a1a8=a4a5

4.一给定函数 y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意 a1∈(0,1),由关系式 an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+1>

an(n∈N*),则该函数的图象是( )

5.已知数列{an}满足

a1=0, an?1

?

an ? 3 3an ?1

(n∈N*),则

a20 等于(

)

(A)0 二、填空题

(B)- 3

(C) 3

3
(D)
2

6.设数列{an}的首项

a1=

1 4

,且

an?1

?

? ??

1 2

an

,

? ???an

?

1 4

,

n为偶数 ,
则 a2=________,a3=________.
n为奇数.

7.已知等差数列{an}的公差为 2,前 20 项和等于 150,那么 a2+a4+a6+…+a20=________. 8.某种细菌的培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过 3 个小时,这种细菌可以由 1 个繁殖成
________个. 9.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+3n(n∈N*),则 an=________. 10.在数列{an}和{bn}中,a1=2,且对任意正整数 n 等式 3an+1-an=0 成立,若 bn 是 an 与 an+1 的等差中项,则{bn}
的前 n 项和为________. 三、解答题 11.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 an=5Sn-3(n∈N*).
(1)求 a1,a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求 a1+a3+…+a2n-1 的和.

12.已知函数

f(x)=

2 x2 ?

4

(x>0),设

a1=1,a

2 n

?1

·f(an)=2(n∈N*),求数列{an}的通项公式.

13.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的范围; (2)指出 S1,S2,…,S12 中哪个值最大,并说明理由.

8

Ⅲ 拓展训练题 14.甲、乙两物体分别从相距 70m 的两地同时相向运动.甲第 1 分钟走 2m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1m,乙每
分钟走 5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1m,乙继续每分钟走 5m,那么开始运
动几分钟后第二次相遇?

15.在数列{an}中,若 a1,a2 是正整数,且 an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…则称{an}为“绝对差数列”. (1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项); (2)若“绝对差数列”{an}中,a1=3,a2=0,试求出通项 an; (3)*证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

测试八 数列全章综合练习

Ⅰ 基础训练题

一、选择题

1.在等差数列{an}中,已知 a1+a2=4,a3+a4=12,那么 a5+a6 等于( )

(A)16

(B)20

(C)24

(D)36

2.在 50 和 350 间所有末位数是 1 的整数和( )

(A)5880

(B)5539

(C)5208

(D)4877

3.若 a,b,c 成等比数列,则函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为( )

(A)0

(B)1

(C)2

(D)不能确定

4.在等差数列{an}中,如果前 5 项的和为 S5=20,那么 a3 等于( )

(A)-2

(B)2

(C)-4

(D)4

5.若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2007+a2008>0,a2007·a2008<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是( )

(A)4012

(B)4013

(C)4014

(D)4015

二、填空题

6.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 an=________. 7.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和 S20=________. 8.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 Sn=n2-3n+1,则 an=________.

9.等差数列{an}中,公差

d≠0,且

a1,a3,a9

成等比数列,则

a3 ? a6 ? a9 a4 ?a7 ?a10

=________.

10.设数列{an}是首项为

1

的正数数列,且(n+1)a

2 n ?1

-na

2 n

+an+1an=0(n∈N*),则它的通项公式

an=________.

三、解答题 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S13.

12.已知数列{an}中,a1=1,点(an,an+1+1)(n∈N*)在函数 f(x)=2x+1 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)设 cn=Sn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足条件 Sn=3an+2. (1)求证:数列{an}成等比数列; (2)求通项公式 an.

14.某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用 12 万元,从第二年开始包括维修费 在内,每年所需费用均比上一年增加 4 万元,该船每年捕捞的总收入为 50 万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用);
9

(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)? (3)若当盈利总额达到最大值时,渔船以 8 万元卖出,那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元?

Ⅱ 拓展训练题

15.已知函数 f(x)=

1 x2 ?

4

(x<-2),数列{an}满足

a1=1,an=f(-

1 an ?1

)(n∈N*).

(1)求 an;

(2)设

bn=a

2 n ?1

+a

2 n?2

+…+a

2 2 n ?1

,是否存在最小正整数

m,使对任意

n∈N*有

bn<

m 25

成立?若存在,求出

m

的值,若不存在,请说明理由.

16.已知 f 是直角坐标系平面 xOy 到自身的一个映射,点 P 在映射 f 下的象为点 Q,记作 Q=f(P). 设 P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),….如果存在一个圆,使所有的点 Pn(xn,yn)(n∈N*)
都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点 Pn(xn,yn)的一个收敛圆.特别地,当 P1=f(P1)时,则称点 P1 为映射 f 下的不动点.
若点 P(x,y)在映射 f 下的象为点 Q(-x+1, 1 y). 2
(1)求映射 f 下不动点的坐标; (2)若 P1 的坐标为(2,2),求证:点 Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一个半径为 2 的收敛圆.

10

第三章 不等式

测试九 不等式的概念与性质

Ⅰ 学习目标

1.了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景,掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2.理解不等式的基本性质及其证明.
Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1.设 a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是( )

(A)a>b ?a-c>b-c

(B)a>b ?ac>bc

(C)a>b ?a2>b2

(D)a>b ?ac2>bc2

2.若-1<?<?<1,则?-???的取值范围是( )

(A)(-2,2)

(B)(-2,-1)

(C)(-1,0)

(D)(-2,0)

3.设 a>2,b>2,则 ab 与 a+b 的大小关系是( )

(A)ab>a+b

(B)ab<a+b

(C)ab=a+b

(D)不能确定

4.使不等式 a>b 和 1 ? 1 同时成立的条件是( ab

(A)a>b>0

(B)a>0>b

5.设 1<x<10,则下列不等关系正确的是(

(A)lg2x>lgx2>lg(lgx)

(C)lgx2>lg2x>1g(lgx)

二、填空题

)

(C)b>a>0

(D)b>0>a

) (B)lg2x>lg(lgx)>lgx2 (D)lgx2>lg(lgx)>lg2x

6.已知 a<b<0,c<0,在下列空白处填上适当不等号或等号:

(1)(a-2)c________(b-2)c; (2) c ________ c ; (3)b-a________|a|-|b|.

a

b

7.已知 a<0,-1<b<0,那么 a、ab、ab2 按从小到大排列为________.

8.已知 60<a<84,28<b<33,则 a-b 的取值范围是________; a 的取值范围是________. b

9.已知 a,b,c∈R,给出四个论断:①a>b;②ac2>bc2;③ a ? b ;④a-c>b-c.以其中一个论断作条件,另 cc
一个论断作结论,写出你认为正确的两个命题是________ ?________;________ ?________.(在“ ?”的两
侧填上论断序号).

a? 3
10.设 a>0,0<b<1,则 P= b 2 与 Q ? b

(a?1)(a?2) 的大小关系是________.

三、解答题

11.若 a>b>0,m>0,判断 b 与 b ? m 的大小关系并加以证明. a a?m

12.设

a>0,b>0,且

a≠b,

p

?

a2 b

?

b2 a

,q

?

a

? b .证明:p>q.

注:解题时可参考公式 x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2).

Ⅲ 拓展训练题 13.已知 a>0,且 a≠1,设 M=loga(a3-a+1),N=loga(a2-a+1).求证:M>N.

14.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,试比较 a5 和 b5 的大小.
11

测试十 均值不等式

Ⅰ 学习目标

1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1.已知正数 a,b 满足 a+b=1,则 ab( )

(A)有最小值 1 4

(B)有最小值 1 2

2.若 a>0,b>0,且 a≠b,则( )

(C)有最大值 1 4

(D)有最大值 1 2

(A) a ? b ? 2

ab ?

a2 ? b2 2

a ? b a2 ? b2

(B) ab ?

?

2

2

a2 ? b2 a ? b

(C) ab ?

2

? 2

a2 ? b2

a?b

(D)

2

? ab ? 2

3.若矩形的面积为 a2(a>0),则其周长的最小值为( )

(A)a

(B)2a

(C)3a

4.设 a,b∈R,且 2a+b-2=0,则 4a+2b 的最小值是( )

(D)4a

(A) 2 2

(B)4

(C) 4 2

(D)8

5.如果正数 a,b,c,d 满足 a+b=cd=4,那么( ) (A)ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 (B)ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 (C)ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 (D)ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一
二、填空题

6.若 x>0,则变量 x ? 9 的最小值是________;取到最小值时,x=________. x

7.函数

y=

4x x2 ?1

(x>0)的最大值是________;取到最大值时,x=________.

8.已知 a<0,则 a ? 16 的最大值是________. a?3
9.函数 f(x)=2log2(x+2)-log2x 的最小值是________. 10.已知 a,b,c∈R,a+b+c=3,且 a,b,c 成等比数列,则 b 的取值范围是________. 三、解答题

11.四个互不相等的正数 a,b,c,d 成等比数列,判断 a ? d 和 bc 的大小关系并加以证明. 2

12.已知

a>0,a≠1,t>0,试比较

1 2

logat



log

a

t

?1 2

的大小.

Ⅲ 拓展训练题
13.若正数 x,y 满足 x+y=1,且不等式 x ? y ? a 恒成立,求 a 的取值范围.
14.(1)用函数单调性的定义讨论函数 f(x)=x+ a (a>0)在(0,+∞)上的单调性; x
(2)设函数 f(x)=x+ a (a>0)在(0,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的解析式. x
12

测试十一 一元二次不等式及其解法
Ⅰ 学习目标 1.通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2.会解简单的一元二次不等式.
Ⅱ 基础训练题 一、选择题 1.不等式 5x+4>-x2 的解集是( )

(A){x|x>-1,或 x<-4}

(B){x|-4<x<-1 }

(C){x|x>4,或 x<1}
2.不等式-x2+x-2>0 的解集是( )
(A){x|x>1,或 x<-2}
(C)R 3.不等式 x2>a2(a<0)的解集为( )
(A){x|x>±a}

(D){x|1<x<4 }
(B){x|-2<x<1}
(D) ? (B){x|-a<x<a }

(C){x|x>-a,或 x<a}

(D){x|x>a,或 x<-a}

4.已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x | ? 1 ? x ? 2},则不等式 cx2+bx+a<0 的解集是( ) 3

(A){x|-3<x< 1 } 2

(B){x|x<-3,或 x> 1 } 2

(C){x-2<x< 1 } 3

(D){x|x<-2,或 x> 1 } 3

5.若函数 y=px2-px-1(p∈R)的图象永远在 x 轴的下方,则 p 的取值范围是( )

(A)(-∞,0)

(B)(-4,0]

(C)(-∞,-4) (D)[-4,0)

二、填空题

6.不等式 x2+x-12<0 的解集是________.

7.不等式 3x ?1 ? 0 的解集是________. 2x ? 5
8.不等式|x2-1|<1 的解集是________. 9.不等式 0<x2-3x<4 的解集是________.

10.已知关于 x 的不等式 x2-(a+ 1 )x+1<0 的解集为非空集合{x|a<x< 1 },则实数 a 的取值范围是________.

a

a

三、解答题

11.求不等式 x2-2ax-3a2<0(a∈R)的解集.

12.k

在什么范围内取值时,方程组

?x2 ?

?

y2

?

2x

?

0

有两组不同的实数解?

?3x ? 4 y ? k ? 0

Ⅲ 拓展训练题 13.已知全集 U=R,集合 A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0},C={x|x2-4ax+3a2<0}.
(1)求实数 a 的取值范围,使 C ? (A∩B); (2)求实数 a 的取值范围,使 C ? ( UA)∩( UB).

14.设 a∈R,解关于 x 的不等式 ax2-2x+1<0.

13

测试十二 不等式的实际应用
Ⅰ 学习目标 会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.
Ⅱ 基础训练题 一、选择题
1.函数 y ? 1 的定义域是( ) 4 ? x2

(A){x|-2<x<2 }

(B){x|-2≤x≤2 }

(C){x|x>2,或 x<-2}

(D){x|x≥2,或 x≤-2}

2.某村办服装厂生产某种风衣,月销售量 x(件)与售价 p(元/件)的关系为 p=300-2x,生产 x 件的成本 r=500+

30x(元),为使月获利不少于 8600 元,则月产量 x 满足( )

(A)55≤x≤60

(B)60≤x≤65

(C)65≤x≤70

(D)70≤x≤75

3.国家为了加强对烟酒生产管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶 70 元,不征收附加税时,每年大约产销

100 万瓶;若政府征收附加税,每销售 100 元征税 r 元,则每年产销量减少 10r 万瓶,要使每年在此项经营中所

收附加税不少于 112 万元,那么 r 的取值范围为( )

(A)2≤r≤10

(B)8≤r≤10

(C)2≤r≤8

(D)0≤r≤8

4.若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( )

(A)2∈M,0∈M

(B)2?M,0?M

(C)2∈M,0?M

(D)2?M,0∈M

二、填空题

5.已知矩形的周长为 36cm,则其面积的最大值为________.

6.不等式 2x2+ax+2>0 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是________.

7.已知函数 f(x)=x|x-2|,则不等式 f(x)<3 的解集为________.

8.若不等式|x+1|≥kx 对任意 x∈R 均成立,则 k 的取值范围是________.

三、解答题

9.若直角三角形的周长为 2,求它的面积的最大值,并判断此时三角形形状.

10.汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析事故的一个主要因素,在一个限速为 40km/h 的弯道上,甲乙两车相向而行,发现情况不对同 时刹车,但还是相撞了,事后现场测得甲车刹车的距离略超过 12m,乙车的刹车距离略超过 10m.已知甲乙两 种车型的刹车距离 s(km)与车速 x(km/h)之间分别有如下关系:s 甲=0.1x+0.01x2,s 乙=0.05x+0.005x2.问交 通事故的主要责任方是谁?

Ⅲ 拓展训练题 11.当 x∈[-1,3]时,不等式-x2+2x+a>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

12.某大学印一份招生广告,所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为 4cm 的空白,上下留有都为 6cm 的空白,中间排 版面积为 2400cm2.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最小?

14

测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

Ⅰ 学习目标

1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.

2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1.已知点 A(2,0),B(-1,3)及直线 l:x-2y=0,那么( )

(A)A,B 都在 l 上方

(B)A,B 都在 l 下方

(C)A 在 l 上方,B 在 l 下方

(D)A 在 l 下方,B 在 l 上方

?x ? 0,

2.在平面直角坐标系中,不等式组

? ?

y

?

0,

所表示的平面区域的面积为(

)

??x ? y ? 2

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

3.三条直线 y=x,y=-x,y=2 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是( )

?y ? x,

(A)

? ?

y

?

?

x,

?? y ? 2.

?y ? x,

(B)

? ?

y

?

?

x,

? ?

y

?

2.

?y ? x,

(C)

? ?

y

?

?

x,

?? y ? 2.

?y ? x,

(D)

? ?

y

?

?

x,

? ?

y

?

2.

?x ? y ? 5 ? 0, 4.若 x,y 满足约束条件 ??x ? y ? 0, 则 z=2x+4y 的最小值是( )
??x ? 3,

(A)-6

(B)-10

(C)5

(D)10

5.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元,70 元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件

至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式共有( )

(A)5 种

(B)6 种

(C)7 种

(D)8 种

二、填空题

6.在平面直角坐标系中,不等式组

? ? ?

x y

? ?

0 0

所表示的平面区域内的点位于第________象限.

7.若不等式|2x+y+m|<3 表示的平面区域包含原点和点(-1,1),则 m 的取值范围是________.

?x ? 1,

8.已知点

P(x,y)的坐标满足条件

? ?

y

?

3,

那么 z=x-y 的取值范围是________.

??3x ? y ? 3 ? 0,

?x ? 1,

9.已知点

P(x,y)的坐标满足条件

? ?

y

?

2,

??2x ? y

?

2

?

0,

那么

y x

的取值范围是________.

10.方程|x|+|y|≤1 所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题 11.画出下列不等式(组)表示的平面区域:

(1)3x+2y+6>0

?x ? 1,

(2)

? ?

y

?

?2,

??x ? y ? 1 ? 0.

15

12.某实验室需购某种化工原料 106kg,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35kg,价格为 140 元;另一种 是每袋 24kg,价格为 120 元.在满足需要的前提下,最少需要花费多少元?

Ⅲ 拓展训练题 13.商店现有 75 公斤奶糖和 120 公斤硬糖,准备混合在一起装成每袋 1 公斤出售,有两种混合办法:第一种每袋
装 250 克奶糖和 750 克硬糖,每袋可盈利 0.5 元;第二种每袋装 500 克奶糖和 500 克硬糖,每袋可盈利 0.9 元. 问每一种应装多少袋,使所获利润最大?最大利润是多少?

14.甲、乙两个粮库要向 A,B 两镇运送大米,已知甲库可调出 100 吨,乙库可调出 80 吨,而 A 镇需大米 70 吨, B 镇需大米 110 吨,两个粮库到两镇的路程和运费如下表:

路程(千米)

运费(元/吨·千米)

甲库

乙库

甲库

乙库

A镇

20

15

12

12

B镇

25

20

10

8

问:(1)这两个粮库各运往 A、B 两镇多少吨大米,才能使总运费最省?此时总运费是多少? (2)最不合理的调运方案是什么?它给国家造成不该有的损失是多少?

测试十四 不等式全章综合练习

Ⅰ基础训练题

一、选择题

1.设 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式中一定正确的是( )

(A)ac2>bc2

(B) 1 ? 1 ab

(C)a-c>b-c

(D)|a|>|b|

?x ? y ? 4 ? 0, 2.在平面直角坐标系中,不等式组 ??2x ? y ? 4 ? 0, 表示的平面区域的面积是( )
?? y ? 2

(A) 3 2

(B)3

(C)4

(D)6

3.某房地产公司要在一块圆形的土地上,设计一个矩形的停车场.若圆的半径为 10m,则这个矩形的面积最大值是

() (A)50m2

(B)100m2

(C)200m2

(D)250m2

4.设函数

f(x)=

x2

?x x2

?

2

,若对

x>0

恒有

xf(x)+a>0

成立,则实数

a

的取值范围是(

)

(A)a<1-2 2

(B)a<2 2 -1 (C)a>2 2 -1

5.设 a,b∈R,且 b(a+b+1)<0,b(a+b-1)<0,则( )

(A)a>1

(B)a<-1

(C)-1<a<1

二、填空题

(D)a>1-2 2
(D)|a|>1

16

6.已知 1<a<3,2<b<4,那么 2a-b 的取值范围是________, a 的取值范围是________. b
7.若不等式 x2-ax-b<0 的解集为{x|2<x<3},则 a+b=________. 8.已知 x,y∈R+,且 x+4y=1,则 xy 的最大值为________.
9.若函数 f(x)= 2x2?2ax??a ?1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.
10.三个同学对问题“关于 x 的不等式 x2+25+|x3-5x2|≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自 的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值.” 丙说:“把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图象.” 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是________.
三、解答题
11.已知全集 U=R,集合 A={x| |x-1|<6} ,B={x| x ? 8 >0}.
2x ?1 (1)求 A∩B; (2)求( UA)∪B.

12.某工厂用两种不同原料生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本 1000 元,运费 500 元,可得产品 90 千克; 若采用乙种原料,每吨成本 1500 元,运费 400 元,可得产品 100 千克.今预算每日原料总成本不得超过 6000 元,运费不得超过 2000 元,问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克,才能使产品的日产量最大?

Ⅱ 拓展训练题

13.已知数集

A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质

P:对任意的

i,j(1≤i≤j≤n),aiaj



aj ai



数中至少有一个属于 A.

(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质 P,并说明理由;

(2)证明:a1=1,且

a1 ? a2 ? ? ? an a1?1?a2?1???an?1

? an .

17

一、选择题

测试十五 必修 5 模块自我检测题

1.函数 y ? x2 ? 4 的定义域是( )

(A)(-2,2)

(B)(-∞,-2)∪(2,+∞)

(C)[-2,2]

(D)(-∞,-2]∪[2,+∞)

2.设 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )

(A)a-b<0
(C) ab < a ? b 2

(B)0< a <1 b
(D)ab>a+b

?x ? 1,

3.设不等式组

? ?

y

? 0,

所表示的平面区域是 W,则下列各点中,在区域 W 内的点是(

)

?? x? y?0

(A) (1 , 1) 23

(B) (? 1 , 1) 23

(C) (? 1 ,? 1) 23

(D) (1 ,? 1) 23

4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列不等式中一定成立的是( )

(A)a1+a3>0

(B)a1a3>0

(C)S1+S3<0

(D)S1S3<0

5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 a∶b∶c 等于( )

(A)1∶ 3 ∶2

(B)1∶2∶3

(C)2∶ 3 ∶1

(D)3∶2∶1

6.已知等差数列{an}的前 20 项和 S20=340,则 a6+a9+a11+a16 等于( )

(A)31

(B)34

(C)68

(D)70

7.已知正数 x、y 满足 x+y=4,则 log2x+log2y 的最大值是( )

(A)-4

(B)4

(C)-2

(D)2

8.如图,在限速为 90km/h 的公路 AB 旁有一测速站 P,已知点 P 距测速区起点 A 的距离为 0.08 km,距测速区终

点 B 的距离为 0.05 km,且∠APB=60°.现测得某辆汽车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为 3s,则此车的速度介

于( )

(A)60~70km/h

(B)70~80km/h

(C)80~90km/h

(D)90~100km/h

二、填空题

9.不等式 x(x-1)<2 的解集为________.

10.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列,则 cos(A+C)的值为________.

11.已知{an}是公差为-2 的等差数列,其前 5 项的和 S5=0,那么 a1 等于________.
12.在△ABC 中,BC=1,角 C=120°,cosA= 2 ,则 AB=________. 3

18

?x ? 0, y ? 0 13.在平面直角坐标系中,不等式组 ??2x ? y ? 4 ? 0 ,所表示的平面区域的面积是________;变量 z=x+3y 的最大
??x ? y ? 3 ? 0

值是________.

14.如图,n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列方阵,符号 aij(1≤i≤n,1≤j≤n,i,j∈N)表示位于第 i 行第 j 列的正数.

已知每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,且各列数的公比都等于

q.若

a11=

1 2

,a24=1,a32=

1 4



则 q=________;aij=________.

三、解答题 15.已知函数 f(x)=x2+ax+6.
(1)当 a=5 时,解不等式 f(x)<0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

16.已知{an}是等差数列,a2=5,a5=14. (1)求{an}的通项公式; (2)设{an}的前 n 项和 Sn=155,求 n 的值.

17.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,A,B 是锐角,c=10,且 cos A ? b ? 4 . cos B a 3
(1)证明角 C=90°; (2)求△ABC 的面积.

18.某厂生产甲、乙两种产品,生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给

该厂的煤至多 56 吨,供电至多 45 千瓦,问该厂如何安排生产,使得该厂日产值最大?

用煤(吨)

用电(千瓦)

产值(万元)

甲种产品

7

2

8

乙种产品

3

5

11

19.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cosA= 1 . 3
(1)求 sin2 B ? C ? cos 2A 的值; 2
(2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值.

20.数列{an}的前 n 项和是 Sn,a1=5,且 an=Sn-1(n=2,3,4,…).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 3 ?

a1 a2 a3

an 5

19

参考答案

第一章 解三角形

一、选择题 1.B 2.C 提示:

3.B

4.D

测试一 正弦定理和余弦定理
5.B

4.由正弦定理,得 sinC= 3 ,所以 C=60°或 C=120°, 2
当 C=60°时,∵B=30°,∴A=90°,△ABC 是直角三角形; 当 C=120°时,∵B=30°,∴A=30°,△ABC 是等腰三角形. 5.因为 A∶B∶C=1∶2∶3,所以 A=30°,B=60°,C=90°,
由正弦定理 a ? b ? c =k, sin A sin B sin C

得 a=k·sin30°= 1 k,b=k·sin60°= 3 k,c=k·sin90°=k,

2

2

所以 a∶b∶c=1∶ 3 ∶2.

二、填空题

6.

2

6 3

7.30° 8.等腰三角形 9. 3 ? 2 37

10.

5

2 4

提示:

8.∵A+B+C=π ,∴-cosA=cos(B+C).∴2cosBcosC=1-cosA=cos(B+C)+1,

∴2cosBcosC=cosBcosC-sinBsinC+1,∴cos(B-C)=1,∴B-C=0,即 B=C.

9.利用余弦定理 b2=a2+c2-2accosB.

10.由 tanA=2,得 sin A ?

2 5

,根据正弦定理,得

AC sin B

?

BC sin A

,得

AC=

52 4

.

三、解答题

11.c=2 3 ,A=30°,B=90°.

12.(1)60°;(2)AD= 7 .
13.如右图,由两点间距离公式,

得 OA= (5 ? 0)2 ? (2 ? 0)2 ? 29 ,

同理得 OB ? 145, AB ? 232 .由余弦定理,得

cosA=

OA2 ? AB2 ? OB2 2?OA?AB

?

2 2



∴A=45°.

20

14.(1)因为 2cos(A+B)=1,所以 A+B=60°,故 C=120°.
(2)由题意,得 a+b=2 3 ,ab=2,
又 AB2=c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC =12-4-4×( ? 1 )=10. 2
所以 AB= 10 .

(3)S△ABC=

1 2

absinC=

1 2

·2·

3= 2

3. 2

测试二 解三角形全章综合练习

1.B 2.C 3.D 4.C 5.B

提示:

5.化简(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得 b2+c2-a2=bc,

由余弦定理,得

cosA=

b2

? c2 ? a2 2bc

?

1 2

,所以∠A=60°.

因为 sinA=2sinBcosC,A+B+C=180°,

所以 sin(B+C)=2sinBcosC,

即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.

所以 sin(B-C)=0,故 B=C.

故△ABC 是正三角形.

二、填空题

6.30° 7.120° 三、解答题

8. 24 5

9.

5 5

10. 3

11.(1)由余弦定理,得 c= 13 ;

(2)由正弦定理,得

sinB=

2 39 13

.

12.(1)由 a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉,得〈a,b〉=60°;

(2)由向量减法几何意义,

知|a|,|b|,|a-b|可以组成三角形,

所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2|a|·|b|·cos〈a,b〉=7,

故|a-b|= 7 .
13.(1)如右图,由两点间距离公式,

得 OA ? (5 ? 0)2 ? (2 ? 0)2 ? 29 ,
同理得 OB ? 145, AB ? 232 . 由余弦定理,得
21

cos A ?

OA2 ? AB2 ? OB2 2?OA?AB

?

2, 2

所以 A=45°.

故 BD=AB×sinA=2 29 .

(2)S△OAB=

1 2

·OA·BD=

1 2

·

29 ·2

29 =29.

14.由正弦定理 a ? b ? c ? 2R , sin A sin B sin C

得 a ? sin A, b ? sin B, c ? sin C .

2R

2R

2R

因为 sin2A+sin2B>sin2C,

所以 ( a )2 ? ( b )2 ? ( c )2 , 2R 2R 2R
即 a2+b2>c2.

所以 cosC= a2

? b2 ? c2 2ab

>0,

由 C∈(0,π ),得角 C 为锐角. 15.(1)设 t 小时后甲、乙分别到达 P、Q 点,如图,

则|AP|=4t,|BQ|=4t,因为|OA|=3,所以 t= ? h 时,P 与 O 重合. 4
故当 t∈[0, ? ]时, 4
|PQ|2=(3-4t)2+(1+4t)2-2×(3-4t)×(1+4t)×cos60°;
当 t> ? h 时,|PQ|2=(4t-3)2+(1+4t)2-2×(4t-3)×(1+4t)×cos120°. 4

故得|PQ|= 48t 2 ? 24t ? 7 (t≥0).

(2)当 t= ? ? 24 ? 1 h 时,两人距离最近,最近距离为 2km. 2? 48 4

16.(1)由正弦定理 a ? b ? c ? 2R , sin A sin B sin C
得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

所以等式 cos B ? ? b 可化为 cos B ? ?

2R sin B



cos C 2a ? c

cos C 2 ? 2R sin A ? 2R sin C

即 cos B ? ? sin B , cos C 2sin A ? sin C
2sinAcosB+sinCcosB=-cosC·sinB, 故 2sinAcosB=-cosCsinB-sinCcosB=-sin(B+C), 因为 A+B+C=π ,所以 sinA=sin(B+C),

故 cosB=- 1 , 2
所以 B=120°.
22

(2)由余弦定理,得 b2=13=a2+c2-2ac×cos120°, 即 a2+c2+ac=13 又 a+c=4,

解得

?a ??c

? ?

1 3

,或

?a ??c

?3 ?1

.

所以

S△ABC=

1 2

acsinB=

1 2

×1×3×

3 =3 3. 24

第二章 数列

测试三 数列

一、选择题

1.C 2.B 3.C 4.C 5.B

二、填空题

6.(1) an

?

2 n ?1

(或其他符合要求的答案)

(2) an

?

1?

(?1)n 2

(或其他符合要求的答案)

7.(1) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 2 5 10 17 26

(2)7 8.67 9. 1 15

10.4

提示:

9.注意 an 的分母是 1+2+3+4+5=15. 10.将数列{an}的通项 an 看成函数 f(n)=2n2-15n+3,利用二次函数图象可得答案. 三、解答题

11.(1)数列{an}的前 6 项依次是 11,8,5,2,-1,-4; (2)证明:∵n≥5,∴-3n<-15,∴14-3n<-1,

故当 n≥5 时,an=14-3n<0.

12.(1) a10

? 109 3

, an?1

?

n2

? 3n ?1

3

,

a n

2

?

n4

? n2 3

?1;

(2)79 2 是该数列的第 15 项. 3

13.(1)因为

an=n-

1 n

,所以

a1=0,a2=

3 2

,a3=

8 3

,a4=

15 4



(2)因为

an+1-an=[(n+1)

?

1 n ?1

]-(n-

1 n

)=1+

1 n(n ? 1)

又因为 n∈N+,所以 an+1-an>0,即 an+1>an. 所以数列{an}是递增数列.
测试四

等差数列

一、选择题

1.B 2.D 3.A 4.B 5.B

二、填空题

6.a4 7.13 提示:

8.6

9.6n-1

10.35

10.方法一:求出前 10 项,再求和即可; 方法二:当 n 为奇数时,由题意,得 an+2-an=0,所以 a1=a3=a5=…=a2m-1=1(m∈N*). 当 n 为偶数时,由题意,得 an+2-an=2, 即 a4-a2=a6-a4=…=a2m+2-a2m=2(m∈N*).
23

所以数列{a2m}是等差数列.

故 S10=5a1+5a2+ 5 ? (5 ?1) ×2=35. 2

三、解答题

11.设等差数列{an}的公差是 d,依题意得

??a1 ? 2d ? 7,

???4a1

?

4

? 2

3

d

?

解得 24.

???da1??23.,

∴数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n+1. 12.(1)设等差数列{an}的公差是 d,依题意得

???aa11

? ?

9d ? 30, 19d ? 50.

解得

???da1??21.2,

∴数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n+10.

(2)数列{an}的前

n

项和

Sn=n×12+

n

?

(n 2

? 1)

×2=n2+11n,

∴Sn=n2+11n=242,解得 n=11,或 n=-22(舍). 13.(1)通项 an=a1+(n-1)d=50+(n-1)×(-0.6)=-0.6n+50.6.
解不等式-0.6n+50.6<0,得 n>84.3.

因为 n∈N*,所以从第 85 项开始 an<0.

(2)Sn=na1+ n(n ? 1) d=50n+ n(n ?1) ×(-0.6)=-0.3n2+50.3n.

2

2

由(1)知:数列{an}的前 84 项为正值,从第 85 项起为负值,

所以(Sn)max=S84=-0.3×842+50.3×84=2108.4.

14.∵3an+1=3an+2,∴an+1-an=

2 3



由等差数列定义知:数列{an}是公差为

2 3

的等差数列.

记 a1+a3+a5+…+a99=A,a2+a4+a6+…+a100=B,



B=(a1+d)+(a3+d)+(a5+d)+…+(a99+d)=A+50d=90+

100 3

.

所以

S100=A+B=90+90+

100 3

=213

1 3

.

测试五

等比数列

一、选择题

1.B 2.C 3.A 4.B 5.D

提示:

5.当 a1=0 时,数列{an}是等差数列;当 a1≠0 时,数列{an}是等比数列; 当 a1>0 时,数列{an}是递增数列;当 a1<0 时,数列{an}是递减数列.
二、填空题

6.-3 7.12 8.279 9.216 10.-2

提示:

10.分 q=1 与 q≠1 讨论.

当 q=1 时,Sn=na1,又∵2Sn=Sn+1+Sn+2, ∴2na1=(n+1)a1+(n+2)a1, ∴a1=0(舍).

24



q≠1,Sn=

a1(1 ? qn ) 1? q

.又∵2Sn=Sn+1+Sn+2,

∴2× a1(1 ? qn ) = a1(1 ? qn?1) ? a1(1 ? qn?2 ) ,

1? q

1? q

1? q

解得 q=-2,或 q=1(舍). 三、解答题 11.(1)an=2×3n-1; (2)n=5.
12.q=±2 或± 1 . 2

?a ? c ? 2b,

?a ? 2 ?a ? 11

13.由题意,得

? ?(a

? 1)(c

?

4)

?

(b

? 1)2

,解得 ??b

?

5

,或

??b

?

5

.

??a?b?c?15.

??c ? 8

??c ? ?1

14.(1)设第 4

列公差为

d,则 d

?

a54 ? a24 5?2

?

5? 16
3

1 8

? 1. 16



a44=a54-d=

5 16

?

1 16

?

1 4

,于是

q2=

a44 a42

?

1 4

.

由于

aij>0,所以

q>0,故

q=

1 2

.

(2)在第

4

列中,ai4=a24+(i-2)d=

1 8

?

1 16

(i

?

2)

?

1 16

i

.

由于第 i 行成等比数列,且公比 q= 1 , 2

所以,aij=ai4·qj-4=

1i 16

?

(1) 2

j?4

?

i

?

(1) 2

j

.

测试六

数列求和

一、选择题

1.B 2.A 提示:

3.B

4.A

5.C

1.因为 a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q4=1×24=16, 所以 S8=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)=1+16=17.

2.参考测试四第 14 题答案.

3.由通项公式,得 a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=-2,所以 S100=50×(-2)=-100.

4. 1 ? 1 ???

1

? 1 (1? 1) ? 1 (1 ? 1) ??? 1 ( 1 ? 1 )

1?3 3?5

(2n ?1)(2n ?1) 2 3 2 3 5

2 2n ?1 2n ?1

? 1 [(1? 1) ? (1 ? 1) ??? ( 1 ? 1 )] ? n .

2 3 35

2n ?1 2n ?1 2n ?1

5.由题设,得 an+2-an=3,所以数列{a2n-1}、{a2n}为等差数列, 前 100 项中奇数项、偶数项各有 50 项,

其中奇数项和为 50×1+ 50 ? 49 ×3=3725,偶数项和为 50×2+ 50 ? 49 ×3=3775,

2

2

所以 S100=7500. 二、填空题

6. n ?1 ?1

7.

n(n ? 1) 2

?

1 2n

?1

8. 1 (4n-1) 3

25

?

?1,

9. ??n ? 1,

??1 ?

? a n?1 1?a

,

(a ? 0) (a ? 1)
(a ?? 0,且a ?? 1)

10.

2

?

1 2n?1

?

n 2n

提示:

6.利用

1

? n ?1 ? n 化简后再求和.

n?1 ? n

8.由 an+1=2an,得

an?1 an

?

2

,∴

a2 n?1 an2

=4,

故数列{a

2 n

}是等比数列,再利用等比数列求和公式求和.

10.错位相减法.

三、解答题

11.由题意,得 an+1-an=2,所以数列{an}是等差数列,是递增数列.

∴an=-11+2(n-1)=2n-13,



an=2n-13>0,得

n>

13 2

.

所以,当 n≥7 时,an>0;当 n≤6 时,an<0.

当 n≤6 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an

=-[n×(-11)+ n(n ?1) ×2]=12n-n2; 2

当 n≥7 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-a6+a7+a8+…+an

=(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6)

=n×(-11)+ n(n ?1) ×2-2[6×(-11)+ 6? 5 ×2]=n2-12n+72.

2

2

Sn=

? ? ?n

12n ? n2 2 ?12n ?

, 72,

(n ? 6) (n ? 7)

(n∈N*).

12.(1)∵f(1)=n2,∴a1+a2+a3+…+an=n2. ①

所以当 n=1 时,a1=1;

当 n≥2 时,a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2 ②

①-②得,an=n2-(n-1)2=2n-1.(n≥2)

因为 n=1 时,a1=1 符合上式.

所以 an=2n-1(n∈N*).

(2) 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 1 ? ??

1

a1a2 a2a3

anan?1 1? 3 3? 5

(2n ?1)(2n ?1)

? 1 (1? 1) ? 1 (1 ? 1) ? ?? 1 ( 1 ? 1 )

2 3 23 5

2 2n ?1 2n ?1

? 1 [(1? 1) ? (1 ? 1) ? ?? ( 1 ? 1 )]

2 3 35

2n ?1 2n ?1

? 1 (1? 1 ) ? n . 2 2n ?1 2n ?1

13.因为 an

?1?

1 2

?

1 4

???

1 2n?1

?

1?

(1 ?

1 2n

1? 1

)

?

2?

1 2n?1

(n

?

2)

.

2

26

所以

Sn

?

a1

?

a2

???

an

? 1? (2 ?

1) 2

? (2 ?

1 22

) ??? (2 ?

1 2n?1

)

?1 ? 2(n ?1) ? (1 2

?

1 22

???

1 2n?1

)

?

2n

?1?

1 2

(1 ?

1 2n?1

)

1? 1

?

2n

?

2

?

1 2n?1

.

2

14.(1)an=2n; (2)因为 bn=2nxn, 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn=2x+4x2+…+2nxn. 当 x=0 时,Sn=0;



x=1

时,Sn=2+4+…+2n=

n(2

? 2

2n)

=n(n+1);

当 x≠0 且 x≠1 时,Sn=2x+4x2+…+2nxn, xSn=2x2+4x3+…+2nxn+1;
两式相减得(1-x)Sn=2x+2x2+…+2xn-2nxn+1,

所以(1-x)Sn=2

x(1 ? 1?

xn x

)

-2nxn+1,



Sn

?

2x(1 ? xn ) (1 ? x)2

?

2nx n?1 1?x

.

?n(n ?1),

(x ? 1)

综上,数列{bn}的前

n

项和

Sn

?

? ?

2

x(1

?

x

n

)

? ?

(1 ? x)2

?

2nxn?1 1?x

,

(x ?? 1)

一、选择题 1.B 2.A 提示:

3.B

4.A

测试七 数列综合问题
5.B

5.列出数列{an}前几项,知数列{an}为:0,- 3 , 3 ,0,- 3 , 3 ,0….不难发现循环规律,即 a1=a4= a7=…=a3m-2=0; a2=a5=a8=…=a3m-1=- 3 ;

a3=a6=a9=…=a3m= 3 .

所以 a20=a2=- 3 .

二、填空题

6. 1 ; 1 24

7.85

三、解答题

8.512 9. 3 n2- 3 n+2 22

10.2[1-( 1 )n] 3

11.(1)

a1

?

3 4

, a2

?

?3 16

, a3

?

3 64

.

(2)当

n=1

时,由题意得

a1=5S1-3,所以

a1=

3 4



当 n≥2 时,因为 an=5Sn-3,
27

所以 an-1=5Sn-1-3;

两式相减得 an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an,

即 4an=-an-1.



a1=

3 4

≠0,得

an≠0.

所以

an an?1

?

?

1 4

(n≥2,n∈N*).

由等比数列定义知数列{an}是首项 a1= 3 ,公比 q=- 1 的等比数列.

4

4

所以 an

?

3 ? (? 4

1 )n?1. 4

3 (1? 1 )

(3)a1+a3+…+a2n-1= 4

16n 1

1?

? 4 (1? 1 ) . 5 16n

16

12.由

a

2 n ?1

·f(an)=2,得

an2?1

?

2 an2 ?

4

?

2



化简得

a

2 n ?1

-a

2 n

=4(n∈N*).

由等差数列定义知数列{a

2 n

}是首项

a

2 1

=1,公差

d=4

的等差数列.

所以

a

2 n

=1+(n-1)×4=4n-3.

由 f(x)的定义域 x>0 且 f(an)有意义,得 an>0.

所以 an= 4n ? 3 .

13.(1)

???S12 ? ???S13

? 12a1 ? 13a1

? ?

1 2 1 2

?12 ?11d ?13 ?12d

? ?

0 0

?

???2a1a1??61d1?d

? 0

0



又 a3=a1+2d=12 ?a1=12-2d,



?24 ? 7d ? ??3 ? d ? 0

0

,故

?

24 7

<d<-3.

(2)由(1)知:d<0,所以 a1>a2>a3>…>a13.

∵S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,S13=

13 2

(a1+a13)=13a7<0,

∴a7<0,且 a6>0,故 S6 为最大的一个值.

14.(1)设第 n 分钟后第 1 次相遇,依题意有 2n+ n(n ?1) +5n=70, 2

整理得 n2+13n-140=0.解得 n=7,n=-20(舍去).

∴第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟.

(2)设第 n 分钟后第 2 次相遇,依题意有 2n+ n(n ?1) +5n=3×70, 2
整理得 n2+13n-420=0.解得 n=15,n=-28(舍去). ∴第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟. 15.(1)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.(答案不唯一) (2)因为在绝对差数列{an}中,a1=3,a2=0,所以该数列是 a1=3,a2=0,a3=3,a4=3,a5=0,a6=3,a7=3,
28

a8=0,…. 即自第 1 项开始,每三个相邻的项周期地取值 3,0,3,

?a3n?1 ? 3, 所以 ??a3n?2 ? 3, (n=0,1,2,3,…).
??a3n?3 ? 0,
(3)证明:根据定义,数列{an}必在有限项后出现零项,证明如下: 假设{an}中没有零项,由于 an=|an-1-an-2|,所以对于任意的 n,都有 an≥1,从而 当 an-1>an-2 时,an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3); 当 an-1<an-2 时,an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3); 即 an 的值要么比 an-1 至少小 1,要么比 an-2 至少小 1.



cn=

?a2n?1(a2n?1 ? a2n ), ??a2n (a2n?1 ? a2n ),

(n=1,2,3,…).

则 0<cn≤cn-1-1(n=2,3,4,…). 由于 c1 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 cn<0, 这与 cn>0(n=1,2,3,…)矛盾,从而{an}必有零项. 若第一次出现的零项为第 n 项,记 an-1=A(A≠0),则自第 n 项开始,每三个相邻的项周期地取值 0,A,A, 即

?an?3k ? 0, ??an?3k?1 ? A, (k=0,1,2,3,…). ??an?3k?2 ? A,

所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.
测试八 数列全章综合练习

一、选择题

1.B 2.A 二、填空题

3.A

4.D

5.C

6.3·2n-3 提示:

7.180

8.an=

?? 1, ??2n ?

4,

(n ? 1) (n ? 2)

9. 6 7

10.an=

1 n

(n∈N*)

10.由(n+1)a

2 n ?1

-na

2 n

+an+1an=0,得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,

因为

an>0,所以(n+1)an+1-nan=0,即

an?1 an

?

n, n ?1

? ? ? ? ? ? 所以

an

?

a2 a1

a3 a2

?

an an?1

?

1 2

2 ? n ?1 ? 1 .

3

nn

三、解答题

11.S13=156. 12.(1)∵点(an,an+1+1)在函数 f(x)=2x+1 的图象上,
∴an+1+1=2an+1,即 an+1=2an.

∵a1=1,∴an≠0,∴

an?1 an

=2,

∴{an}是公比 q=2 的等比数列, ∴an=2n-1.

29

(2)Sn=

1

?

(1 ? 2 1? 2

n

)

?

2n

?1.

(3)∵cn=Sn=2n-1, ∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)

=(2+22+…+2n)-n= 2 ? (1 ? 2n ) ? n =2n+1-n-2. 1? 2

13.当 n=1 时,由题意得 S1=3a1+2,所以 a1=-1;

当 n≥2 时,因为 Sn=3an+2,

所以 Sn-1=3an-1+2;

两式相减得 an=3an-3an-1,

即 2an=3an-1.

由 a1=-1≠0,得 an≠0.

所以

an an?1

?

3 (n≥2,n∈N*). 2

由等比数列定义知数列{an}是首项

a1=-1,公比

q=

3 2

的等比数列.

所以

an=-(

3 2

)n-1.

14.(1)设第 n 年所需费用为 an(单位万元),则

a1=12,a2=16,a3=20,a4=24.

(2)设捕捞 n 年后,总利润为 y 万元,则

y=50n-[12n+ n(n ?1) ×4]-98=-2n2+40n-98. 2

由题意得 y>0,∴2n2-40n+98<0,∴10- 51 <n<10+ 51 .

∵n∈N*,∴3≤n≤17,即捕捞 3 年后开始盈利. (3)∵y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,
∴当 n=10 时,y 最大=102. 即经过 10 年捕捞盈利额最大,共盈利 102+8=110(万元).

15.(1)由

an=f(-

1 an ?1

),得

1 an2?1

?

1 an2

? 4 (an+1>0),

∴{

1 an2

}为等差数列,∴

1 an2

=1 a12

+(n-1)·4.

∵a1=1,∴an= 1 (n∈N*). 4n ? 3

(2)由 bn

?

an2?1

?

an2?2

???

a22n?1

?

1 4n ?1

?

1 4n ?

5

???

1 8n ?1





bn-bn+1=

1 4n ?1

?

1 8n ?

5

?

1 8n ?

9

?

(1 8n ?

2

?

1 8n ?

) 5

?

(1 8n ?

2

?

1 8n ?

) 9

?

3

?

7

(8n ? 2)(8n ? 5) (8n ? 2)(8n ? 9)

∵n∈N*,∴bn-bn+1>0, ∴bn>bn+1(n∈N*),∴{bn}是递减数列.
30

∴bn 的最大值为 b1

?

a22

?

a32

?

14 45

.

若存在最小正整数

m,使对任意

n∈N*有

bn<

m 25

成立,

只要使

b1=

14 45

?

m 25

即可,∴m>

70 9

.

∴对任意

n∈N*使

bn<

m 25

成立的最小正整数

m=8.

16.(1)解:设不动点的坐标为 P0(x0,y0),

? ?

x0

由题意,得

? ?

? ??

y0

? ?

?x0 ? 1 1 ,解得 2 y0

x0

?

1 2

,y0=0,

所以此映射

f

下不动点为

P0(

1 2

,0).

(2)证明:由

Pn+1=f(Pn),得

??xn?1 ? ?? yn?1

? ?

?xn ? 1 2 yn

1



所以

xn+1-

1 2

=-(xn-

1 2

),yn+1=

1 2

yn.

因为 x1=2,y1=2,

所以

xn-

1 2

≠0,yn≠0,

所以

xn?1

?

1 2

xn

?

1 2

?

?1,

yn?1 yn

?

1 2

.

由等比数列定义,得数列{xn-

1 2

}(n∈N*)是公比为-1,

首项为

x1-

1 2



3 2

的等比数列,

所以

xn-

1 2



3 2

×(-1)n-1,则

xn=

1 2

+(-1)n-1×

3 2

.

同理

yn=2×(

1 2

)n-1.

所以

Pn(

1 2

+(-1)n-1×

3 2

,2×(

1 2

)n-1).



A(

1 2

,1),则|APn|=

( 3)2 ? [1 ? 2 ? ( 1 )n?1]2 .

2

2

因为 0<2×( 1 )n-1≤2, 2
所以-1≤1-2×( 1 )n-1<1, 2

所以|APn|≤

( 3)2 ?1 <2. 2

31

故所有的点

Pn(n∈N*)都在以

A(

1 2

,1)为圆心,2

为半径的圆内,即点

Pn(xn,yn)存在一个半径为

2

的收敛圆.

第三章 不等式

测试九 不等式的概念与性质

一、选择题

1.A 2.D 3.A 4.B 5.C

提示:

3.∵a>2,b>2,∴ a ? b ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 .∵ab>0,∴ab>a+b.故选 A. ab b a 2 2
5.∵1<x<10,∴0<lgx<1,∴lg(lgx)<0. 又 lg2x-lgx2=lgx(lgx-2)<0,∴lg2x<lgx2.故选 C.

二、填空题

6.>;<;=

7.a<ab2<ab

8.a-b∈(27,56), a ∈( 20 ,3) b 11

9.① ?④;④ ?①;② ?①;② ?④(注:答案不唯一,结论必须是上述四个中的两个)

10.P<Q

提示:

8.由 60<a<84,28<b<33 ?-33<-b<-28, 1 ? 1 ? 1 , 33 b 28

则 27<a-b<56, 20 ? a ? 3 . 11 b

10.∵(a+ 3 )2-(a+1)(a+2)= 1 >0,且 a+ 3 >0,(a+1)(a+2)>0,

2

4

2

∴a+ 3 > (a ?1)(a ? 2) ,又∵0<b<1,∴P<Q. 2

三、解答题

11.略解: b ? b ? m .证明如下: a a?m

∵ b ? b ? m ? b(a ? m) ? a(b ? m) ? m(b ? a) ,

a a?m

a(a ? m)

a(a ? m)

又 a>b>0,m>0,∴b-a<0,a(a+m)>0,

∴b ? b?m . a a?m

12.证明:因为

p?q

?

a2 b

?

b?2 a

?a ?b ?

a3

? b3

? a2b ? ab2 ab

?

(a ? b)(a2

? ab ? b2 ) ? ab(a ? b) ab

?

(a ? b)(a ? b)2 ab

? 0 ,∴p>q.

13.证明:∵(a3-a+1)-(a2-a+1)=a2(a-1), ∴当 a>1 时,(a3-a+1)>(a2-a+1),又函数 y=logax 单调递增,∴M>N; 当 0<a<1 时,(a3-a+1)<(a2-a+1),又函数 y=logax 单调递减,∴M>N. 综上,当 a>0,且 a≠1 时,均有 M>N.

14.略解:设等比数列{an}的公比是 q,等差数列{bn}的公差是 d.

由 a3=b3 及 a1=b1>0,得 a1q2=b1+2d

?q2=1+ 2d ; a1

由 a1≠a3 ?q2≠1,从而 d≠0.
32

∴a5-b5=a1q4-(b1+4d)=(b1+2d)(1+

2d a1

)-b1-4d=

4d 2 a1

>0.

∴a5>b5.

测试十 均值不等式

一、选择题

1.C 2.B 3.D 4.B 5.A

提示:

5.∵正数 a,b,c,d 满足 a+b=cd=4,

∴ab≤ 1 (a+b)2=4,c+d≥2 cd =4, 4
∴等号当且仅当 a=b=2,c=d=2 时取到,

∴ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一.

二、填空题

6.6;3 7.2;1 8.-5 9.3 10.[-3,1]

提示:

8. a ? 16 ? ?(3 ? a ? 16 ) ? 3 ? ?2 16 ? 3 ? ?5.

a?3

3?a

当且仅当 3-a= 16 ,即 a=-1 时, a ? 16 取得最大值-5.

3?a

a?3

9.函数 f(x)=2log2(x+2)-log2x 的定义域是(0,+∞),



f(x)=2log2(x+2)-log2x= log2

(x ? 2)2 x

? log2 (x ?

4 x

? 4) ≥log28=3,

当且仅当 x=2 时,f(x)取得最小值 3.

10.由 a,b,c 成等比数列,得 b2=ac.

∴(3-b)2=(a+c)2=a2+c2+2ac≥4ac=4b2,整理得 b2+2b-3≤0,

解得 b∈[-3,1].

三、解答题

11.略解: a ? d ? bc .证明如下: 2
∵四个互不相等的正数 a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc.

∴ bc ? ad ? a ? d . 2
又 a≠d,∴ a ? d ? bc . 2

12.略解:比较

1 2

log a

t



loga

t

?1 2

的大小,也就是

log a

t



loga

t

?1 2

的大小.

又 t ?1 ? 2

t

,从而,当

t=1

时,

1 2

log a

t

?

log a

t

?1 2





t≠1,0<a<1

时,

1 2

loga

t

?

loga

t

?1 2

;a>1

时,

1 2

log a

t

?

log a

t

?1 2

.

13.略解:∵ ( x ? y )2 ? x ? y ? 2 xy ? 1 ? 2 xy ? 1 ? x ? y ? 2 .

当且仅当 x=y= 1 时,等号成立,从而 x ? y 的最大值为 2 . 2

∵不等式 x ? y ? a 恒成立,∴a≥ 2 ,

33

即 a 的取值范围是[ 2 ,+∞).
14.略解: (1)用函数单调性的定义可证明:当 x∈(0, a ]时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当 x

∈[ a ,+∞]时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明略.

(2)由(1)得,当 a ≥2 时,f(x)在(0,2]上单调递减,f(x)在(0,2]上的最小值为 f(2);

当 a <2 时,f(x)在(0, a ]上单调递减,在[ a ,2]上单调递增,从而 f(x)在(0,2]上的最小值为 f( a ).

∴g(a)=

??2 ?

?

a 2

,

a

?

4,

??2 a,0 ? a ? 4.

测试十一

一、选择题

1.A 2.D 提示:

3.C

4.A

5.B

5.①当 p=0 时,y=-1,适合题意; ②当 p≠0 时,y=px2-px-1 为二次函数,

一元二次不等式及其解法

依题意有

?p ???

? ?

0 0

?

?p ? 0 ??(? p)2

?

4p

?

0

?

?4

?

p

?

0.

综合①,②知 B 正确. 二、填空题

6.{x|-4<x<3 }

7.{x | ? 5 ? x ? 1} .

2

3

8.{x|- 2 <x< 2 ,且 x≠0}

9.{x|-1<x<0,或 3<x<4} 10.a∈(-∞,-1)∪(0,1)

提示:

10.x2-(a+ 1 )x+1<0 ? (x-a)(x- 1 )<0.

a

a

∵该集合为非空集合,∴a< 1 . a

?a ? 0, ?a ? 0,

即①

? ?a

2

? 1,

或②

? ?a

2

? 1.

解①得 0<a<1;解②得 a<-1. 综合①,②得 a<-1,或 0<a<1. 三、解答题
11.略解:原不等式 ? (x+a)(x-3a)<0.
分三种情况讨论: ①当 a<0 时,解集为{x|3a<x<-a};
②当 a=0 时,原不等式 ? x2<0,显然解集为 ? ;
③当 a>0 时,解集为{x|-a<x<3a}.
12.略解:由 3x-4y+k=0 得 y ? 3 x ? k ,代入 x2+y2-2x=0, 44
34

得 25 16

x2

? (3k 8

?

2)

x

?

k2 16

? 0,

即 25x2+(6k-32)x+k2=0,
令 ? =(6k-32)2-4×25×k2>0,解得-8<k<2.
13.略解:A={x|-2<x<3},B={x|x<-4 或 x>2}.
当 a>0 时,C={x|a<x<3a},当 a=0 时,C= ? ,当 a<0 时,C={x|3a<x<a}.

?a ? 0,
(1)A∩B={x|2<x<3},欲使 A∩B ? C,则 ??a ? 2, 解得 1≤a≤2;
??3a ? 3.
(2)( UA)∩( UB)={x=|-4≤x≤-2},
?a ? 0,
欲使( UA)∩( UB) ? C,则 ??3a ? ?4,
??a ? ?2.

解得-2<a<- 4 . 3
14.略解:①当 a=0 时,原不等式 ? x> 1 ; 2
②当 a>0 时,由于 ? =4-4a,所以

(1)当 0<a<1 时,原不等式 ? 1 ?

1? a a

? x ? 1?

1? a a



(2)当 a≥1 时,原不等式解集为 ? .

③当 a<0 时,由于 ? =4-4a>0,所以

原不等式 ? x ? 1 ?

1? a a

,或 x ? 1 ?

1? a a

.

测试十二 不等式的实际应用

一、选择题

1.A 2.C 提示:

3.C

4.A

2.依题意,有(300-2x)x-(500+30x)≥8600,化简整理为 x2-135x+4550≤0,

解得 65≤x≤70.

3.设产销量为每年 x(万瓶),则销售收入为 70x(万元),从中征收附加税为 70x· r (万元),且 x=100-10r,依题 100

意得

70(100-10r)· r ≥112,得 r2-10r+16≤0,解得 2≤r≤8. 100

4.方法-:(1+k2)x≤k4+4

?

x

?

k4 ?4 1? k2

?

(1 ?

k2)

?

1

5 ?k

2

?

2.



f

(k)

?

(1 ?

k

2

)

?

1

5 ?k

2

?

2

?

2

5 ?2.

从而,f(k)的最小值是 2 5 ? 2 .

这说明只要不大于 2 5 ? 2 的实数 x 必是不等式 x≤f(k)的解.

由于 2< 2 5 ? 2 ,0< 2 5 ? 2 ,从而选 A.
35

方法二:将 x=0,x=2 分别代入不等式进行检验即可. 二、填空题

5.81cm2 6.(-4,4) 7.{x|x<3} 8.[0,1]

提示:

7.∵x|x-2|<3 ?

? ? ?

x x

? 2, 2 ?2

x

?

3

?

0,



? ? ?

x x

? 2, 2 ? 2x

?

3

?

0,

? 2≤x<3 或 x<2,

∴不等式 f(x)<3 的解集为{x|x<3}. 8.在同一坐标系中,画出函数 y1=|x+1|和 y2=kx 的图象进行研究. 三、解答题

9.略解:设直角三角形的两直角边分别为 x,y,则 x+y+ x2 ? y2 =2.

∴ 2 xy ? 2xy ? 2, (2 ? 2) xy ? 2 ,∴ xy ? 2 ? 2 ? 2 . 2? 2

∴xy≤6-4 2 ,∴S= 1 xy≤3-2 2 ,此时三角形为等腰直角三角形. 2
10.略解:由题意:对甲 0.1x+0.01x2>12,得 x<-40(舍),或 x>30.

对乙来说 0.05x+0.005x2>10,解得 x<-50(舍),或 x>40.

即 x 甲>30km/h,x 乙>40km/h,∴乙车超过路段限速,应负主要责任
11.略解:-x2+2x+a>0 恒成立 ? a>x2-2x 在区间[-1,3]上恒成立.

由于 x2-2x 在区间[-1,3]上的最大值是 3,从而 a>3.

12.略解:设版面横向长为 xcm,则纵向长为 2400 cm,那么纸张横向长为(x+8)cm,纵向长为( 2400 +12)cm.

x

x

∴纸张的面积 S=(x+8)( 2400 +12)=2496+ 8? 2400 +12x.

x

x

∵x>0, 8? 2400 >0,12x>0.∴S≥2496+2 8 ? 2400 ?12x =3456(cm2).

x

x

当且仅当 8? 2400 =12x,即 x=40(cm), 2400 =60(cm).

x

x

∴纸张的宽为 40+8=48(cm),长为 60+12=72(cm)时,纸的用量最小.

测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

一、选择题

1.D 2.B 3.A 4.A 5.C

提示:

?x, y ? N,

5.设软件买

x

片,磁盘少买

y

盒,则约束条件为

??x

? ?

y

? ?

3, 2,

??60x ? 70 y ? 500.

在可行域内的解为(3,2)、(4,2)、(5,2)、(6,2)、(3,3)、(4,3)、(3,4),共有 7 个. 二、填空题 6.四 7.(-2,3) 8.[-3,1] 9.[0,+∞) 10.2 提示:

10.分类讨论去掉绝对值符号,可得曲线围成的图形是边长为 2 的正方形.
三、解答题
36

11.略.

12.略解:设购买

35kg



x

袋,24kg



y

袋,则

?35x ? 24y ??x ? N, y ?

? 106, N.

共花费 z=140x+120y.画出可行域,做出目标函数 z=140x+120y 对应的一组平行线,观察在点(1,3)处,z 取 得最小值 500,即最少需要花费 500 元. 13.略解:设第一种应装 x 袋,第二种应装 y 袋,则所获利润 z=0.5x+0.9y.

?0.25x ? 0.5y ? 75 ?x ? 2 y ? 300

x,y 应满足约束条件 ??0.75x ? 0.5y ? 120 ? ??3x ? 2 y ? 480

??x, y ? N

??x, y ? N

直线 x+2y=300 与 3x+2y=480 的交点 M(90,105), z=0.5x+0.9y 在 M 点取最大值,此时 z=0.5×90+0.9×105=139.5. ∴第一种装法应装 90 袋,第二种装法应装 105 袋,可使利润最大,最大利润是 139.5 元. 14.略解:设甲库运往 A 镇 x 吨大米,乙库运往 A 镇 y 吨大米,易知 x,y 应满足约束条件

?x ? y ? 70, ??(100 ? x) ? (80 ? y) ? 110, ??x ? 0, y ? 0.

目标函数是 z=20·12·x+25·10(100-x)+15·12·y+20·8(80-y)=37800-10x+20y. 易知目标函数在(0,70)处取最大值,(70,0)处取最小值. (1)甲库运往 A 镇 70 吨、运往 B 镇 30 吨,乙库大米全部运往 B 镇,总运费最小,为 37100 元. (2)甲库全部运往 B 镇,乙库运 10 吨给 B 镇,70 吨给 A 镇,总运费最多,为 39200 元.造成不该有的损失 2100
元.

测试十四 不等式全章综合练习

一、选择题

1.C 2.B 二、填空题

3.C

4.D

5.D

6.(-2,4), (1 , 3) 42
三、解答题

7.-1

8. 1 16

9.-1≤a≤0 10.(-∞,10]

11.解:由|x-1|<6,得-6<x-1<6,解得-5<x<7.

由 x ? 8 >0,得(x-8)(2x-1)>0,解得 x>8,或 x< 1 .

2x ?1

2

(1)A∩B={x|-5<x<7} ∩{x|x>8,或 x< 1 } ={x|-5<x< 1 } .

2

2

(2)∵ UA={x|x≤-5,或 x≥7} ,

∴(

UA)∪B={x|x≤-5,或

x≥7} ∪{x|x>8,或

x<

1 2

} ={x|x≥7,或

x<

1 2

}.

12.解:设此工厂每日需甲种原料 x 吨,乙种原料 y 吨,则可得产品 z=90x+100y(千克).

37

?1000x ? 1500y ? 6000, ?2x ? 3y ? 12,

由题意,得 ??500x ? 400y ? 2000, ? ??5x ? 4 y ? 20,

??x ? 0, y ? 0.

??x ? 0, y ? 0.

上述不等式组表示的平面区域如右图所示,

阴影部分(含边界)即为可行域. 作直线 l:90x+100y=0,并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点, 且与直线 l 的距离最大,此时目标函数达到最大值.这里 M 点是直线 2x+3y=12 和 5x+4y=20 的交点,容易

解得 M (12 , 20) , 77

此时 z 取到最大值 90 ? 12 ? 100 ? 20 ? 440 .

7

7

答:当每天提供甲原料 12 吨,乙原料 20 吨时,每日最多可生产 440 千克产品.

7

7

13.(1)由于 3×4 与 4 均不属于数集{1,3,4},∴该数集不具有性质 P. 3

由于 1×2,1×3,1×6,2×3, 6 , 6 ,1, 2 , 3 , 6 都属于数集{1,2,3,6}, 2 31236
∴该数集具有性质 P.

(2)∵A={a1,a2,…,an}具有性质

P,∴anan 与

an an

中至少有一个属于

A.

由于 1≤a1<a2<…<an,∴anan>an,故 anan?A.

从而

1=

an an

∈A,∴a1=1.

∵1=a1<a2<…<an,∴akan>an,故 akan?A(k=2,3,…,n).



A

具有性质

P

可知

an ak

∈A(k=1,2,3,…,n).

又∵

an an

?

an an?1

???

an a2

?

an a1





an an

?

1,

an an?1

?

a2

,?,

an a2

?

an??1,

an a1

? an

.

从而

an an

?

an an?1

???

an a2

?

an a1

? a1

? a2

? ? ? an?1 ? an ,



a1 ? a2 ? ? ? an a1?1?a2?1???an?1

? an .

测试十五 数学必修 5 模块自我检测题

一、选择题

1.D 2.C 提示:

3.A

4.B

5.A

6.C

7.D

8.C

38

6.∵S20=

20(a1 ? 2

a20 )

=340,∴a1+a20=34.

∴a6+a9+a11+a16=(a6+a16)+(a9+a11)=2a11+2a10=2(a10+a11)=2(a1+a20)=68. 7.∵正数 x、y 满足 x+y=4,

∴xy≤( x ? y )2=4 (当 x=y 时取等号). 2
∴ log2x+log2y=log2(xy)≤log24=2. 即 log2x+log2y 的最大值是 2. 8.根据余弦定理得 AB2=AP2+BP2-2AP·BP·cos60°.

解得 AB=0.07(km).

从而汽车从 A 地到 B 地的车速为 0.07 ×3600=84(km/h). 3
二、填空题

9.{x|-1<x<2}

10. ? 1 2

11.4

13. 7 ,9 2

14. 1 ,j·( 1 )i

2

2

提示:

14.设第一行的等差数列的公差为 d,则有

12.

3 15 10

??a14 ? ??a12

? ?

q ? a24 , q2 ? a32

,



???(

1 2

? ???(

1 2

? ?

3d )q d )q 2

? 1, ?1
4

?

解得 d= 1 或 d=- 7 (舍去).从而 q= 1 .

2

18

2

∴aij=a1j·qi-1=[a11+(j-1)d]·qi-1=[1 ? 1 ( j ?1)]? (1)i?1 ? j ? (1)i .

22

2

2

三、解答题

15.解:(1)当 a=5 时,f(x)=x2+5x+6.
f(x)<0 ? x2+5x+6<0 ? (x+2)(x+3)<0 ? -3<x<-2.

(2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R,则 a2-4×6<0 ? ?2 6 ? a ? 2 6 ,

即实数 a 的取值范围是 (?2 6,2 6) .

16.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a1+d=5,a1+4d=14,解得 a1=2,d=3.

所以数列{an}的通项为 an=a1+(n-1)d=3n-1.

(2)数列{an}的前

n

项和

Sn=

n(a1 ? 2

an )

?

3 2

n2

?

1 2

n.

由 3 n2 ? 1 n ? 155,化简得 3n2+n-310=0, 22

即(3n+31)(n-10)=0,所以 n=10.

17.证明:(1)根据正弦定理得 cos A ? sin B , cos B sin A

整理为 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B.

∵0<2A,2B<π ,∴2A=2B,或 2A+2B=π .

∵ b ? 4 ,∴A+B= π ,即∠C=90°

a3

2

(2)因为△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形,且 c=10,易求得 a=6,b=8.

39

∴△ABC 的面积 S= 1 ab=24. 2
18.略解:设每天生产甲种产品 x 吨,乙种产品 y 吨,

?7x ? 3y ? 56, 则 ??2x ? 5y ? 45, 目标函数 z=8x+11y,作出线性约束条件所表示的平面区域,
??x ? 0, y ? 0.

可求得鲞 x=5,y=7 时,z 取最大值 117 万元. 所以,每天生产甲种产品 5 吨,乙种产品 7 吨,日产值到达最大值 117 万元.

19.略解:(1) sin2 B ? C ? cos 2A ? cos2 A ? 2 cos2 A ?1 ? 1? cos A ? 2 cos2 A ?1

2

2

2

?

1?

1 3

?

2

?

1

?

1

?

?

1

.

2

9

9

(2)∵cosA= b2

? c2 ? a2 2bc

?

1, 3

∴ 2 bc ? b2 ? c2 ? 3 ? 2bc ? 3 ,整理得 bc≤ 9 .

3

4

当且仅当 b=c= 3 时,bc 取得最大值 9 .

2

4

20.(1)解:依题意得

?an?1 ? Sn , ??an ? Sn?1,

(n

?

2,3,4,?)

两式相减得:

an+1-an=an,即

an ?1 an

?

2 (n=2,3,4,…).

∴a2,a3,a4,…构成首项为 a2,公比为 2 的等比数列. ∵a2=S1=a1=5,∴an=5·2n-2(n≥2).

?5,

(n ? 1)

∴ an

?

? ?5

?

2n?2.

(n ? 2,3,4,?)

(2)证明: 1 a1

?

1 a2

?1 a3

??? 1 an

?1?1? 1 ? 1 5 5 5?2 5?22

?

?

?

5

?

1 2n?2

?

1 5

?

1 5

(1 ?

1 2

?

1 4

???

1 2n?2

)

?

1 5

?

1 5

1 ? ( 1 )n?1

?

2 1?1

2

? 1 ? 2 [1? (1)n?1] ? 1 ? 2 ? 3 .

55 2

55 5

40

单元测试一 解三角形

一、选择题 1.在△ABC 中,若 AC=3,A=30°,B=45°,则 BC 等于( )

(A) 6

(B)

3

6 2

(C) 3 2

(D)

3

2 2

2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=3,b=4,c=6,则 cosB 等于( )

(A) 43 48

(B) ? 11 24

29
(C)
36

(D) 11 48

3.在△ABC 中,若 cos A ? b ,则△ABC 是( ) cosB a

(A)等腰三角形

(B)直角三角形

(C)等边三角形

(D)等腰三角形或直角三角形

4.在等腰锐角△ABC 中,a=3,c=2,则 cosA 等于( )

(A) 1 3

(B) 1 2

(C) 2 3

(D) 3 4

5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,A= π , a ? 3 ,b=1,则 c 等于( ) 3

(A)1

(B)2

(C) 3 -1

(D) 3

二、填空题 6.在△ABC 中,若 a2+ab=c2-b2,则角 C=________.
7.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 AC 的值等于________. cos A
8.已知△ABC 的顶点 A(1,1),B(-1,3),C(3,0),则 cosB=________.

9.在△ABC 中,∠A=60°,AC=16,△ABC 的面积 S=220 3 ,则 BC=________.
10.若三角形的三边之比为 3∶5∶7,则其最大角等于________. 三、解答题
11.在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,设 a=4,c=3,cosB= 1 . 8
(1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积.

12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a= 5 ,b=3,sinC=2sinA.
(1)求 c 的值; (2)求 sinA 的值.

13.在△ABC 中,cosA= ? 5 ,cosB= 3 ,BC=5,求△ABC 的面积.

13

5

41

14.在△ABC

中,角

A,B,C

所对的边分别为

a,b,c,且满足

cos

A 2

?

2

5 5



AB

?

AC

=3,c=1,求

a

的值.

42

单元测试二 数列

一、选择题

1.在等差数列{an}中,若 a2=3,a6=11,则 a4 等于( )

(A)5

(B)6

(C)7

(D)9

2.在正项等比数列{an}中,若 a4a5=6,则 a1a2a7a8 等于( )

(A)6

(B)12

(C)24

(D)36

3.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列{an}的公差等于( )

(A)1

(B)2

(C)-1

(D)-2

4.若数列{an}是公比为 4 的等比数列,且 a1=2,则数列{log2an}是( )

(A)公差为 2 的等差数列

(B)公差为 lg2 的等差数列

(C)公比为 2 的等比数列

(D)公比为 lg2 的等比数列

5.等比数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 S4=2,S8=6,则 S12 等于( )

(A)8

(B)10

(C)12

(D)14

6.{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,用 Sn 表示{an}的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( )

(A)21

(B)20

(C)19

(D)18

7.如果数列{an}(an∈R)对任意 m,n∈N*满足 am+n=am·an,且 a3=8,那么 a10 等于( )

(A)1024

(B)512

(C)510

(D)256

8.设 f(n)为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,例如 f(123)=12+22+32=14.记 a1=f(2009),ak+1=f(ak), k=1,2,3,…则 a2009 等于( )

(A)85

(B)16

(C)145

(D)58

二、填空题

9.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 10.在等差数列{an}中,a2,a11 是方程 x2-3x-5=0 的两根,则 a5+a8=________.

11.设等比数列{an}的公比 q

?

1 ,前 2

n

项和为

Sn,则

S4 a4

=________.

12.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N*),则 a5=______;前 8 项的和 S8=______.(用数字作答) 13.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,
19,37,82}中,则 6q=________.

14.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 三、解答题

15.在等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}前 n 项和 Sn.

16.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

17.已知三个数成等差数列,它们的和为 30,如果第一个数减去 5,第二个数减去 4,第三个数不变,则所得三个 数组成等比数列,求这三个数.

18.已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(x∈R,n∈N*),且对一切正整数 n 都有 f(1)=n2 成立. (1)求数列{an}的通项 an;
43

(2)求 1 ? 1 ? ? ? 1 .

a1a2 a2a3

an an?1

19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

44

单元测试三 不等式

一、选择题

1.设 S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则集合 S∩T 等于( )

(A) ?

(B){ x|x<- 1 } 2

(C){ x|x> 5 } 3

2.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式中一定正确的是(

(D){x | ? 1 ? x ? 5}

2

3

)

(A)a2>b2

(B) b ? 1 a

(C)2a>2b

(D)|a|>|b|

3.不等式 x ? 2 ? 0 的解集是( ) x ?1
(A)(-∞,-1)∪(-1,2) (C)(-∞,-1)∪[2,+∞]

(B)[-1,2] (D)(-1,2]

4.设 x,y 为正数,则(x+y)( 1 ? 4 )的最小值为( ) xy

(A)6

(B)9

(C)12

(D)15

5.若 f(x)是定义在 R 上的减函数,则满足 f( 1 )>f(1)的实数 x 的取值范围是( ) x

(A)(-∞,1)

(B)(1,+∞)

(C)(-∞,0)∪(0,1)

(D)(-∞,0)∪(1,+∞)

6.若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( )

(A)2∈M,0∈M

(B)2?M,0?M (C)2∈M,0?M (D)2?M,0∈M.

二、填空题

7.已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪( RB)=R,则实数 a 的取值范围是________. 8.若实数 a 满足 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 由小到大的顺序是________.

9.函数 f(x)= x ? 2 lg 4 ? x 的定义域是________. x?3

?x ? y ? 2 ? 0, 10.已知实数 x,y 满足 ??x ? y ? 0, 则 z=2x+4y 的最大值为________.
??x ? 1.
11.已知正实数 a,b 满足 a+4b=8,那么 ab 的最大值是________. 12.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0 的三个根可以作为一个三角形的三条边长,那么实数 m 的取值范围是________. 三、解答题 13.已知一元二次不等式 x2-ax-b<0 的解集是{x|1<x<3},
(1)求实数 a,b 的值;
(2)解不等式 2x ? a >1. x?b

14.设 a∈R,且 a≠-1,试比较 1-a 与 1 的大小. 1? a

45

15.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项 目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%(盈利率= 盈利额 ×100%),可能的最大亏 投资额 损率分别为 30%和 10%(亏损率= 亏损额 ×100%),投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资 投资额 金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元,才能使可能的盈利最大?
16.已知函数 f(x)= x2 ? 2x ? a ,其中 x∈[1,+∞ ) . x
(1)当 a>0 时,求函数 f(x)的最小值 g(a);
(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.
46

数学必修 5 模块检测题

一、选择题

1.在等比数列{an}中,若 a1=2,a3=4,则 a7 等于( )

(A)8

(B)16

(C)32

(D)64

2.设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列不等式中一定成立的是( )

(A)a+c>b+d

(B)a-c>b-d

(C)ac>bd

(D) a ? b dc

3.已知函数 y=-x2+x,那么使 y<-2 成立时 x 的取值范围是( )

(A)(-1,2)

(B)(-∞,-1)∪(2,+∞)

(C)(-2,1)

(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)

4.在数列{an}中,a1=4,an+1=2an-1(n=1,2,3,…),则 a4 等于( )

(A)7

(B)13

(C)25

(D)49

5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 满足 A<B<C(C≠ π ),则下列不等式一定成立的是( ) 2

(A)sinA<sinC

(B)cosA<cosC

(C)tanA<tanC

(D)tanA>tanC

6.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有( )

(A)10 项

(B)11 项

(C)12 项

(D)13 项

?x ? y ? 5 ? 0,

7.若不等式组

? ?

y

?

a,

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( )

??0 ? x ? 2

(A)a<5 (C)5≤a<7

(B)a≥7 (D)a<5,或 a≥7

8.若不等式(-1)na<2+

(?1)n?1 n

对于任意正整数

n

恒成立,则实数

a

的取值范围是(

)

(A)[?2, 3) 2

(B) (?2, 3) 2

(C)[?3, 3) 2

(D) (?3, 3) 2

二、填空题

9.不等式 x(2-x)>0 的解集为________.

10.已知正数 a,b 满足 ab=4,那么-a-b 的最大值是________.

11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,a3=7,则 S10 等于________.

?x ? 1,

12.已知点

P(x,y)的坐标满足条件

? ?

y

? 1,

点 O 为坐标原点,那么|PO|的最大值等于________,最小值等于

??x ? y ?1 ? 0,

________. 13.等比数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 8S6=9S3,则{an}的公比等于________. 14.Rt△ABC 的三个内角的正弦值成等比数列,设最小的锐角为角 A,则 sinA=________. 三、解答题 15.解不等式:0<x2-3x<4.

47

16.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边.已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc. (1)求角 A 的大小; (2)求 b sin B 的值. c

17.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=6,S3=12.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证: 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 .

S1 S2

Sn

18.电视台为某个广告公司特约播放两套片集:片集甲每集播映时间为 21 分钟,其中含广告时间 1 分钟,收视观 众为 60 万人;片集乙每集播映时间为 11 分钟,含广告时间 1 分钟,收视观众为 20 万人.广告公司规定每周至 少有 6 分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于 86 分钟的节目时间(含广告时间).电视台每周应播映 两套片各多少集,才能获得最高的收视率?

19.对于定义域分别是 Df,Dg 的函数 y=f(x),y=g(x),规定:函数

? f (x)? g(x), ? h(x) ? ? f (x),

当x ? Df 且x ? Dg , 当x ? Df 且x ? Dg ,

?? g ( x),

当x ? Df 且x ? Dg .

(1)若函数 f (x) ? 1 ,g(x)=x2,x∈R,写出函数 h(x)的解析式; x ?1

(2)求问题中(1)函数 h(x)的值域.

20.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2(n=1,2,3,…).

(1)设 bn=an+1-2an(n=1,2,3,…),求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;

(2)设

cn=

an 2n

(n=1,2,3,…),求证数列{cn}是等差数列,并求其通项公式;

(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式.

48

一、选择题 1.D 2.C 二、填空题

3.D

4.A

测试卷参考答案
单元测试一 解三角形
5.B

6.120°

7.2

8.

72 10

9.49

10. 2π 3

提示:
9.因为△ABC 的面积 S=220 3 ? 1 AC·AB·sinA,所以求得 AB=55, 2
由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=162+552-2×16×55cos60°, 所以 BC=49. 三、解答题 xkb1.com 11.(1)解:在△ABC 中,由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,
得 b2=16+9-24× 1 =22, 8

所以 b= 22 .

(2)解:由 cosB= 1 ,B∈(0,π ), 8

所以 sin B ?

1? cos2

B

?

37 8



由三角形的面积公式 S= 1 acsinB, 2



S= 1 2

×4×3×

3

7 8

?

97 4

.

12.(1)解:在△ABC 中,根据正弦定理, c ? a , sin C sin A

于是 c=sinC· a ? 2a ? 2 5 . sin A
(2)解:在△ABC 中,根据余弦定理,

得 cos A ?

c2

? b2 ? a2 2bc

?

25 5



于是 sinA=

1? cos2 A ?

5 5



13.解:由 cosA=- 5 ,得 sinA= 12 ,

13

13

由 cosB= 3 ,得 sinB= 4 .

5

5

所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 16 . 65

由正弦定理,得

AC

?

BC ? sin B sin A

?

5? 4 5
12

? 13 3

.

13

49

所以△ABC 的面积 S ? 1 ? BC ? AC ? sin C ? 1 ? 5? 13 ? 16 ? 8 .

2

2 3 65 3

14.解: cos

A?

2 cos2

A 2

?1 ?

2

?

(

2

5 5

)2

?1 ?

3, 5

又 A∈(0,π ),sinA= 1 ? cos2 A ? 4 ,而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ?cos A ? 3 bc ? 3,

5

5

所以 bc=5,

又 c=1,所以 b=5,

所以 a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5 .

一、选择题 xkb1.com 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 二、填空题 9.13 10.3 11.15 12.16,255 三、解答题 15.解:设{an}的公差为 d,则

单元测试二 数列
6.B 7.A 8.D 13.-9 14.3

???(aa11??32dd?)(aa11

? 6d ? 5d

) ? ?16 ?0



即 ???a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 , ??a1 ? ?4d

解得

???da1

? ?8, ? 2,



???da1

? 8, ? ?2,

.

因此 Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或 Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).

16.解:(1)依题意有

a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2), 由于 a1≠0,故 2q2+q=0,

又 q≠0,从而 q= ? 1 . 2

(2)由已知可得

a1-a1(

?

1 2

)2=3,

故 a1=4,

从而

Sn=

4[1 1

? ?

(? (?

1
2 1

)n )

]

?

8 [1 3

?

(?

1 2

)n

]

.

2

17.解:设这三个数为 a-d,a,a+d, 则(a-d)+a+(a+d)=30,解得 a=10. 又由(a-d-5)(a+d)=(a-4)2, 解得 d=2,或-7. 所以三个数为 8,10,12,或 17,10,3.
18.解:(1)由题意,得 a1+a2+a3+…+an=n2. ① 所以当 n=1 时,a1=1; 当 n≥2 时,a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2 ② ①-②得,an=n2-(n-1)2=2n-1.(n≥2)
50

因为 n=1 时,a1=1 符合上式, 所以 an=2n-1(n∈N*).

(2) 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?

1

a1a2 a2a3

anan?1 1? 3 3 ? 5

(2n ?1)(2n ? 1)

? 1 (1? 1) ? 1 (1 ? 1) ? ?? 1 ( 1 ? 1 )

2 3 23 5

2 2n ?1 2n ?1

? 1 [(1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ?? ( 1 ? 1 )]

2 3 35

2n ?1 2n ?1

? 1 (1? 1 ) ? n . 2 2n ?1 2n ?1

19.解:(1)由 a1=1 及 Sn+1=4an+2, 得 a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,∴b1=a2-2a1=3. 由 Sn+1=4an+2, ……………① 得当 n≥2 时,有 Sn=4an-1+2 ……………② ①-②得 an+1=4an-4an-1,∴an+1-2an=2(an-2an-1), 又因为 bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1, 所以{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列.

(2)由(1)可得

bn=an+1-2an=3·2n-1,所以

an?1 2n?1

?

an 2n

?

3, 4

所以数列{

an 2n

}是首项为

1 2

,公差为

3 4

的等差数列.

所以

an 2n



1 2

? (n

?1) ?

3 4

?

3 4

n?

1 4

,an=(3n-1)·2n-2.

单元测试三 不等式

一、选择题

1.D 2.C 二、填空题

3.D

4.B

5.D

6.A

7.a≥2 8.a<-a2<a2<-a 9.[2,3 ) ∪(3,4) 10.14 11.4

12. 3 <m≤1 4

三、解答题

13.(1)因为不等式 x2-ax-b<0 的解集是{x|1<x<3}

所以 1,3 是方程 x2-ax-b=0 的两根,

故 a=1+3,-b=1×3,即 a=4,b=-3.

(2)不等式 2x ? a >1,即为: 2x ? 4 >1.

x?b

x?3

因为 2x ? 4 >1 ? 2x ? 4 -1>0

x?3

x?3

? x ? 7 ? 0 ? (x+7)(x-3)>0 x?3

? x>3,或 x<-7.

所以,原不等式的解集为{x|x>3,或 x<-7} .

14.当 a=0 时,1-a= 1 ; 1? a
当 a<-1 时,1-a> 1 ; 1? a
51

当 a>-1 且 a≠0 时,1-a< 1 . 1? a
15.解:设投资人对甲、乙两个项目分别投资 x、y 万元,

?x ? y ? 10,

由题意知

??0.3x ? ??x ? 0,

0.1y

?

1.8,

?? y ? 0.

目标函数为 z=x+0.5y, 上述不等式组表示的平面区域如右图所示,

阴影部分(含边界)即为可行域. 作直线 l:x+0.5y=0,并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点, 且与直线 l 的距离最大,此时目标函数达到最大值. 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点,容易解得 M(4,6),此时 z 取到最大值 1×4+0.5×6=7. 答:投资人用 4 万元投资甲项目,用 6 万元投资乙项目,才能确保在可能的资金亏损不超过 1.8 万元的前提下, 使可能的盈利最大. 16.略解:

(1)当 a≥1 时, f (x) ? x2 ? 2x ? a ? x ? a ? 2 ? 2 x ? a ? 2 ? 2 a ? 2 ,

x

x

x

当且仅当 x= a ,即 x= a 时,f(x)有最小值 2 a +2; x
当 0<a<1 时,可证函数 f(x)在 x∈[1,+∞)上是单调增函数(在此略), 所以 f(x)有最小值 f(1)=a+3,

综上,函数

f(x)有最小值

g(a)

?

??a ???2

? 3, a?

0?a? 2, a ? 1

1

.

(2)因为 x∈[1,+∞],且 f(x)= x2 ? 2x ? a >0, x
所以 x2+2x+a>0, 即 a>-x2-2x=-(x+1)2+1 对于 x∈[1,+∞)恒成立, 而函数 y=-(x+1)2+1,x∈[1,+∞)的最大值为-3,

所以 a>-3.

数学必修 5 模块检测题

一、选择题

1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.A

提示:

8.①当 n 是正奇数时,原不等式化为 a>-(2+ 1 ), n
52

欲使上式对于任意正奇数 n 恒成立,则 a≥-2.
②当 n 是正偶数时,原不等式化为 a<2- 1 , n
欲使上式对于任意正偶数 n 恒成立,则 a<2- 1 ? 3 . 22
综上,a 的取值范围是[-2, 3 ). 2
二、填空题
9.{x|0<x<2} 10.-4 11.120

12.

2,

2 2

提示:

13. 1 2

14. 5 ?1 2

13.设{an}的公比为 q, ①当 q=1 时,S6=6a1,S3=3a1,此时不适合 8S6=9S3,所以 q≠1.

②当

q≠1

时,由 8 ?

a1(1 ? q6 ) 1? q

?

9?

a1(1 ? q3) 1? q

,且

a1≠0,得

8(1+q3)=9,即 q3= 1 ,所以 q= 1 .

8

2

14.不妨设∠C 为直角.由题意 sinA·sinC=sin2B,即 sinA=sin2B,

又因为 A+B= π ,所以 sinB=cosA,故 sinA=cos2A=1-sin2A. 2

解此方程得

sinA=

?

1

? 2

5 ,又 sinA∈(0,1),故 sinA=

5 ?1 . 2

三、解答题

15.原不等式

?

?? x 2 ??? x 2

? ?

3x 3x

? ?

0, 4.

?

?x ? 3, 或x ? ???1 ? x ? 4.

0,

? {x|-1<x<0,或

3<x<4}

.

16.解:(1)因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac. 又 a2-c2=ac-bc,所以 b2+c2-a2=bc.

根据余弦定理得 cosA= b2

? c2 ? a2 2bc

?

1 ,所以∠A=60°. 2

(2)根据正弦定理,得 sinB= b sin A . a
因为 b2=ac,∠A=60°,

所以 b sin B c

?

b2 sin 60? ac

? sin 60?

?

3 2

.

17.解:(1)设等差数列{an}的公差是 d,依题意得

??a1 ? 2d ? 6,

???3a1

?

3? 2

2

d

?

12.

解得

???da1

? 2, ? 2.

所以数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n.

(2)证明:an=2n,所以

Sn=

n(a1

? 2

an

)

=n(n+1).

1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ??? 1

S1 S2

Sn 1? 2 2?3

n(n ?1)

53

? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ?? (1 ? 1 ) ?1 ? 1 .

12 23

n n?1

n ?1

所以 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 .

S1 S2

Sn

?x ? y ? 6, 18.解:设片集甲播映 x 集,片集乙播映 y 集,则有 ??21x ? 11y ? 86,设此不等式组表示的平面区域为 D.要获得最
??x, y ? N.

高的收视率,只要 z ? 60x ? 20y 最大即可,问题转化为求目标函数 z ? 60x ? 20y 在区域 D 上的最大值即可.

画图分析得,当 x=2,y=4 时,z 取得最大值 200 万.
19.解:(1)由函数 f (x) ? 1 , g(x) ? x2 ,x∈R,可得: x ?1

Df={x|x≠1},Dg=R,从而当

x≠1 时, h(x)

?

x2 ;当 x=1 时,h(x)=1. x ?1

(2)当 x>1 时, h(x) ? x2 ? (x ?1)2 ? 2(x ?1) ?1 ? x ?1? 1 ? 2 ? 4 ;

x ?1

x ?1

x ?1

当 x<1 时, h(x) ? x2 ? (x ?1)2 ? 2(x ?1) ?1 ? ?(1? x ? 1 ) ? 2 ? 0 ;

x ?1

x ?1

1? x

所以,h(x)的值域为{y|y≥4,或 y≤0,或 y=1}.

20.(1)证明:由 Sn?1 ? 4an ? 2, Sn?2 ? 4an?1 ? 2 ,两式相减得 an?2 ? 4an?1 ? 4an .

整理得 an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ) ,即 bn+1=2bn.
故{bn}是公比为 2 的等比数列,
而 b1 ? a2 ? 2a1 ? S2 ? 3a1 ? a1 ? 2 ? 3 ,可得 bn ? 3 ? 2n?1 (n∈N*)

(2)证明: cn

?

an 2n

, cn?1

?

an?1 2n?1

? cn?1 ? cn

?

an?1 ? 2an 2n?1

?

bn 2n?1

?

3 ? 2n?1 2n?1

?

3 4



所以{cn}是等差数列, c1

?

a1 2

?

1 2

,故 cn

?

1 2

? (n ?1) ?

3 4

?

1 (3n ?1) . 4

(3) an ? 2n ? cn ? (3n ? 1) ? 2n?2 (n ? N* ) .

当 n≥2 时, Sn ? 4an?1 ? 2 ? (3n ? 4) ? 2n?1 ? 2 ,因为 S1=a1=1 也适合,

故 Sn ? (3n ? 4) ? 2n?1 ? 2 .

54


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