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四川省资阳市2013届高三数学第二次高考模拟考试试题 文(含解析)新人教A版

2013 年四川省资阳市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目的要求的. 1. 分) (5 (2013?资阳二模)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=( ) A.{1,2,4,5} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先根据并集的定义求出 A∪B;再结合补集概念即可得到结论. 解答: 解:因为全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={3,5}, 所以:A∪B={1,3,5}; ∴CU(A∪B)={2,4}. 故选 C. 点评: 本题主要考察集合的交,并,补混合运算,是对基础知识的考察,在高考中出现在前三题得位置里.

2. 分) (5 (2013?资阳二模)函数 f(x)= A. B.

﹣1 的图象大致是( C.

) D.

考点: 幂函数的图像. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用幂函数的单调性可排除 B 项;利用特殊点可排除 C、D 项; 解答: 解:因为 0,所以 f(x)在[0,+∞)上递增,排除 B; 当 x=0 时,f(0)=﹣1,即 f(x)的图象过点(0,﹣1) ,排除 C、D; 故选 A. 点评: 本题考查幂函数的图象及性质,考查学生的识图用图能力. 3. 分) (5 (2013?资阳二模)下列命题为真命题的是( ) A.若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 2 B.“x=5”是“x ﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件 2 2 C.命题“若 x<﹣1,则 x ﹣2x﹣3>0”的否定为:“若 x≥﹣1,则 x ﹣3x+2≤0” 2 2 D.已知命题 p:? x∈R,使得 x +x﹣1<0,则?p:? x∈R,使得 x +x﹣1≥0 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 分析: 本题需要逐一判断,到满足题意的选项为止, (选择题四选一) ;可以采用先熟悉后生疏的策略判定 解答. 解答: 解:由复合命题真值表知:若 p∨q 为真命题,则 p、q 至少有一个为真命题,有可能一真一假,也 可能两个都真,推不出 p∧q 为真命题∴选项 A 错误; 2 2 由 x=5 可以得到 x ﹣4x﹣5=0,但由 x ﹣4x﹣5=0 不一定能得到 x=5,∴选项 B 成立;
1

选项 C 错在把命题的否定写成了否命题; 选项 D 错在没有搞清楚特称命题的否定是全称命题. 故选 B. 点评: 本题涉及到四个命题,真值表,充要条件,命题的否定,分析中逐一判断,到满足题意的选项为止, (选择题四选一) ,先熟悉后生疏,提供解题策略;解答中分析的比较清晰. 4. 分) (5 (2013?资阳二模)已知直线 l,m 和平面 α ,则下列命题正确的是( ) A.若 l∥m,m? α ,则 B.若 l∥α ,m? α ,则 C.若 l⊥m,l⊥α ,则 D.若 l⊥α ,m? α ,则 l∥α l∥m m⊥α l⊥m 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题. 分析: 根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少,可判断 A 的真假; 根据线面平行的几何特征,及空间直线关系的分类和定义,可判断 B 的真假; 根据线线垂直及线面垂直的几何特征,可以判断 C 的真假; 根据线面垂直的性质(定义)可以判断 D 的真假; 解答: 解:若 l∥m,m? α ,当 l? α ,则 l∥α 不成立,故 A 错误 若 l∥α ,m? α ,则 l∥m 或 l,m 异面,故 B 错误; 若 l⊥m,l⊥α ,则 m? α 或 m∥α ,故 C 错误; 若 l⊥α ,m? α ,根据线面垂直的定义,线面垂直则线垂直面内任一线,可得 l⊥m,故 D 正确 故选 D 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,空间中直线与平面的位置关系,其中熟练掌握 空间线面关系的几何特征是解答的关键. 5. 分) (5 (2013?资阳二模)以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是( 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x﹣2) +y =4 B.(x﹣1) +y =4 C.(x﹣2) +y =2 D.(x﹣1) +y =2 考点: 抛物线的简单性质;圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 找出抛物线的焦点坐标和准线方程,确定圆心和半径,从而求出圆的标准方程. 2 解答: 解:抛物线 y =4x 的焦点(1,0) ,准线方程为:x=﹣1, 2 ∴以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是 2, 2 2 2 ∴以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,并且与此抛物线的准线相切的圆的方程为; (x﹣1) +y =4, 故选 B. 点评: 本题考查抛物线的性质及求圆的标准方程的方法,属于中档题.
2



6. 分) (5 (2013?资阳二模)式子 log2(log216)+ A.4 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 有题设先求出 log216=4 以及 B.6

×( ) =( C.8

﹣5

) D.10

=2 ,再求出 log24=2 以及 2 ×

﹣2

﹣2

=8,相加得结果.

2

解答: 解:log2(log216)+ × =log24+2 ×
﹣2

=2+8=10,

故答案为:D. 点评: 本题考查了对数和指数运算性质的应用:求式子的值,属于基础题.

7. 分) (5 (2013?资阳二模)实数 x,y 满足不等式组 A.2 B.1 C.

,则 x+y 的最大值为( D.0



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,再求出可行域中各角点

的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数 Z=x+y 的最大值. 解答: 解:约束条件 的可行域如下图示:

由图易得目标函数 z=x+y 在 A(0,2)处取得最大值 2, 故选 A.

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域? ②求出可 行域各个角点的坐标? ③将坐标逐一代入目标函数? ④验证,求出最优解. 8. 分) (5 (2013?资阳二模)下列不等式成立的是( ) A. B. sin(﹣ )>sin(﹣ ) sin C. tan( ) D. cos(﹣ )>cos(﹣ )

考点: 正切函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 把各个选项中两个三角函数中的角利用诱导公式转化到同一个单调区间内,再利用三角函数的单调 性比较两个三角函数值的大小,从而得出结论.
3

解答:

解: 由于﹣ <sin(﹣ 由于 0< 故排除 B. 由于 tan <tan

<﹣

<﹣

<0, 而函数 y=sinx 在区间 (﹣

, 上是增函数, 0) 故有 sin (﹣



) ,故排除 A. < < ,而函数 y=sinx 在区间(0, )上是增函数,故有 sin( )<sin( ) ,

=tan ,即 tan

,0< <tan



<0,而函数 y=tanx 在区间( 0,

, )上是增函数,故有 tan

,故排除 C. )=cos(﹣ , )=cos ,且函数 y=cosx 在区间(0,

由于 cos(﹣

)=cos

,cos(﹣ >cos

π )上是减函数,故 cos 即 cos(﹣

)>cos(﹣

) ,故 D 正确,

故选 D. 点评: 本题主要考查三角函数的单调性,诱导公式的应用,关键是把各个选项中两个三角函数中的角利用 诱导公式转化到同一个单调区间内,属于中档题. 9. 分) (5 (2013?资阳二模)执行右图所示的程序框图(其中[x]表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的 S 值为( )

A.4

B.5

C.7

D.9

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,不满足然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环, 输出结果. 解答: 解:n=0 不满足判断框中的条件,n=1,s=1, n=1 不满足判断框中的条件,n=2,s=2, n=2 不满足判断框中的条件,n=3,s=3, n=3 不满足判断框中的条件,n=4,s=5, n=4 不满足判断框中的条件,n=5,s=7, n=5 满足判断框中的条件 输出的结果为 7,
4

故选 C. 点评: 本题主要考查了循环结构,是直到型循环,当满足条件,执行循环,属于基础题.

10. 分) (5 (2013?资阳二模) 已知定义在[1, +∞) 上的函数 f (x) = A.函数 f(x)的值域为[1,4] B.关于 x 的方程 f(x)﹣ =0(n∈N*)有 2n+4 个不相等的实数根 C.当 x∈[2 ,2 ](n∈N )时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的面积为 2 D.存在实数 x0,使得不等式 x0f(x0)>6 成立 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分类讨论:①当 1≤x≤ 时,f(x)=8x﹣8, ;当 则 ,此时 f(x)= , 此时 f x) ( = =
n﹣1 n *

, ( 则



时,f(x)=16﹣8x;②当 2<x≤3 时, ﹣4=2x﹣4; =8﹣ ; 依此类推: 2 当
n﹣1

当 3<x≤4 时, 则

≤x≤3?2

n

﹣2

时,f(x)=
3﹣n

=2 ;当 3?2
n﹣2 n

5﹣2n

(x﹣2
5﹣2n

n﹣1

) ,
n 3﹣n

此时,0≤f(x)≤2 此即可判断答案. 解答:

<x≤2 时,f(x)=﹣2

(x﹣2 ) ,此时,0≤f(x)≤2

.据

解:①当 1≤x≤ 时,f(x)=8x﹣8,此时,0≤f(x)≤4;当 时,0≤f(x)<4; ②当 2<x≤3 时,则 ≤2; 当 3<x≤4 时,则 ?, 依此类推:当 2
n﹣1

时,f(x)=16﹣8x,此

,此时 f(x)=

=

﹣4=2x﹣4,此时,0≤f(x)

,此时 f(x)=

=8﹣

,此时,0≤f(x)<2;

≤x≤3?2
3﹣n

n﹣2

时,f(x)=
n﹣2

=2
5﹣2n n

5﹣2n

(x﹣2

n﹣1

) , .

此时,0≤f(x)≤2

;当 3?2

<x≤2 时,f(x)=﹣2

n

(x﹣2 ) ,此时,0≤f(x)≤2

3﹣n

据此可得:函数 f(x)的值域为[0,4],故 A 不正确;当 n=1 时, 实数根,不是 2×1+4=6 个不等实数根,故 B 不正确;当 x∈[2 图象与 x 轴围成的面积 S= 由 f(x)的图象可得到:当 x∈[2
n﹣1 n﹣1 n *

,有且仅有 7 个不等

,2 ](n∈N )时,函数 f(x)的 ,

=2,故 C 正确;xf(x)>6? ,2 ](n∈N )时,
n *

5

可得:

,故 D 不正确.

综上可知:只有 C 正确. 故选 C.

点评: 本题综合考查了分类讨论思想方法、直线方程、函数的单调性、函数的交点与方程的根、如何否定 一个命题等基础知识与基本技能,考查了数形结合的方法与能力、类比推理能力和计算能力. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题目中的横线上. 11. 分) (5 (2013?资阳二模)已知 i 是虚数单位,x,y∈R,若 x﹣3i=(8x﹣y)i,则 x+y= 3 . 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 根据两个复数相等的充要条件可得 x=0,且﹣3=8x﹣y,解得 x、y 的值,即可得到 x+y 的值. 解答: 解:∵x﹣3i=(8x﹣y)i,∴x=0,且﹣3=8x﹣y,解得 x=0,且 y=3, ∴x+y=3, 故答案为 3. 点评: 本题主要考查两个复数相等的充要条件,属于基础题. 12. 分) (5 (2013?资阳二模)双曲线 y ﹣4x =64 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1,则 P 到它的另一 个焦点的距离等于为 17 . 考点: 双曲线的定义. 专题: 计算题. 分析: 首先将双曲线方程化成标准方程,从而得出参数 a、b 的值,然后根据双曲线的定义得出|PF1﹣ PF2|=2a,根据题中的已知数据,可以求出点 P 到另一个焦点的距离. 解答: 解:将双曲线 4x ﹣y +64=0 化成标准形式: ∴a =64,b =16 P 到它的一个焦点的距离等于 1,设 PF1=1 ∵|PF1﹣PF2|=2a=16 ∴PF2=PF1±16=17 或﹣15(舍去) 故答案为:17 点评: 本题考查了双曲线的定义与标准方程,属于基础题.利用圆锥曲线的第一定义解题,是近几年考查 的常用方式,请同学们注意这个特点.
6
2 2 2 2 2 2

13. 分) (5 (2013?资阳二模)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为 24+12π



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知:该几何体是由上下两部分组成的,其中上面是一个半径为 2 的半球,下面是一个棱 长分别为 2,2,3 的四棱柱.据此即可得出表面积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是由上下两部分组成的,其中上面是一个半径为 2 的半球,下面是一 个棱长分别为 2,2,3 的四棱柱. 2 2 ∴S 表面积=2π ×2 +π ×2 +2×3×4=24+12π . 故答案为 24+12π . 点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 14. 分) (5 (2013?资阳二模)观察等式: ①sin 30°+cos 60°+sin30°cos60°= ②sin 20°+cos 50°+sin20°cos50°= ③sin 15°+cos 45°+sin15°cos45°= 归纳各等式的共同特征,写出一个能反映一般规律的等式 sin α +cos (30°+α )+sinα cos(30°+α ) = .
2 2 2 2 2 2 2 2

考点: 归纳推理. 专题: 计算题. 分析: 2 2 2 2 观察所给的等式,等号左边是 sin 30°+cos 60°+sin30°cos60°= ?规律应该是 sin α +cos (30°+α )+sinα cos(30°+α )右边的式子: ,写出结果. 解答: 解:观察等式: ①sin 30°+cos 60°+sin30°cos60°= ②sin 20°+cos 50°+sin20°cos50°= ③sin 15°+cos 45°+sin15°cos45°= ,?,
2 2 2 2 2 2

7

照此规律,可以得到的一般结果应该是 sin α +cos (30°+α )+sinα cos(30°+α )右边的式子: , 故答案为: .
2 2

点评: 本题考查类比推理,考查对于所给的式子的理解,从所给式子出发,通过观察、类比、猜想出一般 规律,不需要证明结论,该题着重考查了类比的能力.

15. 5 分) 2013?资阳二模) ( ( 如图, B 分别是射线 OM、 上的点, A、 ON 给出下列以 O 为起点的向量: ① ② 是 ; ③ ;④ ;⑤



.其中终点落地阴影区域内的向量的序号

①③ (写出满足条件的所有向量的序号) .

考点: 平面向量的基本定理及其意义;命题的真假判断与应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线的充要条件可得:当点 P 在直线 AB 上时,存在唯一的一对有序实数 u,v,使得 成立, u+v=1. 且 可以证明当点 P 位于阴影区域内的充要条件是: 满足 且 u>0,v>0,u+v>1.据此即可判断出答案. 解答: 解:由向量共线的充要条件可得:当点 P 在直线 AB 上时,存在唯一的一对有序实数 u,v,使得 成立,且 u+v=1. 可以证明当点 P 位于阴影区域内的充要条件是:满足 ,且 u>0,v>0,u+v>1. ,

证明如下:如图所示,点 P 是阴影区域内的任意一点,过点 P 作 PE∥ON,PF∥OM,分别交 OM,ON 于点 E,F; ′ ′ ′ ′ ′ PE 交 AB 于点 P ,过点 P 作 P F ∥OM 交 ON 于点 F , 则存在唯一一对实数(x,y)(u ,v ) , ,使得 u ,v 唯一; 同理存在唯一一对实数 x ,y 使得
′ ″ ′ ′ ′ ′ ′ ′

=

,且 u +v =1,





=

=

=



而 x =x,y >y, ′ ′ ∴u=u ,v>v , ′ ′ ∴u+v>u +v =1. 即可判断出①∵1+2>1,∴点 P 位于阴影区域内,故正确;同理③正确; 而②④不正确;

8

⑤原式= 综上可知:只有①③正确.

=

,而

,故不符合条件.

点评: 熟练掌握向量共线的充要条件:当点 P 在直线 AB 上时,存在唯一的一对有序实数 u,v,使得 成立,且 u+v=1;及当点 P 位于阴影区域内的充要条件是:满足 >0,v>0,u+v>1.据此即可判断出答案.是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2009?湖北)在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 (1)确定角 C 的大小; (2)若 ,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. ,且 u



考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,化简整理求得 sinC 的值,进而求得 C. 2 2 (2) 先利用面积公式求得 ab 的值, 进而利用余弦定理求得 a +b ﹣ab, 最后联立变形求得 a+b 的值. 解答: 解: (1)由 及正弦定理得: , ∵sinA≠0,∴ 在锐角△ABC 中, (2)∵ 由面积公式得 由余弦定理得
2

. , ,即 ab=6① ,即 a +b ﹣ab=7②
2 2



由②变形得(a+b) =25,故 a+b=5. 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆, 并能灵活运用. 17. (12 分) (2013?资阳二模)某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査, 根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值(百分制) .现从收到的调查表中随机抽取 20 份进行 统计,得到右图所示的频率分布表: 幸福指数评分值 频数 频率
9

[50,60] 1 (60,70] 6 (70,80] (80,90] 3 (90,100] 2 (Ⅰ)请完成题目中的频率分布表,并补全题目中的频率分布直方图; (Ⅱ)该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加“幸福愿景”的座谈会.在题中抽样统计的这 20 人中,已 知幸福指数评分值在区间(80,100]的 5 人中有 2 人被邀请参加座谈,求其中幸福指数评分值在区间(80, 90]的仅有 1 人被邀请的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意可得表中的数据,进而可完善分布表,可作出分布直方图; (Ⅱ)记幸福指数评分值在(80,90]的 3 人分别是 A1,A2,A3, (90,100]的 2 人分别是 B1,B2,列 举可得总的基本事件有 10 个,在(80,90]区间有 1 人被邀请的基本事件有 6 个,由古典概型的概 率公式可得. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得频率分布表: 幸福指数评分值 频数 频率 [50,60] 1 0.05 (60,70] 6 0.30 (70,80] 8 0.40 (80,90] 3 0.15 (90,100] 2 0.10 (3 分) 频率分布直方图: (3 分) (Ⅱ)记幸福指数评分值在(80,90]的 3 人分别是 A1,A2,A3, (90,100]的 2 人分别是 B1,B2,则 全部基本事件有(A1,B1)(A1,B2)(A2,B1)(A2,B2) 3,B1)(A3,B2)(A1,A2)(A1,A3) , , , (A , , , , (A2,A3)(B1,B2)共 10 个, , 其中幸福指数评分值在(80,90]区间有 1 人被邀请的基本事件有 6 个. 故幸福指数评分值在(80,90]区间仅有 1 人被邀请的概率 P= = . (12 分)

10

点评: 本题考查列举法计算基本事件及事件发生的概率,涉及频率分布表和频率分布直方图的应用,属基 础题. 18. (12 分) (2013?资阳二模)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,D、E 分别为 A1B1、AA1 的中点, 点 F 在棱 AB 上,且 .

(Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G,使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 1:15,若存在, 指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)取 AB 的中点 M,根据 ,得到 F 为 AM 的中点,又 Q 为 AA1 的中点,根据三角形中位线 定理得 EF∥A1M,从而在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1DBM 为平行四边形,进一步得出 EF∥BD.最后根据 线面平行的判定即可证出 EF∥平面 BC1D. (II)对于存在性问题,可先假设存在,即假设在棱 AC 上存在一个点 G,使得平面 EFG 将三棱柱分 割成的两部分体积之比为 1:15,再利用棱柱、棱锥的体积公式,求出 AG 与 AC 的比值,若出现矛 盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在. 解答: 证明: (I)取 AB 的中点 M,∵ ,∴F 为 AM 的中点,

又∵Q 为 AA1 的中点,∴EF∥A1M 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,M 分别为 A1B1,AB 的中点, ∴A1D∥BM,A1D=BM, ∴A1DBM 为平行四边形,∴AM∥BD ∴EF∥BD. ∵BD? 平面 BC1D,EF?平面 BC1D, ∴EF∥平面 BC1D.
11

(II)设 AC 上存在一点 G,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 1:15, 则 ,



=

= ∴ ∴AG= ,∴ . ,

所以符合要求的点 G 不存在.

点评: 本题考查线面平行,考查棱柱、棱锥、棱台的体积的计算,解题的关键是利用线面平行的判定证明 线面平行,属于中档题. 19. (12 分) (2013?资阳二模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,2an+1+3Sn=3n+4(n∈N ) . (Ⅰ)求证:数列{an﹣1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 2 (Ⅱ)设 bn=λ an﹣λ ﹣n ,若 b2n﹣1>b2n 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 考点: 等比关系的确定;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I) 由题设知由 2an+1+3Sn=3n+4, 2an+3Sn﹣1=3n+1 得 (n≥2) 两式相减后可化成 an+1﹣1=﹣ (an﹣1) . , 由此得出数列{an﹣1}是以 1 为首项,﹣ 为公比的等比数列,从而能求出数列{an}的通项公式. (II)先由(Ⅰ)得,bn=λ [(﹣ )
n﹣1 *

+1]﹣λ ﹣n =λ (﹣ )

2

n﹣1

﹣n .由题意得 b2n﹣1>b2n,可得

2

出 λ >﹣

.最后结合函数的单调性可得实数 λ 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)由 2an+1+3Sn=3n+4,得 2an+3Sn﹣1=3n+1(n≥2) , 两式相减得 2an+1﹣2an+3(Sn﹣Sn﹣1)=3,即 2an+1+an=3, 分) (2 ∴an+1=﹣ an+ ,则 an+1﹣1=﹣ (an﹣1)(4 分) ,

12

由 a1=2,又 2a2+3S1=7,得 a2= ,则



故数列{an﹣1}是以 1 为首项,﹣ 为公比的等比数列. 则 an﹣1=(a1﹣1) (﹣ ) ∴an=(﹣ )
n﹣1 n﹣1



+1, 分) (6
n﹣1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn=λ [(﹣ )

+1]﹣λ ﹣n =λ (﹣ )
2

2

n﹣1

﹣n .
2n﹣1

2

由题意得 b2n﹣1>b2n,则有 λ (﹣ ) 即 λ (﹣ )
2n﹣2

2n﹣2

﹣(2n﹣1) >λ (﹣ )
2 2

﹣(2n) ,

2

[1﹣(﹣ )]>(2n﹣1) ﹣(2n) ,

∴λ >﹣

, (10 分)

而﹣

对于 n∈N 时单调递减,则﹣

*

的最大值为﹣

=﹣2,

故 λ >﹣2. (12 分) 点评: 本题的考点是数列与不等式的综合,主要考查迭代法求数列通项公式的方法,考查最值法解决恒成 立问题,关键是写出两式,作差化简,构建等比数列.

20. (13 分) (2013?资阳二模)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)经过(1,1)与(



)两点.

(Ⅱ) 过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、 两点, B 椭圆 C 上一点 M 满足|MA|=|MB|. 求证: 为定值.

+

+

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)把(1,1)与( , )两点代入椭圆方程解出即可. (II)由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点;同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶 点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点;直接代入计算即可.
13

②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) ,则直线 OM 的方程为 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,与椭圆的方程联立解出坐标,即可得到 = 解答: ,同理 ,代入要求的式子即可.



解析(Ⅰ)将(1,1)与(



)两点代入椭圆 C 的方程,



解得



∴椭圆 PM2 的方程为



(Ⅱ)由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时 = .

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点,此时 = .

②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) , 则直线 OM 的方程为 ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



解得







=

,同理



所以 故

=2× =2 为定值.

+

=2,

点评: 本小题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立等基础知识,考查 推理论证能力、运算求解能力,考查方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等 21. (14 分) (2013?资阳二模)设函数 f(x)=x ﹣x ﹣3. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)﹣m 在[﹣1,2]上有三个零点,求实数 m 的取值范围;
3 2

14

(Ⅲ)设函数 g(x)= +xlnx,如果对任意的 x1,x2∈[ ,2],都有 f(x1)≤g(x2)成立,求实数 a 的 取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)直接把原函数求导,由导函数等于 0 得到导函数的零点,由零点对定义域分段,由导函数在 各区间段内的符号得到原函数的单调区间; (Ⅱ)构造辅助函数 h(x)=f(x)﹣m,由导函数求出该函数的最值,要保证函数 y=f(x)﹣m 在 [﹣1,2]上有三个零点,可由最小值和最大值的符号结合端点值的正负列式求解不等式组即可得到 实数 m 的取值范围; (Ⅲ) (Ⅰ) 由 中的单调性求出函数 f (x) 在区间 2],都有 f(x1)≤g(x2)成立转化为只需当
2

上的最大值, 则问题对任意的 x1, 2∈[ , x 时,
2

恒成立即可, ]上取得最大值,

即等价于 a≥x﹣x lnx 恒成立,然后利用导数求函数 u(x)=x﹣x lnx 在区间[ 则实数 a 的取值范围可求. 3 2 解答: 解析: (Ⅰ)由 f(x)=x ﹣x ﹣3. ′ 2 得 f (x)=3x ﹣2x=x(3x﹣2) , 当 f (x)>0 时,解得 x<0 或 当 f (x)<0 时,解得 故函数 f(x)的单调递增区间是
3 2 ′ ′ ′

; . ;单调递减区间是
2



(Ⅱ)令 h(x)=f(x)﹣m,则 h(x)=x ﹣x ﹣3﹣m,∴h (x)=3x ﹣2x=x(3x﹣2) , 由(Ⅰ)知,当函数 h(x)在(﹣∞,0)上单调递增,在 上单调递增. 函数 h(x)在 x=0 处取得极大值 h(0)=﹣3﹣m,在 由函数 y=f(x)﹣m 在[﹣1,2]上有三个零点,则有: 处取得极小值 , 上单调递减,在

,即

,解得



故实数 a 的取值范围是 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,函数 f(x)在 而 ,f(2)=1,

. 上单调递减,在 上单调递增,

15

故函数 f(x)在区间 ∴只需当
2

上的最大值 f(x)max=f(2)=1. 时,


恒成立即可,即等价于 a≥x﹣x lnx 恒成立,所以,


2

记 u(x)=x﹣x lnx,所以 a≥u(x)max,u (x)=1﹣x﹣2xlnx,可知 u (1)=0, 当 时,1﹣x>0,2xlnx<0,则 u (x)>0,∴u(x)在
′ ′

上单调递增;

当 x∈(1,2)时,1﹣x<0,2xlnx>0,则 u (x)<0,∴u(x)在(1,2)上单调递减; 故当 x=1 时,函数 u(x)在区间[ ]上取得最大值 u(1)=1,

所以 a≥1,故实数 a 的取值范围是[1,+∞) . 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考察了利用导数研究函数的极值,考查了导数在最大值、 最小值问题中的应用,考查了数学转化思想方法和函数构造法,训练了利用分离变量法求参数的取 值范围,是有一定难度题目.

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