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常州市2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题


一、填空题(每题 5 分,满分 70 分,将答案填在答题纸上).
2 1.命题“若 x ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为



2.若直线 l 经过点 A(2,1) ,且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 垂直,则直线 l 的方程为



1 ? ?x?0 2 3.“ 2 ”是“不等式 2 x ? 5x ? 3 ? 0 成立”的 条件(在“充分不必要” , “必 要不充分” , “充要” , “既不充分又不必要”中选一个填写).

4.圆心为 (1,1) ,且经过点 (2, 2) 的圆的标准方程为
2 2 【答案】 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 .



【解析】 试 题 分 析 : 由 题 得 半 径 r=
( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 .

2 ,根据圆的标准方程公式可得圆的标准方程为:

考点:圆的标准方程.

1

? ? ? ? ? ? 5.(理科做)已知向量 a ? (1,2,1), b ? (1,2,2) ,且 (ka ? b) ∥ (a ? 2b) ,则实数 k 的值为



6.三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA, OB, OC 两两垂直且长度分别为 2cm,3cm,1cm,则该三棱锥 的体积是 cm3.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 7.若双曲线 a 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,则它的离心率为 .

2 8.已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上运动,F 为抛物线的焦点,点 M 的坐标为(3,2) ,当 PM+PF

取最小值时点 P 的坐标为 . 【答案】 (1,2). 【解析】 试题分析:由抛物线的定义可知 PF 等于 P 到抛物线准线 x=-1 的距离记为 d ,所以 PM+PF=PM+d,由三角形两边之和大于第三边可知,但 P 位于过 M 向抛物线的准线作垂线 与抛物线的交点时 PM+PF 取最小,此时求的点 P(1,2).
2

考点:抛物线的定义与标准方程. 9.已知圆 C 经过直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与坐标轴的两个交点,且经过抛物线 y ? 8 x 的焦点,则
2

圆 C 的方程为



2 2 2 2 10.已知动圆 C 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 及圆 ( x ? 1) ? y ? 25 都内切,则动圆圆心 C 的轨迹方程





? 11.(理科做) 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? 平面BCD , ?DBC ? 90 , BC ? BD ? 2 ,

AB ? 1 ,则 BC 和平面 ACD 所成角的 正弦值为



(第 11 题理科图)

6 【答案】 6 .

【解析】

3

试题分析:可以以 B 为原点,以 BA,BC,BD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,求 出直线 BC 的方向向量和平面 ACD 的法向量,然后运用向量的线面角公式即可. 考点:向量在立体几何中的应用. 12.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在面对角 线 AC 上运动,给出下列四个命题: ① D1 P ∥平面 A1 BC1 ; ② D1 P ? BD ;

③平面 PDB1 ⊥平面 A1 BC1 ;④三棱锥 A1 ? BPC1 的体 积不变. 则其中所有正确的命题的序号是 .

(第 12 题图)

4

2 13. .若直线 y ? x ? 2 与曲线 y ? m ? x ( m ? 0) 恰有一个公共点,则实数 m 的取值范围





x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 C b 14.已知椭圆 : a 的短轴长为 2,离心率为 2 ,设过右焦点的直线 l 与

椭圆 C 交于不同的两点 A,B,过 A,B 作直线 x ? 2 的垂线 AP,BQ,垂足分别为 P,Q.记
l ? AP ? BQ PQ , 若直线 l 的斜率 k ≥ 3 ,则 l 的取值范围为



二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 14 分)
5

2 2 已 知 a 为 实 数 , p : 点 M (1, 1) 在 圆 ( x ? a) ? ( y ? a) ? 4 的 内 部 ; q : ?x ? R, 都 有

x2 ? a x? 1≥ 0 .

(Ⅰ)若 p 为真命题,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 q 为假命题,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若“ p 且 q ”为假命题,且“ p 或 q ”为真命题,求 a 的取值范围.
?2, ?1? ? ?1, 2? 【答案】 (Ⅰ) (?1,1) ; (Ⅱ ) (??, ?2) ? (2, ??) ; (Ⅲ) ? .

16.(本小题满分 14 分) 如图, 斜四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是矩形, 平面 C1 D1 DC ⊥平面 ABCD ,E , F 分 别为 CD1 , AB 的中点. 求证: (Ⅰ) AD ? CD1 ; (Ⅱ) EF ∥平面 ADD1 A1 .

6

(第 16 题图) 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析.

17.(本小题满分 14 分)
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为双曲线 a 的一个焦点, 且两条曲线
2

7

都经过点 M (2,4) . (Ⅰ)求这两条曲线的标准方程; (Ⅱ)已知点 P 在抛物线上,且它与双曲线的左,右焦点构成的三角形的面积为 4,求点 P 的坐标.
D1 C1

A1 G D A F B E

B1

C

4 16 ? 2 ?1 2 法二: a ? b ? c ? 4 ,∵双曲线经过点 M (2,4) ,∴ a b ,
2 2 2
2 2 解得 a ? 12 ? 8 2 , b ? 8 2 ? 8 .

?????5 分

x2

∴双曲线的标准方程为 12 ? 8 2

?

y2 8 2 ?8

?1

.
8

????????8 分

18.(本小题满分 16 分)
2 2 已知圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 .

(Ⅰ)若直线 l1 过点 A(?1,0) ,且与圆 C 相切,求直线 l1 的方程; (II)若圆 D 的半径为 4,圆心 D 在直线 l2 : 2x ? y ? 2 ? 0 上,且与圆 C 内切,求圆 D 的 方程.

∴ D(?1, 4) 或

9 28 D(? , ) 5 5 .

???????14 分

9

2 2 ∴圆 D 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? 16 或 考点:直线与圆的位置关系.

9 28 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 16 5 5 .

???16 分

19.(理科做)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形, ?ABC ? 90 ,
?

BC / / AD ,且 AB ? AD ? 2BC ,顶点 P 在底面 ABCD 内的射影恰好落在 AB 的中点 O 上.
(Ⅰ)求证: PD ? AC ; (II)若 PO ? AB ,求直线 PD 与 AB 所成角的 余弦值; (Ⅲ)若平面 APB 与平面 PCD 所成的二面角为

PO 45 ,求 BC 的值.
?

(第 19 题理科图)

(Ⅲ)求出平面 APB 与平面 PCD 的法向量,根据平面 APB 与平面 PCD 所成的角为 60°,
10









h



?? ?? m m (Ⅲ)设平面 PAB 的法向量为 ,可得 ? (0,1,0) ,
? n 设平面 PCD 的法向量为 ? ( x, y, z ) , ??? ? ??? ? PC ? ( a , a , ? h ), PD ? (?a, 2a, ?h) , 由题意得

? y ? 2 x, ??? ? ? ? ? ? PC ? n ? ax ? ay ? hz ? 0, ? 3ax ? 3a ? ? ? ??? z? , n ? (1, 2, ) ? PD ? n ? ? ax ? 2 ay ? hz ? 0, ? h 令 x ? 1 ,得到 h , ∵? ∴?
?? ? ?? ? m?n cos ? m, n ?? ?? ? ? m n 2 5? 9a 2 h2 , 2 ? 2 2

???12 分



????????14 分

∵平面 APB 与平面 PCD 所成的二面角为 45 ,∴

?

5?

9a 2 h2

a 3 ? h 3 ,解得 ,

PO ? 3 即 BC . 考点:(1)直线与平面所成的角;(2)异面直线及其所成的角.
11

????????16 分

20.已知 A, B 分别是椭圆

C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) D(1, ) 2 a b 2 在椭圆 C 上,且 的左,右顶点,点 ?

b2 直线 DA 与直线 DB 的斜率之积为 4 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

PB 与椭圆的右准线分别交于点 M , (II) 点 P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点, 直线 AP ,
N.
①在 x 轴上是否存在一个定点 E ,使得 EM ? EN ?若存在,求点 E 的坐标;若不存在,说明理 由;
???? ? ???? ??? ? ??? ? ②已知常数 l ? 0 ,求 PM ? PN ? l PA ? PB 的取值范围.

y M
P A
O

B

x

N
(第 20 题)

x2 y 2 ?l 2 ? 3l ? ?1 [ ,9) 3 【答案】 (Ⅰ) 4 ; (II)①存在点 E 的坐标为 (1,0)或(7,0) ,② 1 ? l .

12

3 ( )2 1 ? 22 ? 1 a2 b ,

????????2 分

2 2 由以上两式可解得 a ? 4, b ? 3 .

x2 y 2 ? ?1 3 ∴椭圆方程为 4 .

??? 4 分

13

②∵

???? ? y (4 ? x0 ) PM ? (4 ? x0 , 0 ) x0 ? 2



???? y (4 ? x0 ) PN ? (4 ? x0 , 0 ) x0 ? 2





???? ? ???? y 2 (4 ? x 0 )2 (4 ? x 0 )2 PM ? PN ? (4 ? x0 )2 ? 0 2 ? x0 ? 4 4



??? ? ??? ? x 02 ?4 ??? ? ??? ? PA ? PB ? x02 ? 4 ? y02 ? 4 . ∵ PA ? (?2 ? x0 , ? y0 ) , PB ? (2 ? x0 , ? y0 ) ,∴
???? ? ???? ??? ? ??? ? ? ∴ PM ? PN ? l PA ? PB

(1 ? l ) x0 2 ? 8 x0 ? 16 ? 4l 4



???????13 分

设函数

f ( x0 ) ?

(1 ? l ) x0 2 ? 8 x0 ? 16 ? 4l 4 ,定义域为 (?2, 2) ,

4 ≥2 1 ? 当 l 时,即 0 ? l ≤1时, f ( x0 ) 在 (?2, 2) 上单调递减, f ( x0 ) 的取值范围为 (1,9) , 4 4 4 ?2 (?2, ) ( , 2) 1 ? l 上单调递减,在 1 ? l 当 1? l 时,即 l ? 1 时, f ( x0 ) 在 上单调递增, f ( x0 )
?l 2 ? 3l ,9) 的取值范围为 1 ? l . [
???? ? ???? ??? ? ??? ? 综上,当 0 ? l ≤1时, PM ? PN ? l PA ? PB 的取值范围为 (1,9) ,

14

?l 2 ? 3l ???? ? ???? ??? ? ??? ? [ ,9) 当 l ? 1 时, PM ? PN ? l PA ? PB 的取值范围为 1 ? l .

??????16 分

考点: (1)椭圆的标准方程; (2)向量的坐标运算; (3)函数的单调性求值域.

15



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