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世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(三十五) 6.4


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课时提升作业(三十五)
基本不等式 (25 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.下列不等式:①a2+1>2a;② A.0 B.1 C.2 ≤2;③x2+ D.3 =(x2+1)+ -1≥2-1=1. ) ≥1,其中正确的个数是( )

【解析】选 B.①②不正确,③正确,x2+

2.(2013·福建高考)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A. C. 【解析】选 D.2 B. D.

≤2x+2y=1,所以 2x+y≤ ,即 2x+y≤2-2,所以 x+y≤-2. )

3.(2015·马鞍山模拟)设 x>0,y>0,且 2x+y=6,则 9x+3y 有( A.最大值 27 C.最大值 54 B.最小值 27 D.最小值 54

【解析】选 D.因为 x>0,y>0,且 2x+y=6, 所以 9x+3y≥2 54. 4.圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围是 (
-1-

=2

=2

=54,当且仅当 x= ,y=3 时,9x+3y 有最小值

)

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A. C.

B. D.

【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解. 【解析】选 A.由已知得圆心坐标为(-1,2), 故-2a-2b+2=0,即 a+b=1, 故 ab≤ = .

5.(2015·黄冈模拟)若实数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=2,则 xy+yz+zx 的取值范围是 ( A.[-1,2] C.[-1,1] B.[1,2] D.[-2,2] )

【解析】选 A.因为(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0, 所以 x2+y2+z2≥xy+xz+yz, 所以 xy+yz+zx≤2; 又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)≥0, 所以 xy+xz+yz≥- (x2+y2+z2)=-1. 综上可得:-1≤xy+xz+yz≤2. 故选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·青岛模拟)下列命题中正确的是 ①y=2-3x- (x>0)的最大值是 2-4 ②y=sin2x+ 的最小值是 4; .
-2-

(填序号).

;

③y=2-3x- (x<0)的最小值是 2-4

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【解析】①正确,因为 y=2-3x- =2当且仅当 3x= ,即 x= 时等号成立.

≤2-2

=2-4

.

②不正确,令 sin2x=t,则 0<t≤1, 所以 g(t)=t+ , 显然 g(t)在(0,1]上单调递减, 故 g(t)min=g(1)=1+4=5. ③不正确,因为 x<0,所以-x>0,最小值为 2+4 答案:① 【误区警示】此题容易出现答案为①②,是因为做题时只看到了形式,而看不到 基本不等式成立的条件而造成的. 7.(2013 ·四川高考 ) 已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0) 在 x=3 时取得最小值 , 则 a= . ,当且仅当 4x= ,而不是 2-4 .

【解析】由题 f(x)=4x+ (x>0,a>0),根据基本不等式 4x+ ≥4 时取等号,而由题知当 x=3 时取得最小值,即 a=36. 答案:36 8.已知 x,y 为正实数,3x+2y=10, 【解析】由 得 = + ≤ =2 , ≤ + 的最大值为

.

当且仅当 x= ,y= 时取等号. 答案:2
-3-

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【一题多解】此题还可以这样解: 设 W= + >0, · =2 , =10+2 · ≤10+( )2+( )2=10+(3x+2y)=20,

W2=3x+2y+2 所以 W≤

当且仅当 x= ,y= 时等号成立. 答案:2 三、解答题 9.(10 分)(2015·淄博模拟)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体的沉淀箱.污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出.设箱体的长 度为 a 米,高度为 b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成反 比.现有制箱材料 60 平方米.问当 a,b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂 质的质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计)?

【解析】方法一:设 y 为流出的水中杂质的质量分数, 则 y= ,其中 k 为比例系数,且 k>0, 依题意,即所求的 a,b 值使 y 最小. 据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 所以 b= (0<a<30). = )≤34-2 =-a+32=18.
-4-

所以 ab=a× =34-(a+2+

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当 a+2=

时取等号,y 达到最小值.

此时解得 a=6,b=3. 答:当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 方法二:设 y 为流出的水中杂质的质量分数, 则 y= ,其中 k 为比例系数,且 k>0, 依题意,即所求的 a,b 值使 y 最小. 据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 即 2b+ab+a=30,因为 a+2b≥2 所以 30-ab=a+2b≥2 所以 ab+2 -30≤0. . ,

因为 a>0,b>0,所以 0<ab≤18, 当 a=2b 时取等号,ab 达到最大值 18. 此时解得 a=6,b=3. 答:当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 【加固训练】(1)若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,求 + 的最小值. (2)求 x(8-3x)(0<x< )的最大值. 【解析】(1)依题意 a+b=1,且 a>0,b>0, 所以 + = ≥2+2 + =4, =2+ +

当且仅当 a=b= 时,等号成立, 故 + 的最小值为 4.

-5-

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(2)因为 0<x< ,所以 x(8-3x)=3x(8-3x)· ≤ 当且仅当 3x=8-3x,即 x= 时,等号成立, 故 x(8-3x)的最大值是 .

· = .

(20 分钟 40 分) 1.(5 分)(2015· 怀化模拟)已知 a,b 为正实数,函数 y=2aex+b 的图象经过点(0,1), 则 + 的最小值为( A.3+2 ) C.4 D.2

B.3-2

【解析】选 A.由已知得 2a+b=1, 又因为 a,b 为正实数, 所以 + =(2a+b) ≥3+2 =3+2 . -1 时取等号. =3+ +

当且仅当 a=1- ,b=

【加固训练】(2013·山东高考)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取 得最大值时, + - 的最大值为( A.0 B.1 C. ) D.3

【解析】选 B.由 x2-3xy+4y2-z=0,得 z=x2-3xy+4y2. 所以 = ≤ =1, =1. =

当且仅当 = ,即 x=2y 时取等号,此时 z=2y2, + - = + - = =
-6-

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≤4

=1.

2.(5 分)(2015·吉林模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若 存在两项 am,an 使得 A. B. =4a1,则 + 的最小值为( C. D. )

【解析】选 A.由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5, 可得 a1q6=a1q5+2a1q4, 所以 q2-q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去). 因为 =4a1,所以 qm+n-2=16,

所以 2m+n-2=24,所以 m+n=6, 所以 + = (m+n) = ≥ (5+4)= . 当且仅当 = 时,等号成立,

故 + 的最小值等于 . 3.(5 分)(2015· 太原模拟)正数 a,b 满足 + =1,若不等式 a+b≥-x2+4x+18-m 对任 意实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A.[3,+∞) C.(-∞,6] B.(-∞,3] D.[6,+∞) )

【解析】选 D.因为 a>0,b>0, + =1, 所以 a+b=(a+b) =10+ + ≥10+2 =16,
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由题意,得 16≥-x2+4x+18-m, 即 x2-4x-2≥-m 对任意实数 x 恒成立, 而 x2-4x-2=(x-2)2-6, 所以 x2-4x-2 的最小值为-6, 所以-6≥-m, 即 m≥6. 【加固训练】(2014·闵行模拟)若不等式(x+y) + ≥16 对任意正实数 x,y 恒成 立,则正实数 a 的最小值为 【解析】因为不等式(x+y) . 令 f(x)=(x+y) (a>0), =a+4+4 , . ≥16 对任意正实数 x,y 恒成立 ,所以 16≤

则 f(x)=a+4+ + ≥a+4+2 当且仅当 = 时取等号, 所以 a+4 +4≥16,解得 a≥4,

因此正实数 a 的最小值为 4. 答案:4 4.(12 分)(2015·郑州模拟)若 a>0,b>0,且 + = (1)求 a3+b3 的最小值. (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 【解析】(1)因为 a>0,b>0,且 + = 所以 = + ≥2 ,所以 ab≥2, , .

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当且仅当 a=b= 因为 a3+b3≥2 当且仅当 a=b=

时取等号. ≥2 时取等号, . =4 ,

所以 a3+b3 的最小值为 4 (2)由(1)可知,2a+3b≥2 =2 ≥4 >6,

故不存在 a,b,使得 2a+3b=6 成立. 5.(13 分)(能力挑战题)为了降低能耗,新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热 层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能耗费用 C( 单位 : 万元 ) 与隔热层厚度 x( 单位 :cm) 满足关 系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热

层建造费用与 20 年的能耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式. (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 【解析】(1)当 x=0 时,C(0)=8,即 =8,所以 k=40, 所以 C(x)= 所以 f(x)=6x+ (2)f(x)=6x+ ≥2 当且仅当 2(3x+5)= , =6x+ =2(3x+5)+ -10=70. ,即 x=5 时等号成立,因此最小值为 70, (0≤x≤10). -10

所以当隔热层修建 5cm 厚时总费用最小,最小值为 70 万元.

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