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大兴区2014年高三统一练习(理科)参考答案


大兴区 2013—2014 学年度第一学期期末高三年级统一练习参考答案

数学(理科)
第一部分 (选择题 共 40 分) 一选择题(共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 D 共 110 分) 6 C 7 B 8 A

第二部分(非选择题
二、填空题(共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

9. (-1,1); 10. 2, 100 ; 11. 49 ; 12. 2, 5 ; 13. a ? (3,3)或a ? (3, ?1) ; 14. ③④ 三、解答题(共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15. 解: (Ⅰ)因为 B =

?

?

π π 5π ,又 A= ,所以 C ? .…………………………2 分 3 4 12
5π π π 2 3 2 1 6? 2 ? sin( ? ) ? ? ? ? ? . …5 分 12 4 6 2 2 2 2 4

所以 sin C ? sin (Ⅱ)

f ( A) ? sin A ? sin(

2π ? A) 3

? sin A ?

3 1 ? cos A ? ? sin A ……………………6 分 2 2

?

3 3 ? sin A ? ? cos A 2 2

π π ? 3 ? (cos ? sin A ? sin ? cos A) ………………8 分 6 6
π ? 3 ? sin( A ? ) 6
因为 A 是三角形内角, B ? 所以 0 ? A ? ……9 分

π 3

2π 3

π π 5π ……………………………………10 分 ? A? ? 6 6 6 1 π ? sin( A ? ) ≤1 ………………………………12 分 所以 2 6
所以 即

3 ? f ( A) ≤ 3 2

所以 当 A ?

π 时 f ( A) 的最大值为 3 …………………………………13 分 3

16 解: (Ⅰ)样本的平均次数为 x ? 17 . ……………………………………3 分 样本的方差为:

1 [(17 ? 4) 2 ? (17 ? 8) 2 ? (17 ? 15) 2 ? (17 ? 16) 2 ? (17 ? 17) 2 ? (17 ? 18) 2 ? 10 (17 ? 20) 2 ? (17 ? 20) 2 ? (17 ? 22) 2 ? (17 ? 30) 2 ] ? 46.8????? 6分 s2 ?
(Ⅱ)由题意,随机变量 X ? 0 , 1 , 2 .

P( X ? 0) ?

1 1 2 C82 28 C2 C8 16 C2 1 ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? , , 2 2 2 C10 45 C10 45 C10 45

随机变量 X 的分布列为

X

0

1

2

28 16 1 45 45 45 28 16 1 2 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . …………………………………13 分 45 45 45 5
P
17. (Ⅰ) 因为 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? 底面ABC 所以 CC1 ? AD…………………………………1 分

? AB=AC,且 D 为 AC 中点 ?AD ? BC …………………………………2 分

? BC ? CC1 ? C …………………………………3 分
?AD ? 平面 BC1…………………………………4 分
(Ⅱ) 连接 A1C 交 AC1 于 M,连接 DM

? 侧面 AC1 为平行四边形

?M 为 A1C 中点…………………………………5 分 ? D 为 BC 中点 ?DM//A1B…………………………………6 分 ? A1B ? 平面AC1D, DM ? 平面AC1D …………7 分 ?A1B//平面 AC1D…………………………………8 分
(Ⅲ)? 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA1 ? 平面 ABC

?AA1 ? AB,AA1 ? AC
又? AB ? AC…………………………………9 分

?以 A 为坐标原点,AB 为 Ox 轴,AC 为 Oy 轴,AA1 为 Oz 轴建立空间直角坐标系
则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,1,0) ,D( A1(0,0, 2 ) ,

1 1 , , 0) ,C1(0,1, 2 ) , 2 2

???? ? ???? 1 1 AD ? ( , , 0) , AC1 ? (0,1, 2) …………………………………10 分 2 2
设平面 AC1D 的法向量为 n1 =(x,y,z),

???? ? ? AD ? n1 ? 0 ? ? ????? ? ? AC1 ? n1 ? 0
1 ?1 ? x? y ?0 2 ? ?2 ? y ? 2z ? 0 ?
令 z=1,则 x ?

2, y ? ? 2

? n1 ? ( 2, ? 2,1) …………………………………11 分
又? AB ? 平面 AC1

??? ? ?平面 AC1 的法向量 n 2 ? AB ? (1, 0, 0) …………………………………12 分
若二面角 D-AC1-C 的大小为 ? 因为 cos ? n1 , n 2 ? ?

n1 ? n 2 2 10 ? ? …………………………………13 分 5 | n1 || n 2 | 5

又 由图可知二面角 D-AC1-C 为锐角, 二面角的余弦值为 即 cos ? ?

10 5

10 …………………………………14 分 5
2 ,…………2 分 x

18. (Ⅰ) h( x) ? x ? 2 ln x ,则 h?( x) ? 2 x ?
2

令 h?( x) ? 0 解得 x ? 1 ,…………3 分 因 x ? (0,1 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? (1,??) 时, h?( x) ? 0 ,…………5 分 ) 所以当 x ? 1 时, h( x ) 达到最小, h( x ) 的最小值为 1.………7 分 (Ⅱ)设上下平移 f ( x) 的图象为 c 个单位的函数解析式为 f ( x) ? x 2 ? c . 设 y ? x ? c与y ? 2 ln x 的公共点为 ( x 0 , y 0 ) .
2

2 ? x0 ? c ? 2 ln x0 ? 依题意有: ? ……………………10 分 2 ?2 x 0 ? x 0 ?

解得 x0 ? 1, c ? ?1 , 即将 f ( x) 的图象向下平移 1 个单位后,两函数图象在公共点(1,0)处有相同的 切线. ……………………13 分

19. 解: (Ⅰ)∵圆心在直线 y ? ? x ? 2 上, ∴可设圆的方程为 ( x ? a) ? [ y ? (?a ? 2)] ? 4 ,
2 2

其圆心坐标为( (a, ?a ? 2) ;………………………………………2 分 ∵圆经过点 A(2,2)且与 y 轴相切,

?(2 ? a) 2 ? [2 ? (? a ? 2)]2 ? 4 ? ∴有 ? ? ?a ?2
解得 a ? 2 , ∴所求方程是: ( x ? 2) ? y ? 4 .………………………………………5 分
2 2

(Ⅱ)

设Q ( x, y ),由QF 2 ? QE 2 ? 32得: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? [( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ] ? 32, 即y ? 3, ?点Q在直线y ? 3上; ?????????? 8分 又 ? 点Q在圆C: ( x ? a ) 2 ? [ y ? ( ? a ? 2)]2 ? 4上, ?圆C与直线y ? 3必须有交点. ???????10分 ?圆C ,圆心的纵坐标为 - a ? 2, 半径为2, ?圆C与y ? 3相交的充要条件是1 ? ? a ? 2 ? 5?12分 ?圆C的横坐标a的取值范围是: - 3 ? a ? 1.???14分

20. (Ⅰ)假设 b ? a, 则有:a ? 所以 b ? a . (Ⅱ)

a?2 , 解得a ? ? 2 , 与已知 a ? 0且a ? Q矛盾 , a ?1

……………………3 分

? (a ? 2)(b ? 2) ? (a ? 2)( a?2 ? 2) a ?1

( 2 ? 1)( a ? 2) 2 ?? ? 0, (? a ? 0) a ?1 ? ?a ? 2 ? 0 ? ?a ? 2 ? 0 ?? 或? ?b ? 2 ? 0 ? ?b ? 2 ? 0 ? 即b ? 2 ? a或a ? 2 ? b, ? 2介于a, b之间.?????? 6分
若 a ? b 则:

( 2 ? a) ? (b ? 2) ? 2 2 ?a? ?? a?2 a ?1

(a ? 2 ? 2)( a ? 2) a ?1

? 0 ? a ? 2, ? a ? 2 ? 0, a ? 2 ? 2 ? 0, a ? 1 ? 0 则( 2 ? a ) ? (b ? 2) ? 0, ? 2 ? a ? b ? 2, ? 2距a较远. 当a ? b时,同理可证.????? 9分

(Ⅲ)假设存在整数 m 为 a与b 之间的距离,不妨设 a ? b ? m ,

a ? 2 a2 ? 2 ? ? m, a ?1 a ?1 ? a ? 0,? a 2 ? 2 ? m(a ? 1), 即a 2 ? ma ? m ? 2 ? 0. a ?b ? a ?
则有? a ?

m ? (m ? 2) 2 ? 4 2 ? a ? Q,?只有m ? ?2, 当m ? ?2时,a ? 0或a ? ?2, 与假设a ? 0矛盾, 故a与b之间的距离不可能为整数.?13分


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