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2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1同步试题:3.4生活中的优化问题举例课时

3.4 生活中的优化问题举例 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s ? 1 t3 ? 3 t 2 ? 2t ,那么速度为 32 零的时刻是 A.0 秒 B.1 秒末 C.2 秒末 D.1 秒末和 2 秒末 【答案】D 2.现做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则其高应为 A. 20 3 cm 3 C.20cm B.100cm D. 20 cm 3 【答案】A 【解析】设高为 xcm,则底面半径为 400 ? x2 cm, 所 以 圆 锥 形 漏 斗 的 体 积 V ? 1 π ? (400 ? x2 ) ? x ? π(400x ? x3) cm3 , 3 3 V ? ? π(400 ? 3x2 ) , 3 令V ? ? 0 ,得 x ? 20 3 或 x ? ? 20 3 (舍去),则当 x ? 20 3 cm 时,体积最大.故 3 3 3 选 A. 3.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为 48 m3 ,高为 3m,如果箱底每平方米 的造价为 15 元,箱壁每平方米的造价为 12 元,则箱子的最低总造价为 A.900 元 C.818 元 B.840 元 D.816 元 【答案】D 【解析】设箱底一边的长度为 x m,箱子的总造价为 l 元, 根据题意,得 l ? 15 ? 48 3 ? 12 ? 2(3x ? 48) x ? 240 ? 72( x ? 16 )( x x ? 0) ,l? ? 72(1 ? 16 x2 ) . 令 l? ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?4 (舍去).当 0 ? x ? 4 时, l? ? 0 ;当 x ? 4 时, l? ? 0 ; 故当 x ? 4 时, l 取得最小值,为 816. 因此,当箱底是边长为 4m 的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价为 816 元.故选 D. 二、填空题:请将答案填在题中横线上. 4.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y ? 4 ? x2 在 x 轴上方的曲线 上,则这种矩形中面积最大者的边长为______________. 【答案】 2 3 和 8 33 5.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y ? ? 1 x3 ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为______________万 3 件. 【答案】9 【解析】由 y ? ? 1 3 x3 ? 81x ? 234 ,得 y? ? ?x2 ? 81 ,由 ?x2 ? 81 ? 0 ,得 x1 ? ?9 (舍 去), x2 ? 9 . 当 x ? (0,9) 时, y? ? 0 ,函数 y ? ? 1 x3 ? 81x ? 234 为增函数; 3 当 x ? (9, ??)时, y? ? 0 ,函数 y ? ? 1 x3 ? 81x ? 234 为减函数, 3 所以当 x ? 9 时,函数有极大值,也就是最大值,为 ? 1 ? 93 ? 81? 9 ? 234 ? 252(万元). 3 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 6.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每 年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:厘米)满足关系: C(x) ? k (0 ? x ? 10) ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f (x) 为隔 3x ? 5 热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f (x) 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f (x) 达到最小,并求最小值. 【答案】(1) k ? 40 , f (x) ? 800 ? 6x(0 ? x ? 10) ;(2)隔热层 5cm 厚时,总费用 3x ? 5 最小为 70 万元. (2) f ?( x) ? 6? 2 400 (3x ? 5)2 ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 5或 x ? ? 25 3 (舍去). 当 0 ? x ? 5 时, f ?(x) ? 0 ;当 5 ? x ? 10 时, f ?(x) ? 0 , 故 x ? 5 是 f (x) 的最小值点,对应的最小值是 f (5) ? 30 ? 800 ? 70 . 15 ? 5 故当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 7.请你设计一个包装盒,如图,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示 的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角 形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值. 【答案】(1)15 ;(2)当 x ? 20 时V 取得最大值,包装盒的高与底面边长的比值为 1 . 2 (2)V ? a2h ? 2 2(?x3 ? 30x2 ),V ? ? 6 2x(20 ? x) , 由V ? ? 0 ,得 x ? 0 (舍去)或 x ? 20 . 当 x ? (0,20) 时,V ? ? 0 ;当 x ? (20

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