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重庆一中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题


秘密★启用前

2015 年重庆一中高 2017 级高一上期期末考试
数 学 试 题 卷
2015.1

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一.选择题.( 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)
2 1.设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ? (

)

A. {?2}

B. {2}

C. {?2,2}

D. ?

2.已知函数 f ( x ) 为奇函数,且当 x ? 0 时, A.2 B.-2 C.0 D.1 3.已知 ? 是第四象限的角,若

f ( x) ? x2 ?

1 x ,则 f ( ?1) ? (



cos ? ? 3 5 ,则 tan

? ?(



3 4 A.

?3 B. 4

4 C. 3

?4 3 D.

4.如图,在正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? FB 等于(

??? ? ??? ? ??? ?

)

? 0 A.

??? ? BE B.

???? C. AD

??? ? CF D.

5.函数 A.3

f ( x ) ? 3x ? x ? 3 在区间 (0,1) 内的零点个数是(
B.2 C.1 D.0



f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 2 的部分图象如图所示,则 f ? x ? 的 6.已知函数
解析式是( )
y

f ? x ? ? 2sin 2 x ? ? 3 A.

?

?

f ? x ? ? 2sin x ? ? 3 B.

?

?
? ?

2


O

f ? x ? ? 2sin 2 x ? ? 6 C.

?

?

2π 3

6
x

f ? x ? ? 2sin x ? ? 6 D.

-2

-1-

7.下列函数中,既是偶函数,又在区间 A. y ? cos x
x ?x y ? e ?e 2 C.

?1,2 ? 内是增函数的为





B. y ? ln | x | D. y ? tan 2 x ) D. c ? a ? b

8.设 a ? tan 35?, b ? cos 55?, c ? sin 23? ,则( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a

9. ( 原 创 ) 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x ) , 当 x ? [0,2) 时 ,

f ( x) ? ? (1 ) 2

x?3 2

5 f (? ) ? 2 ( ,则 1 C. 2 ?



1 A. 4

1 B. 8

1 D. 4 ?

f ( x) ?
10.(原创) 函数

cos x ? 2 3 ? 2cos x ? sin x 的值域是(



? ? ? 2, ? 3 2 ? ? 5 ? A. ?

? ? ? 3, ? 2 3 ? ? 5 ? B. ?

? 3 3 2? ? ,? ? 2 5 ? ? ? C.

? ? ? 2, ? 3 2 ? ? 4 ? D. ?

二.填空题.(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

tan 5? ? 6 11.

.

12.(原创)如右下图所示,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ,点 M 是线

??? ? ? ???? ? ???? ? AB ? a , AD ? b ,则 AM ? OD 段 的中点,设
? 1 (lg 25 ? lg ) ? 100 2 ? 4 13. 1

? ? a .(结果用 , b 表示)



14.

sin 50? 1 ? 3 tan 10? ?

?

?

.

?2 g ( x 2 ) ? g ( x ? 1), g (2 x ) ? g ( x ) f ( x) ? ? 2 g ( x ) ? x ? 1 ? g ( x ) ? g ( x ), g (2 x ) ? g ( x ) 15.(原创) 设 ,已知 ,若关于 x 的方
2 2 x ,x ,x x 2 ? x2 ? x3 程 f ( x) ? m 恰 有 三 个 互 不 相 等 的 实 根 1 2 3 , 则 1 的取值范围

-2-



.

三.解答题.( 本大题共 6 小题,共 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. (原创) (本小题 13 分)已知 2 (Ⅰ)求 tan ? 的值;

? ?? ??



tan ? ?

1 ??3 tan ? 2.

cos( 3? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 sin(? ? ? ) 2 (Ⅱ)求 的值.

? ? ? b a ? (3,2) 17.(原创) (本小题 13 分)平面内给定三个向量 , ? ( ?1,2) , c ? (4,1) .
? 5? ? 7? ? ? ? d? a? b | d 8 8 ,且 |? 10 ,求向量 d 的坐标; (Ⅰ)设向量 ? ? ? ? (2 b ? a ) ,求实数 k 的值. ( a ? kc ) // (Ⅱ) 若

18. (原创)(本小题 13 分)已知函数 f ( x ) ? a ( a ? 0, a ? 1) 在区间 [ ?1, 2] 上的最大值是最小
x

值的 8 倍. (Ⅰ)求 a 的值;

log a (2a ? 2 x ) ? log a ( x ? 1) . (Ⅱ)当 a ? 1 时,解不等式
2

g ( x ) ? 4 sin(? x ? 2? ), h( x ) ? cos ?? x ? ? ? (? ? 0) 3 19. (原创) (本小题 12 分)已知函数 .
(Ⅰ)当 ? ? 2 时,把 y ? g ( x ) 的图像向右平移 6 个单位得到函数 y ? p ( x ) 的图像,求函 数 y ? p ( x ) 的图像的对称中心坐标; (Ⅱ)设 f ( x ) ? g ( x )h ( x ) ,若 f ( x ) 的图象与直线 y ? 2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为

?

-3-

? ,求 ? 的值,并求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

20.(原创) (本小题 12 分)已知函数 (Ⅰ)若 f ( x ) 是偶函数,求实数 m 的值;

f ( x ) ? log 2 (4 x ? 1) ? mx .

(Ⅱ)当 m ? 0 时,关于 x 的方程

4 f 8(log 4 x ) 2 ? 2 log 2 1 x ? m ?4 ?1

?

?

在区间 [1, 2 2] 上恰有

两个不同的实数解,求 m 的范围.

21.(原创) (本小题 13 分)已知定义在 ( ??, ?1) ? (1, ??) 的奇函数满足:① f (4) ? 1 ;②对 任意 x ? 2 均有 f ( x ) ? 0 ;③对任意 x ? 1, y ? 1 ,均有 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( xy ? x ? y ? 2) . (Ⅰ)求 f (2) 的值; (Ⅱ)证明: f ( x ) 在 (1, ?? ) 上为增函数; (Ⅲ)是否存在实数 k ,使得

f ? sin 2? ? ( k ? 4)(sin ? ? cos ? ) ? k ? ? 2

对任意的 ? ? [0, ? ] 恒

成立?若存在,求出 k 的范围;若不存在说明理由.

命题人:李长鸿 审题人:王中苏

-4-

2015 年重庆一中高 2017 级高一上期期末考试 数学参考答案 2015.1 一.选择题:1-5:ABDAC:6——10:BBADA

f ( x) ?
10. 解:

cos x ? 2 2 ? cos x ?? 3 ? 2cos x ? sin x 1 (6 ? 4cos x ? 2sin x ) 2

??

(2 ? cos x ) 2 1 [(4 ? 4cos x ? cos 2 x ) ? (1 ? 2sin x ? sin 2 x )] 2
2 1 ? 1 ? ( sin x ) 2 2 ? cos 1 ? sin x ? m 2 ? cos x , 则

??

2(2 ? cos x ) 2 (2 ? cos x ) 2 ? (1 ? sin x ) 2

??



1 ? sin x ? 2m ? m cos x



sin x ? m cos x ? 2m ? 1



1 ? m 2 sin( x ? ? ) ? 2m ? 1 得
| 2m ? 1| 2 ?1 sin( x ? ? ) ? 2m2? 1 f ( x) ? ? 0?m? 4 1 ? m2 单 增 , 值 域 为 m ? 1 , 由 m2 ? 1 3, 解得
? ? ? 2, ? 3 2 ? ? 5 ? ?
二.填空题.(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

?
11.

?6? 3 ? 3 ? 3? 1a ,1? ? b ? 4 ;13. 20;14. 1 ;15. ? 8 ?. 3 ;12. 4

?2 x 2 ? 2 ? ( x ? 2), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x 2 ? x, x ? 0 f ( x) ? ? ?? x ? 1 ? ( x 2 ? 1), 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? x 2 ? x, x ? 0 ? 15.解: ,绘出简图 0?m? 1 f ( x ) ? m 4 ,且当 x ? 0 时方程可化为 ? x 2 ? x ? m ? 0 ,易知, 若方程 有三个根,则

-5-

x2 ? x3 ? 1 , x2 x3 ? m ;当 x ? 0 时方程可化为 2 x 2 ? x ? m ? 0 ,可解得 x1 ?


1 ? 1 ? 8m 4

2 2 x12 ? x2 ? x3 ? x12 ? ( x2 ? x3 ) 2 ? 2 x2 x3 ? 1 ? 2 1 ? 8m ? 1 ? 8m ? 1 ? 2m 16 ? ? 3 m ? 1 1 ? 8m ? 9 2 8 8

y?

? ? 3 t 2 ? 1 t ? 21 y ? ? 6 ? 3 ,1? y ? ? ? 8 ? 16 8 16 ,求得 令 t ? 1 ? 8m ? (1, 3) ,则
三.解答题.( 本大题共 6 小题,共 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. 解:(Ⅰ)令 tan ? ? x ,则

x?

1 3 1 ?? x? 2 x 2 , 2 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 2 或 x ? ?2 ,

? ?? ??
2

, tan ? ? 0 ,故 tan ? ? ?2 ;

cos( 3? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 ? sin ? ? cos ? ? tan ? ? 1 ? ?2 ? 1 ? ?1 ? cos ? sin( ? ? ) 2 (Ⅱ)

? 5? ? 7? ? ? 15? 10? ? ? 7? 14? ? d? a? b ?? , , ? ? ?? ? ? (? , 3? ) 8 8 8 ? ? 8 8 ? ? 5 17. 解:(Ⅰ) ? ? ? | d |? ? 2 ? 9? 2 ? 10 ,解得 ?1 , d ? (1, 3) 或 d ? ( ?1, ?3) ? ? ? ? a ? kc ? (3 ? 4 k , 2 ? k ), 2 b ? a ? ( ?5, 2) ,由题得 2 ? (3 ? 4k ) ? ( ?5) ? (2 ? k ) ? 0 ,解 (Ⅱ)
k ? ? 16 13 得
18.解:(Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x ) max ? a , f ( x ) min
2 ?1 2

a2 2 ? a ,则 a ?1 ? a ? 8 ,解得 a ? 2 ;
?1

当 0 ? a ? 1 时,

f ( x ) max ? a , f ( x ) min

1 a ?1 ?3 ? a ,则 a 2 ? a ? 8 ,解得 a ? 2 ;
2

loga (2a ? 2x ) ? loga (x ? 1) ( Ⅱ ) 当 a ?1 时 , 由 前 知 a ? 2 , 不 等 式 即 为
log 2 (4 ? 2 x ) ? log 2 ( x 2 ? 1)
?4 ? 2 x ? 0 ? x ? ?2 ? x ? ?2 ?? ? ? ? ? 2 2 ? x ? ?1或 ? 3 得解集为 ( ?2, ?1) ? (3, ??) . ?4 ? 2 x ? x ? 1 ?x ? 2x ? 3 ? 0
19. 解 : ( Ⅰ
-6-





??2





g ( x ) ? 4 sin(2 x ? 2? ) g ( x ? ? ) ? 4 sin(2 x ? ? ? 2? ) ? 4 sin(2 x ? ? ) 3 6 3 3 3

p( x ) ? 4 sin(2 x ?

?

3 , 令

)

2x ?

?
3

? k?
, 得

x??

?
6

?

? ? k? ? k? , 0 ? (k ? Z ) ?? ? 2 ? 2 , 中心为 ? 6 ;

(Ⅱ)

? 3? 1 f ( x ) ? 4sin(? x ? 2? )( ? cos ? x ) ? ?4 ?sin ? x ? ( ? 2 ) ? cos ? x ? 2 ? cos ? x ? ? 3

? 2sin ? x cos ? x ? 2 3cos 2 ? x ? sin 2? x ? 3(1 ? cos 2? x )

? 2 sin(2? x ? ? ) ? 3 3

? 2? ? ? , ? ? 1 由题意, T ? ? , 2? t ? 2x ? ? 3 是 x 的增函数,则需 y ? 2sin t ? 3 是 t 的增函数 令 2k? ? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? ? 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? ? 5? 2 3 2, 6 6 故
? k? ? ? , k? ? 5? ? ( k ? Z ) f ( x ) 的单增区间是 ? 12 12 ? ? ? .
若 f ( x) 是 偶 函 数 , 则 有 f (? x) ? f ( x) 恒 成 立 , 即 :

k? ? ? ? x ? k? ? 5? 12 12 ,

函数

20. 解 : ( Ⅰ )

log 2 (4 ? x ? 1) ? mx ? log 2 (4 x ? 1) ? mx
x 1) ? log (4 x ? 1) ? ?2 x 2mx ? log 2 (4 ? x ? 1) ? log 2 (4 x ? 1) ? log 2 ( 4 ? 2 x 4 于是

即是 2mx ? ?2 x 对 x ? R 恒成立,故 m ? ?1 (Ⅱ)当 m ? 0 时, 所以

y ? log 2 (4 x ? 1) ,在 R 上单增, y ? mx 在 R 上也单增

f ( x ) ? log 2 (4 x ? 1) ? mx 在 R 上单增,且 f (0) ? 1



4 f 8(log 4 x ) 2 ? 2 log 2 1 x ? m ?4 ?1

?

?

可化为

4 f 8(log 4 x ) 2 ? 2 log 2 1 x ? m ? 4 ? f (0)

?

?



f ( x)









4 8(log 4 x ) 2 ? 2 log 2 1 x ? m?4?0









8(

log 2 x 2 ) ? 2 log 2 x ? 4 ? 4 ? 0 log 2 4 m

2(log 2 x ) 2 ? 2 log 2 x ? 4 ? 4 ? 0 t ? [0, 3 ] t ? log 2 x m 2 ,问题转换化为 即 ,令 ,则

-7-

2t 2 ? 2t ? 4 ? 4 ? 0 t ? [0, 3 ] ? 4 ? ?2t 2 ? 2 t ? 4 m m 2 有两解 在
2 令 y ? ? 2t ? 2t ? 4 ,

y ? ?2(t ? 1 ) 2 ? 9 (0 ? t ? 3 ) ymax ? y ( 1 ) ? 9 2 2 2 , 2 2,

4 4 9 8 4? ? ? m ?1 y ? ?2(t ? 1 ) 2 ? 9 (0 ? t ? 3 ) y ? 2 2 2 与 m 的简图知, m 2 解得 9 作出 8 ? m ?1 又 m ? 0 ,故 9 .
21. 解 : ( Ⅰ ) 由

f ( x ) ? f ( y ) ? f ( xy ? x ? y ? 2) ? f ? x ( y ? 1) ? (1 ? y ) ? 1? ? f ?( y ? 1)( x ? 1) ? 1?
令 m ? x ? 1, n ? y ? 1 , 则 m, n ? 0 , 且有 f ( m ? 1) ? f ( n ? 1) ? f ( mn ? 1) 对任意 m, n ? 0 均成立 令 m ? n ? 1 即有 f (2) ? f (2) ? f (2) ,得 f (2) ? 0 ; (Ⅱ)由 f ( m ? 1) ? f ( n ? 1) ? f ( mn ? 1) 有 f ( mn ? 1) ? f ( n ? 1) ? f ( m ? 1) ,只需 m ? 1 就 好 设 则 即

x2 ? mn ? 1, x1 ? n ? 1 ,其中 n, m ? 0, m ? 1 ,则 x2 ? x1 ? n( m ? 1) ? 0 ,故 x2 ? x1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( mn ? 1) ? f ( n ? 1) ? f ( m ? 1) , m ? 1, m ? 1 ? 2 所以 f ( m ? 1) ? 0 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) , f ( x ) 在 (1, ??) 单调递增

(Ⅲ)由 f ( m ? 1) ? f ( n ? 1) ? f ( mn ? 1) 令 m ? n ? 3 ,有 f (4) ? f (4) ? f (10) , f (10) ? 2

m ? 9, n ?


1 1 1 10 f (9 ? 1) ? f (1 ? ) ? f (9 ? ? 1) ? 0 f ( ) ? ?2 9 ,由 9 9 9 ,故 ,由奇偶性

f (?

10 ) ? ?2 9

则 f ( x ) ? 2 的解集是

( ??, ?

10 ) ? (1,10) 9 sin 2? ? ( k ? 4)(sin ? ? cos ? ) ? k ? ? 10 9

于是问题等价于是否存在实数 k 使

或 1 ? sin 2? ? ( k ? 4)(sin ? ? cos ? ) ? k ? 10 对任意的 ? ? [0, ? ] 恒成立
-8-

令 t ? sin ? ? cos ? , t ? [ ?1, 2] ,问题等价于

t 2 ? ( k ? 4)t ? k ? 1 ? ?

10 2 9 或 1 ? t ? ( k ? 4)t ? k ? 1 ? 10 对 t ? [ ?1, 2] 恒成立
g (t ) ? ? 10 9 对 t ? [ ?1, 2] 恒成立的必要条件是

令 g (t ) ? t ? ( k ? 4)t ? k ? 1 ,则
2

13 ? 10 1 ? ? k? g ( ?1) ? ? 2k ? 3 ? ? 0 ? ? ? 9 ? ? ? 9 9 ? ? ? ? g ( 2) ? ? 10 ? ? 2k ? k ? 1 ? 1 ? 0 ? k ? 8 ? 19 ? 4 2 ? 19 2 ? ? 9 即? 9 ? ? 9 9 ,此时无解; 得?

? ? ?1 ? 2k ? 4 ? 10 ?1 ? g ( ?1) ? 10 ? ? 1 ? g ( 2) ? 10 ?1 ? (1 ? 2)k ? 4 2 ? 1 ? 10 ? 1 ? g ( t ) ? 10 ? 同理 恒成立的必要条件是 ,即 ?
?5 ? ?k?7 ?2 ? ?1 ? 5 2 ? k ? 8 ? 4 2 ?

解得

5 ?k?7 ,得 2 ;

5 k ? 4 ??? 3 , 3? ?k?7 t0 ? ? ? 2 ? 4 2?, 2 当2 时, g (t ) ? t ? ( k ? 4)t ? k ? 1 的对称轴
t0 ? k ?4 ? 3? ? ? 2, ? 2 2 ? ,在区间 [ ?1, 2] 的右侧 ?
? ?1 ? g ( ?1) ? 10 ?? ? ?1 ? g ( 2) ? 10

(1)当 4 ? 2 2 ? k ? 7 时,对称轴

g (t ) ? t 2 ? ( k ? 4)t ? k ? 1 在 [ ?1, 2] 单调递减, 1 ? g (t ) ? 10 恒成立
成立 故 4 ? 2 2 ? k ? 7 时, 1 ? g (t ) ? 10 恒成立;

5 k ? 4 ??? 3 , 2? ?k ?4?2 2 t0 ? ? ? 2 ? 4 ? , g (t ) ? t ? ( k ? 4)t ? k ? 1 在 2 (2)当 2 时,

[ ?1, 2] 先减后增
?k ?4? ( k ? 4) 2 k ?4 g (t ) min ? g ? ? 1 ? ( k ? 4) ? k ?1 ? 1 ? 1 ? g (t ) ? 10 恒成立还需 2 ? ? 4 2 ,即
2 化 简 为 k ? 12k ? 24 ? 0 , ( k ? 6) ? 12 , 即 ?2 3 ? k ? 6 ? 2 3 , 解 得
2

6?2 3?k ? 6?2 3

-9-

?6 ? 2 3 ? k ? 6 ? 2 3 ? ?5 ? ?k ?4?2 2 故有 ? 2 解得 6 ? 2 3 ? k ? 4 ? 2 2 ;
综上所述存在

k ? 6 ? 2 3, 7

?

? , 使 f ?sin 2? ? (k ? 4)(sin ? ? cos ? ) ? k ? ? 2 对 任 意 的

? ? [0, ? ] 恒成立.

版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)

- 10 -


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