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高中数学选修4-4知识点

高中数学 选修 4-4 知识点

第一讲 坐标系

1.伸缩变换:设点

P(

x,

y)

是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

?

:

?x? ??y?

? ?

? ?

? ?

x, (? y, (?

? ?

0), 0).

的作用下,

点 P(x, y) 对应到点 P?(x?, y?) ,称? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一

个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。

3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离| OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以 极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为? 。有序数对 (?,? ) 叫做点 M 的极 坐标,记为 M (?,? ) . 极坐标 (?,? ) 与 (?,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (??,? ) 与点 (?,? ) 关于极点对称,即 (??,? ) 与 (?,? ? ? ) 表示同一点。

如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 (?,? ) 表示;同时,极

坐标 (?,? ) 表示的点也是唯一确定的。

5.极坐标与直角坐标的互化: ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ?cos? ,
y ? ?sin? , tan? ? y (x ? 0) x
6。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C(a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ; 在极坐标系中,以 C(a, ? ) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;
2 7.在极坐标系中,? ? ?(? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? (? ? R) 表示过极点的一条直线.
在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .

第二讲 参数方程

1.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

?x ? f (t),

? ?

y

?

g (t ),

并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M (x, y) 都在这条曲线上,那么这个方

程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2.圆 (x ? a)2

? (y

? b)2

?

r

2

的参数方程可表示为

?x

? ?

y

? ?

a b

? ?

rc os? ,(?为参数) rsin?.

.

3.

椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

?

1

(a

?

b

?

0)

的参数方程可表示为

?x

? ?

y

? ?

acos?,(?为参数) bsin?.

.

4.

抛物线 y 2

?

2

px

的参数方程可表示为

?x ?

? 2 px2 ,(t为参数) .

?y ? 2 pt.

5.

经过点 M O (xo , yo ) ,倾斜角为?

的直线

l

的参数方程可表示为

?x

? ?

y

? ?

xo

?

tc os? , (t

为参数).

yo ? tsin?.

6.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使

x, y 的取值范围保持一致.


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