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极限四则运算(三)


极限的四则运算
(第三课时)

数列极限的四则运算: 如果 lim an ? a, lim bn ? b 那么
n ??

n ??

lim ( an ? bn ) ? a ? b
n ??

lim ( an ? bn ) ? a ? b
n ??

lim

an bn

n ??

?

a b

(b ? 0)

lim (C ? an ) ? C ? a
n ??

注:上述法则可推广到有限个数列的加,减,乘,除。

推广:上面法则可以推广到有限多个数列的 情况。例如,若 ?a ? , ?b ? ,?c n ? 有极限, n n 则:
lim (an ? bn ? cn ) ? lim a n ? lim bn ? lim cn
n?? n?? n?? n??

特别地,如果C是常数,那么

lim (C ? a n ) ? lim C ? lim a n ? CA
n?? n?? n??

例1.已知 lim a n n? ?
例2:求下列极限
(1) lim

? 5 , lim b n ? 3
n? ?

,求

lim ( 3 a n ? 4 b n )
n? ?

1? 2 ? 3 ??? n n
4 n(n ? 1)
2

n ??

?

1 2

(2) lim [
n ??

?

7 n(n ? 1)

???

3n ? 1 n(n ? 1)

]?

3 2 1

(3) lim [ ? ??? ]? n ?? 1 ? 4 4?7 (3n ? 2)(3n ? 1) 3

1

1

1

例3.已知 lim ( 2 n ? n? ? 的值.

an ? 2 n ? 1
2

bn ? 2

)?1

,求常数 a 、 b

例4:化下列循环小数为分数: ( 1 ) 0 . 7 ; ( 2 ) 0 . 2 8 ; ( 3 ) 0 . 2 1 4 .
.

.

. .

. .

解 : 1 0 . 7 ? 0 . 7 ? 0 . 07 ? 0 . 007 ? ? ? ()
. .

0 .7 1 ? 0 .1

?

7 9

;

( 2 ) 0 . 2 8 ? 0 . 28 ? 0 . 0028 ? 0 . 000028 ? ? ?
. . . .

0 . 28 1 ? 0 . 01

?

28 99

;

( 3 ) 0 . 2 1 4 ? 0 . 2 ? 0 . 0 1 4 ? 0 . 2 ? 0 . 014 ? 0 . 000014 ? ? ? 2 10 ? 0 . 014 1 ? 0 . 01 ? 2 10 ? 14 990 ? 212 990 ? 106 445 .

说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:

(1)纯循环小数化为分数,这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同. (2)混循环小数化为分数,这个分数的分子是小数点 后及第二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分 数字所组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数 字是0,其中9的个数与一个循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同.
.

如: . 6 ? 0
.

6 9

?

2 3

. .

;0 . 1 2 ? ? 111 900

12 99 ?

? 37 300 107 275

4 33

.

.

;0 . 3 7 0 ?
. .

370 999

?

10 27 ?

; ;

0 . 12 3 ?
. .

123 ? 12 900

;0 . 2 3 1 ? .

231 ? 2 990

229 990

5 . 38 9 0 ? 5

3890 ? 38 9900

? 5

例5:从数列 为1/7的无穷等比数列.

1 1 1 , ,? , n ,? 中取出无穷项,使其成为各项和 2 4 2
1 , 1 2
r

解:设取出的数列的首项和公比分别为 2 k
1

( k , r ? N ).
*

由题设有: S

?

2 1?

k

1 2
r

?

1 7

,即 7 ? 2

r?k

? 2 ? 1.
r

因为2r-1为奇数,所以r-k≤0. 故只有k-r=0,即k=r,7=2r-1,从而2r=8,r=3. 即取出的数列的首项和公比都是1/8.

例6:如图所示,在Rt ? ABC 内有一系列正方形,面积分别 为S1,S2,…,Sn,…,已知 tan ? A =1/2,BC=a,求所有这 些正方形的面积的和 B 解:? BC ? a , tan A ? 1 / 2 ,? AC ? 2 a . B1

由Δ A1B1C1∽Δ ABC:
? 即 B 1C 1 BC B 1C 1 a ? ? AC AC 2 a ? B 1C 1 2a
1

B2

?

AC ? B 1 C 1 AC

S
2a 3

, .

C A

1

S S3
C1 2

B3

C2

C3

,? B 1 C 1 ?

故第一个正方形的边长a1=2a/3,面积S1=4a2/9.

设第n个正方形的边长为an,第n+1个正方形的边长为 an+1,则由ΔAnBnCn∽ΔAn+1Bn+1Cn+1得:

B n ? 1C n ? 1 B nC n

?

AC

n?1 n

?

a n?1 an

?

2a n ? a n?1 2a n

AC

,? a n ? 1 ?

2 3

an .

由此可知:这一系列正方形的边长组成公比q=2/3的等 比数列,面积组成公比q2=4/9的等比数列. 故所有正方形的面积和 S
? S1 1? q
2

?

4 5

a .

2

例 7 .已知 ?a n ?为等比数列,公比

q 满足 q ? 1,且

a 1 ? a 2 ? a 3 ? 18 , a 2 ? ? 12 ,设 S n 是数列 ?a n ?的前 n 项和,求
n? ?

lim S n .

例8: 在半径为R的圆内接正 边形中, r n 是边心距, n   pn 是周长, S
n

是面积

1  S n与pn 有什么关系 ) 2) 求 lim rn与 lim pn
x ?? x??

R
O
2

3) 利用 ),2 )的结果, 1 说明圆面积公式 ? ?R S

rn

例9、已知首项为 1 , 公比为q a ( 0 ?| q |? 1 )的无穷等比数列的 前n项和为S n, 求 lim S n
n? ?

小结:数列极限的几种常规类型:

( 1 ) lim

f (n) g(n)
n

n? ?


无穷等比数列问题

( 2) lim q 型
n? ?

( 3)可有理化型
数列 { a n }是等比数列,且 则所有项和 s ? lim S n ?
n? ?

| q |? 1 , a1 1?q

练习:1、圆O1是边长为a的正三角形的内切圆,圆O2与 O1外切,且与AB、AC相切,圆O3与O2外切,且与AB、 AC相切,如此无限继续,求所有圆的面积之和S.
?a
答案: S ?
? ? ?
2

12 1? 1 9

?

3? 32

a .

2

2 . 0 . 7 ? 2 . 2 3 8 ? __________

练习:
1 .设 lim ( 2 na n ) ? 1且 lim a n 存在,求 lim ( 1 ? n ) a n .
n? ? n? ? n? ?

2 .若 lim (
n? ?

5n

2

3? n

? an ) ? b ,求 a ? b 的值 .
2

3 .设数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? n ,若 Pn ? 1 a 2a 3 ??? 1 a na n?1 ,求 lim Pn .
n? ?

1 a 1a 2

?

练习:4.求下列极限:
( 1 ) lim n ? 2n ? 3
2 n? ?

2n ? 3n ? 7
2

( 2 ) lim

n ? 34
2

n? ?

n ? 2n ? 3n ? 4
3 2

( 3 ) lim

n ?1
3

n? ?

2n ? 3n ? 7
2

( 4 ) lim
4

2 ? 3
n

n?1 n

n? ?

2

n?1

? 3
2n

( 5 ) lim ( 1 ? a )( 1 ? a )( 1 ? a ) ? ( 1 ? a
2 n? ?

?

)

? (a

? 1)

? 1 ? 1 1 1 ( 6 ) lim ? ? ? ?? ? ? n? ? 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 ( 3 n ? 2 )( 3 n ? 1 ) ? ?

( 7 ) lim (
n? ?

1 2
n

?

2 2
n

?

4 2
n

?? ?

2 2

n n

)


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