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江苏省连云港市2013-2014学年度第二学期期末考试高二数学(选修历史)试题及答案


江苏省连云港市 2013~2014 学年度第二学期期末考试

高二数学(选修历史)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定地方。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.命题“对所有实数 a ,都有 | a |? 0 ”的否定是 ▲ . ▲ .

2.设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z ? 3. lg8 ? 3lg 5 的值是 ▲ .
B?

4.若集合 A ? {x | y ? x2 ? 3x} ,集合 B ? { y | y ? 3x } ,则 A 5.已知 f ( x) ? e x ,若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (2a) ? f (2b) ?

▲ .





6.已知复数 z ? (m ? 2) ? (m2 ? 9)i 在复平面内对应的点位于第四象限,则实数 m 的取值范 围是 ▲
3



7. 已知函数 f ( x) ? x ? ax2 ? 1 在区间 (0, 2) 上是单调减函数, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . ? x ? y ≤1, ? 8.若 x,y 满足 ? x ? y ≤1, 则 z ? 10x ? y 的最大值是 ▲ . ? x ≥ 0, ? 9. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x 在定义域 [ ?1, n] 上的值域为 [ ?1,3] , 则实数 n 的取值范围是 ▲ . 10.已知一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1 或 x ? 2} ,则 f (10x ) ? 0 的解集为 ▲ . ▲ . 11.若关于 x 的方程 ln x ? ax 有两个不同实数解,则实数 a 的取值范围是
f ( x ) ? 2x ? 2,则 f (log0.5 24) ?

12 .已知定义域为 R 的函数 f ( x) 为偶函数,满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? [0,1] 时, ▲ . ▲ .

13.已知函数 f ( x) ?

4 ? x2 ? m 有零点,则 m 的取值范围是 x?4

14.集合 {1, 2,3,

, n}(n ≥ 3) 中,每两个相异数作乘积,将所有这些乘积的和记为 Tn ,如:

1 T3 ? 1? 2 ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? [62 ? (12 ? 22 ? 32 )] ? 11 ; 2 1 T4 ? 1? 2 ? 1? 3 ? 1? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? [102 ? (12 ? 22 ? 32 ? 42 )] ? 35 ; 2 1 T5 ? 1? 2 ? 1? 3 ? 1? 4 ? 1? 5 ? ? 3 ? 5 ? 4 ? 5 ? [152 ? (12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 )] ? 85 2 则 T7 ? ▲ . (写出计算结果)
二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分)

k 1 x ? 1 和 l2 : y ? x?k . 2 k ?1 (1)求直线 l1 ∥ l2 的充要条件;
已知 k ? R 且 k ? 1 ,直线 l1 : y ? (2)当 x ? [?1, 2] 时,直线 l1 恒在 x 轴上方,求 k 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 先解答(1) ,再通过结构类比解答(2) : ? 1 ? tan x (1)求证: tan( x ? ) ? ; 4 1 ? tan x (2)设 x ? R,a 为非零常数,且 f ( x ? a ) ? 明你的结论.

1 ? f ( x) ,试问: f ( x) 是周期函数吗?证 1 ? f ( x)

17. (本小题满分 14 分) 甲、乙两地相距 s km,汽车从甲地以速度 v (km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小 时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为 a 元,可变成本与速度 v 的平 方成正比,比例系数为 k . (1)为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

1 (2)若规定汽车每小时的可变成本不多于每小时的运输成本的 ,为使全程运输成 5 本最小,汽车应以多大速度行驶?

18. (本小题满分 16 分) 1 已知 cos x ? sin y ? ,x,y ? R. 3 2 sin y ? cos x (1)若 cos x ? sin y ? 0 ,求 的最小值; cos x sin y (2)设 t ? sin 2 x ? sin y ,求 t 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) 已知二次函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a ( a ?R) . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)函数 f ( x) 在 [?1,1] 上有零点,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 e x , g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 ,其中 a ? R . (1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线方程; (2)若存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立,求实数 M 的最大值; (3)若对任意的 s, t ? [0, 2] ,都有 f ( s ) ≥ g (t ) ,求实数 a 的取值范围.

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数学(选修历史)
一、填空题 1.存在实数 a ,有 | a |≥0 ; 2.1 ? i ; 7. [3, ??) ; 13. 0 ≤ m ≤ 二、解答题 8.10; 9. [1,3] ;
3 ; 3

3.3;

4.[3, ??) ;

5.4; 6. (2,3) ;

10. {x | x ? lg 2} ;

11. (0, ) ;12. ?

1 e

1 ; 2

14.322

1 ?k , ? ? 15.解: (1)由题意得 ? 2 k ? 1 解得 k ? 2 . ? ? 1 ? ?k , 当 k ? 2 时, l1 : y ? x ? 1 , l2 : y ? x ? 2 ,此时 l1 ∥ l2 .
(说明:求得 k ? 2 即可,不扣分) k (2)设 f ( x) ? x ? 1 . 2

???????? 7 分

?k ? (?1) ? 1 ? 0, ? f ( ? 1) ? 0, ? ? 法 1:由题意得 ? 即 ?2 解得 ?1 ? k ? 2 .??????? 14 分 ? f (2) ? 0, ? k ? 2 ? 1 ? 0, ? ? 2 ? k ? 0, ? k ? 0, 法 2: ? 或? 解得 ?1 ? k ? 2 . ??????? 14 分 ? f (?1) ? 0, ? f (2) ? 0,

4 ? 1 ? tan x . 16. (1)证明: tan( x ? ) ? 4 1 ? tan x ? tan ? 1 ? tan x 4 (2)猜想 f ( x) 是以 4a 为周期的周期函数. 1? 1? 1 ? f ( x ? a) 1? ? 证明:因为 f ( x ? 2a) ? f [( x ? a ) ? a ] ? 1 ? f ( x ? a) 1 ? 1 ? 1? 1 ? f ( x) , 所以 f ( x ? 4a ) ? f [( x ? 2a ) ? 2a ] ? ? f ( x ? 2a ) 所以 f ( x) 是以 4a 为周期的周期函数.

?

tan x ? tan

?

???????? 6 分

f ( x) 1 f ( x) ?? , f ( x) f ( x) f ( x)

?????? 14 分

17.解: (1)汽车每小时的运输成本为 (a ? kv 2 ) 元,全程行驶时间为 本为 y 元.

s h,设全程运输成 v

s a a ? s(kv ? ) ≥ s ? 2 kv ? ? 2s ak , v v v a a 当且仅当 kv ? ,即 v ? 时等号成立. v k a 所以,为使全程运输成本最小,汽车应以 (km/h)的速度行驶.?????? 7 分 k 1 1 a 2 2 (2)由题意得 kv ≤ ( a ? kv ) ,得 v ≤ . 5 2 k 1a k? ?a 2 a a kv ? a 4k 设 f (v) ? s (kv ? ) ,则 f ?(v) ? s(k ? 2 ) ? s ? ≤ s ? ?0, v v v2 v2 1 a 所以 f (v) 在 (0, ] 上是减函数, 2 k 1 a 1 a a 5 所以,当 v ? 时, f (v)min ? s(k ? ? ) ? s ak . 2 k 2 k 1 a 2 2 k 1 a 所以,为使全程运输成本最小,汽车应以 (km/h)的速度行驶.????? 14 分 2 k
则 y ? (a ? kv ) ?
2

18.解: (1)

2sin y ? cos x 2 1 1 2 1 ? ? ? 3? ( ? ) cos x sin y cos x sin y 3 cos x sin y 2 1 2sin y cos x 2sin y cos x ? ) ? 3(3 ? ? ) ≥ 3(3 ? 2 ? ) ? 3(3 ? 2 2) . cos x sin y cos x sin y cos x sin y

? 3(cos x ? sin y )(

2 ?1 2? 2 , cos x ? 时等号成立. 3 3 1 1 (2)由 cos x ? sin y ? ,得 sin y ? ? cos x . 3 3 2 由 ?1 ≤ cos x ≤ 1 , ?1 ≤ sin y ≤1 ,得 ? ≤ cos x ≤1 . 3 1 1 11 t ? sin 2 x ? sin y ? 1 ? cos2 x ? ? cos x ? ?(cos x ? )2 ? , 3 2 12 2 4 1 11 当 cos x ? ? 时, tmin ? ? ;当 cos x ? 时, tmin ? . 3 9 2 12 4 11 所以, t 的取值范围是 [? , ] . 9 12 19.解: (1)方程 f ( x) ? 0 的判别式 ? ? 4a2 ? 4a ? 4a(a ? 1) , 当 ?1 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R;

当且仅当 sin y ?

?????? 8 分

????? 16 分

当 a ? ?1 或 a ? 0 时, ? ? 0 ,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? R, 且x ? a} ; 当 a ? ?1 或 a ? 0 时 , ? ? 0 , 不 等 式 f ( x ) ? 0 的 解 集 为

{x | x ? a ? a 2 ? 1, 或x ? a ? a 2 ? 1}.

?????? 6 分

(2)法 1:当 a ? 0 时, f ( x) 在 [?1,1] 上有一个零点 0; 当 a ? ?1 时, f ( x) 在 [?1,1] 上有一个零点-1; 当 a ? ?1 时,考虑到 f (0) ? ?a ? 0 ,对称轴 x ? a ? ?1 ,则有 f (?1) ≤ 0 ,得 a ≤ ?1 , 所以 a ? ?1 ; a ? 0 时,考虑到 f (0) ? ?a ? 0 ,对称轴 x ? a ? 0 ,则有 f (?1) ≥ 0 ,得 a ≥ ?1 , 所以 a ? 0 . 综上, a 的取值范围为 (??, ?1] [0, ??) .
2 :法 2:由 f ( x) ? 0 ,得 a(2 x ? 1) ? x ①,

????? 16 分
2

t ?1 (t ? 1) 对于 x ? [?1,1] , 2 x ? 1 ? t ,则 x ? , t ?[?1,3] ,变为 at ? ② 2 4 1 1 若 t ? 0 ,则②不成立,故可得 a ? (t ? ? 2) , t ?[?1,0) (0,3] . 4 t 2 1 1 1 t ?1 令 g (t ) ? (t ? ? 2) ,则 g ?(t ) ? ? 2 . 4 t 4 t 当 t ? (?1,0) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递减;当 t ? (0,1) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递减; 当 t ? (1,3) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递增.所以 g (t ) 的值域为 (??, ?1] [0, ??) . ????? 16 分 a 的取值范围为 (??, ?1] [0, ??) .

20.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 e x , f ?( x) ? e x ( x2 ? 2 x) , f (1) ? e , f ?( x) ? 3e , 所以所求切线方程为 y ? e ? 3e( x ? 1) ,即 y ? 3ex ? 2e . ????? 2 分

2 3 当 x 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化情况如下: x 0 2 2 2 (0, ) ( , 2) 3 3 3 0 - + g ?( x ) 极小值 g ( x ) ?3

(2) g ?( x) ? 3 x( x ? ) , x ? [0, 2] .令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 2

2 . 3

1

所以 [ g ( x)]max ? max{g (0), g (2)} ? g (2) ? 1 , [ g ( x)]min ? g ( ) ? ? 因为存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立,

2 3

85 . 27

112 112 .所以实数 M 的最大值为 .???? 8 分 27 27 (3)由(2)知,在 [0, 2] 上, [ g ( x)]max ? g (2) ? 1,所以 f ( x)min ≥1 .
所以 M ≤ [ g ( x)]max ? [ g ( x)]min ?
f ?( x) ? e x ( x ? a)( x ? a ? 2) . (ⅰ)当 a ≤ 0 或 a ≥ 4 时,在 [0, 2] 上, f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 是单调增函数.

所以 f ( x)min ? f (0) ? a2 ≥1 ,解得 a ≤ ?1 或 a ≥ 1 . 所以 a ≤ ?1 或 a ≥ 4 . (ⅱ) 当 0 ? a ? 2 时, 在 [0, a ] 上,f ?( x) ≤ 0 ,f ( x) 是单调减函数; 在 [ a, 2] 上,f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 是单调增函数. 所以 f ( x)min ? f (a) ? 0 ≥1 ,不成立. (ⅲ) 当 2 ? a ? 4 时, 在 [0, a ] 上,f ?( x) ≥ 0 ,f ( x) 是单调增函数; 在 [ a, 2] 上,f ?( x) ≤ 0 ,
f ( x) 是单调减函数.

所以 f (0) ? a ≥1 且 f (2) ? (2 ? a) e ≥1,又 2 ? a ? 4 ,可得 2 ?
2 2 2

(ⅳ)当 a ? 2 时,在 [0, 2] 上, f ?( x) ≤ 0 , f ( x) 是单调减函数.

1 ≤a ? 4. e

f ( x)min ? f (2) ? (2 ? a)2 e2 = 0 ≥1 ,不成立. 1 综上,实数 a 的取值范围是 (??, ?1] [2 ? , ??) . e

????? 16 分


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