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北京市西城区(北区)2012–2013学年度第一学期期末试卷

北京市西城区(北区)2012–2013 学年度第一学期期末试卷 八年级数学
(时间 100 分钟,满分 100 分) 题号 得分 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 1.计算 3 的结果是( A.-9
?2

2013.1











总分

) . B.-9 C.

1 9

D. ?

1 9

2.剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产,在民间广泛流传.下面四幅剪纸作品中,属于 轴对称图形的是( ) .

A. B. C. D. 3.点 P(-3,5)关于 y 轴的对称点的坐标是( ) . A. (3,5) B. (3,-5) C. (5,-3) D. (-3,-5) 4.将正比例函数 y=3x 的图象向下平移 4 个单位长度后,所得函数图象的解析式为 ( ) . A. y ? 3x ? 4 C. y ? 3( x ? 4) 5.下列各式中,正确的是( ) . B. y ? 3x ? 4 D. y ? 3( x ? 4)

?3x 3x ? A. 5 y ?5 y ?

B.

?

a ? b ?a ? b ? c c a a ? b?a a ?b

?a ? b a ? b ? C. c ?c

D.

?

6.如图,三条公路把 A、B、C 三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区 域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三个条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在 ( ) . B A.在 AC、BC 两边高线的交点处 B.在 AC、BC 两边中线的交点处 C.在∠A、∠B 两内角平分线的交点处 A C D.在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 7.估计 14 的值在( A.1 与 2 之间 ) . B.2 与 3 之间

C.3 与 4 之间

D.4 与 5 之间 ) .

8.一次函数 y ? mx ? m(m 为常数且 m≠0) ,若 y 随 x 增大而增大,则它的图象经(

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 9.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC=90° , A 在 BC 上截取 BD=BA,作∠ABC 的平分线与 AD 相 2 交于点 P,连结 PC,若△ABC 的面积为 2cm ,则 P △BPC 的面积为( ) . A. 0.5cm2 B. 1cm2 B C 2 C. 1.5cm D. 2cm2 D 10.小华、小明两同学在同一条长为 1100 米的直路 上进行跑步比赛,小华、小明跑步的平均速度分别为 3 米/秒和 5 米/秒,小明从起点出 发,小华在小明前面 200 米处出发,两人同方向同时出发,当其中一人到达终点时,比 赛停止.设小华与小明之间的距离 y(单位:米) ,他们跑步的时间为 x(单位:秒) ,则 表示 y 与 x 之间的函数关系的图象是( ) .

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本题共 24 分,第 13 题 4 分,第 18 题 2 分,其余各题每小题 3 分)

1 中,自变量 x 的取值范围是__________. x?2 ? ? 11 12.在 0.14 , , ? 2 , ? , 3 ?27 这五个实数中,无理数的是 7
11.在函数 y ? 13.一次函数 y ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴的交点坐标为 为 .

. ,与 y 轴的交点坐标

14.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90° ,∠A=15° ,AB 的垂 直平分线与 AC 交于点 D, AB 交于点 E, 与 连结 BD. 若 AD=12cm,则 BC 的长为 cm. 15.若 x2 ? 9 , y3 ? ?8 ,则 x+y= .

16.某校组织学生到距离学校 15 千米的西山公园秋游,先遣车队与学生车队同时出发,先 遣车队比学生车队提前半小时到达公园以便提前做好准备工作. 已知先遣车队的速是学 生队车速度的 1.2 倍,若设学生车队的速度为 x 千米/时,则列出的方程是 17.如图, ABC 中, 在△ AB=AC, 为 BC 边上一点, D 且∠BAD=30° , 若 AD=DE,∠EDC=33° ,则∠DAE 的度数为 ° .

18.如果满足条件“∠ABC=30° ,AC=1, BC=k(k>0)”的△ ABC

是唯一的,那么 k 的取值范围是



三、解答题(本题共 28 分,第 19、20 题每小题 5 分,第 21~23 题每小题 6 分) 19.计算: 2( 3 ? 1) ? ? 3 ? 16 . 解: 20.先化简,再求值: ( 解: 21.解方程: 解: 22.已知:如图, A、B、C、D 四点在同一直线上, AB=CD,AE∥BF 且 AE=BF. 求证: EC=FD. 证明: E F
1 1 2m ,其中 m ? 9 . ? )? 2 m ? 3 m ? 3 m ? 6m ? 9

x 3 ? ? 1. x ?1 x ? 1

A 23.如图,直线 y ? kx ? b 经过点 A(0,5) ,B(1,4) . (1)求直线 AB 的解析式;

B

C

D

(2)若直线 y ? 2 x ? 4 与直线 AB 相交于点 C,求点 C 的坐标; (3)根据图象,写出关于 x 的不等式 2x-4≥kx+b 的解集. 解: (1)

(2) (3) 关于 x 的不等式 2x-4≥kx+b 的解集 是 .

四、解答题(本题共 12 分,第 24 题 5 分,第 25 题 7 分) 24.阅读下列材料: 木工张师傅在加工制作家具的时候,用下面的方法在木板上画直角: 如图 1,他首先在需要加工的位置画一条线段 AB,接着分别以点 A、点 B 为圆心, 以大于

1 AB 的适当长为半径画弧,两弧相交于点 C,再以 C 为圆心,以同样长为半径画弧 2

交 AC 的延长线于点 D(点 D 需落在木板上) ,连接 DB.则∠ABD 就是直角. 木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法.

D

C

A
图1

B E
图2

F

解决下列问题: (1)利用图 1 就∠ABD 是直角作出合理解释 (要求:先写出已知、求证,再进行证明); (2)图 2 表示的一块残缺的圆形木板,请你用“三弧法”,在木板上画出一个以 EF 为一条 ... 直角边的直角三角形 EFG(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) . 解: (1) 25.已知:一次函数 y ? A(a ,1) . (1)求 a 的值及正比例函数 y ? kx 的解析式; (2)点 P 在坐标轴上(不与点 O 重合) ,若 PA=OA,直接写出 P 点的坐标; (3)直线 x ? m 与一次函数的图象交于点 B,与正比例函数图象交于点 C,若△ ABC 的 面积记为 S,求 S 关于 m 的函数关系式(写出自变量的取值范围) .

1 x ? 3 的图象与正比例函数 y ? kx 的图象相交于点 2

五、解答题(本题 6 分) 26.在△ ABC 中,AD 是△ ABC 的角平分线. (1)如图 1,过 C 作 CE∥AD 交 BA 延长线于点 E,若 F 为 CE 的中点,连结 AF,求证: AF⊥AD; (2)如图 2,M 为 BC 的中点,过 M 作 MN∥AD 交 AC 于点 N,若 AB=4, AC=7, 求 NC 的长.

图1

图2

(1) 证明:

(2)解:

北京市西城区(北区)2012–2013 学年度第一学期期末试卷 八年级数学附加题 2013.1 一、填空题(本题共 6 分) 1.在平面直角坐标系 xOy 中,横、纵坐标都为整数的点称为整点.已知一组正方形的四个 顶点恰好落在两坐标轴上,请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律.

回答下列问题: (1)经过 x 轴上点(5,0)的正方形的四条边上的整点个数是 ; (2)经过 x 轴上点(n,0) 为正整数)的正方形的四条边上的整点个数记为 m,则 m 与 (n n 之间的函数关系是 .二、解答题(本题共 14 分, 第 2 题 8 分,第 3 题 6 分) 2.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? x ? 6 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B. (1)求∠BAO 的度数; (2)如图 1,P 为线段 AB 上一点,在 AP 上方以 AP 为斜边作等腰直角三角形 APD.点 Q 在 AD 上,连结 PQ,过作射线 PF⊥PQ 交 x 轴于点 F,作 PG⊥x 轴于点 G. 求证:PF=PQ ; (3)如图 2,E 为线段 AB 上一点,在 AE 上方以 AE 为斜边作等腰直角三角形 AED.若 P 为线段 EB 的中点,连接 PD、PO,猜想线段 PD、PO 有怎样的关系?并说明理由.



图1

图2

3.在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90° ,∠A=30° ,BD 是△ ABC 的角平分线, DE⊥AB 于点 E. (1)如图 1,连接 EC,求证:△ EBC 是等边三角形; (2)点 M 是线段 CD 上的一点(不与点 C,D 重合) ,以 BM 为一边,在 BM 的下方作 ∠BMG=60° ,MG 交 DE 延长线于点 G.请你在图 2 中画出完整图形,并直接写 出 MD,DG 与 AD 之间的数量关系; (3)如图 3,点 N 是线段 AD 上的一点,以 BN 为一边,在 BN 的下方作∠BNG=60° , NG 交 DE 延长线于点 G.试探究 ND,DG 与 AD 数量之间的关系,并说明理由.

(1)证明:

图1

图2

(2)结论:



(3)证明 :

图3

北京市西城区(北区)2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷 八年级数学参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 题号 答案 11 1 C 2 D 3 A 12 4 B 5 D 6 C 13 ( 7 C 8 A 9 B 14 6 18 10 D

二、填空题(本题共 24 分,第 13 题 4 分,第 18 题 2 分,其余各题每小题 3 分)

x?2
15 -5 或 1

? 2 ,?
16

1 , 0 ),( 0, ?1) 2
每空 2 分 17 72

15 15 1 ? ? x 1.2 x 2

k ?2
或 0<k≤1 每个结果 1 分

三、解答题(本题共 28 分,第 19,20 题,每小题 5 分,第 21~23 题,每小题 6 分) 19.解: 2( 3 ? 1) ? ? 3 ? 16 = 2 3 ? 2 ? 3 ? 4 ··········· ··········· ········· 3 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· = 3 3 ? 2 .···································5 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 20.解: (
1 1 2m ? )? 2 m ? 3 m ? 3 m ? 6m ? 9
2m (m ? 3) 2 ··········· ··········· ······ 3 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· ? (m ? 3)(m ? 3) 2m

= =

m?3 . ····································4 分 ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ··· m?3 9?3 1 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· ? . ··········· ··········· ·· 5 分 9?3 2

当 m ? 9 时,原式=

21.解:方程两边同乘 ( x ? 1)( x ? 1) ,得 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· x( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 1) . ························ 2 分 化简,得 x ? 3x ? 3 ? ?1 . ····························4 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ 解得 x ? 2 . ·································· 5 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·· 检验:当 x ? 2 时, ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 , ∴ x ? 2 是原分式方程的解.·························· 6 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 22.解: (1)∵AE∥BF, ∴∠A=∠FBD. ······························1 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 又∵AB= CD, ∴AB+BC = CD+BC. 即 AC=BD. ············· 3 分 ··········· ·· ·········· ··· 在△ AEC 和△ BFD 中,

? AE ? BF , ? ??A ? ?FBD, ? AC ? BD, ?

∴△AEC≌△BFD(SAS) ························ 分 .························ ·········· ··········· ·· 5 ∴EC=FD. ································ 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· 6 23.解: (1)∵直线 y ? ?kx ? b 经过点 A(5,0) 、B(1,4) , ∴?

?5k ? b ? 0, ?k ? b ? 4.

··········· ··········· ········· 1 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ··········

解方程得

?k ? ?1, ··········· ··········· ····· 2 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ ? ?b ? 5.

∴直线 AB 的解析式为 y ? ? x ? 5. ····················· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· 3 (2)∵直线 y ? 2 x ? 4 与直线 AB 相交于点 C, ∴解方程组 ?

? y ? ? x ? 5, ? y ? 2 x ? 4.

得?

? x ? 3, ? y ? 2.

∴点 C 的坐标为(3,2) ························· 分 . ··········· ·········· ··· 5 ·········· ··········· ··· (3) x ≥3. ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 6 四、解答题(本题共 12 分,第 24 题 5 分,第 25 题 7 分) 24. (1)已知:在△ ABD 中, AC=BC=CD. 求证: ?ABD ? 90? . 证明:∵AC=BC, 3 ∴ ?1 ? ?2 . ∵BC=CD, ∴ ?3 ? ?4 . ·········1 分 ········· ········ 在△ ABD 中, 4 2 1 ?1? ?2 ? ?3 ? ?4 ? 180? . ∴ ?1 ? ?4 ? 90? . 即 ?ABD ? 90? . ··························· 3 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ (2)如图,△ EFG 为所求作的三角形 .

G

E

F

··············································5 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·········· ···

25.解: (1)∵一次函数 y ? A(a ,1) ,

1 x ? 3 的图象与正比例函数 y ? kx 的图象相交于点 2

1 a ? 3 ?1. 2 解得 a ? ?4 . ······························ 1 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ·········
∴ ∴A(-4 ,1) . ∴ ?4k ? 1 . 解得 k ? ? .

1 4

1 ∴正比例函数的解析式为 y ? ? x . ·················· 分 ··········· ······ 2 ·········· ······· 4 (2)P1(-8 ,0)或 P2(0 ,2) ·····················4 分 ; ··········· ·········· ·········· ··········
阅卷说明:每个结果 1 分 (3)依题意,得点 B 的坐标为(m, 1 m ? 3 ) ,点 C 的坐标为(m, ? 1 m ) . 2 4 作 AH⊥BC 于点 H,H 的坐标为(m,1) ·············· 5 分 . ··········· ··· ·········· ···· 以下分两种情况: x=m (ⅰ)当 m<-4 时, BC= ? 1 m ? ( 1 m ? 3)
4 2

y?
C H A

1 x?3 2

=? 3 m?3. 4 AH= ?4 ? m .
1 则 S?ABC ? BC ? AH 2 1 3 = (? m ? 3)(?4 ? m) 2 4

B

1 y?? x 4

= m2 ? 3m ? 6 . (ⅱ)当 m>-4 时, BC= ( 1 m ? 3) ? 1 m = 3 m ? 3 . 2 4 4 AH= m ? 4 . 则 S?ABC
1 ? BC ? AH 2 1 3 = ( m ? 3)(m ? 4) 2 4

3 8

x=m B

y?

1 x?3 2

A

H C

1 y?? x 4

= m2 ? 3m ? 6 . 综上所述, S?ABC ? 五、解答题(本题 6 分)
3 2 . ··········· ······ 7 ·········· ······· m ? 3m ? 6 (m≠-4) ·················· 分 8

3 8

26.证明:∵AD 为△ ABC 的角平分线, E ∴ ?1 ? ?2 . (1)∵CE∥AD , ∴ ?1 ? ?E , ?2 ? ?3 . ∴ ?E ? ?3 . F ∴AC=AE. ············1 分 ··········· · ·········· · A ∵F 为 EC 的中点, 1 2 ∴AF⊥BC. 3 ∴ ?AFE ? ?FAD ? 90? . C B D ∴AF⊥AD.············ 分 ··········· 2 ·········· · (2)延长 BA 与 MN 延长线于点 E,过 B 作 BF∥AC 交 NM 延长线于点 F. ····· 3 分 ····· ····· E ∴ ?3 ? ?C , ?F ? ?4 . ∵M 为 BC 的中点 A 5 N ∴BM=CM. 1 2 4 4 在△ BFM 和△ CNM 中,
??F ? ?4, ? ??3 ? ?C , ? BM ? CM , ?
B
3

D

M

C

F

∴△BFM≌△CNM(AAS) ························· 分 . ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 4 ∴BF=CN. ∵MN∥AD , ∴ ?1 ? ?E , ?2 ? ?4 ? ?5 . ∴ ?E ? ?5 ? ?F . ∴AE=AN,BE=BF. 设 CN=x,则 BF=x, AE=AN=AC-CN=7-x,BE=AB+AE=4+7-x. ∴4+7-x=x. 解得 x=5.5. ∴CN=5.5. ·································· 分 ··········· ·········· ··········· · 6 ·········· ··········· ··········· · 北京市西城区(北区)2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷 八年级数学附加题参考答案及评分标准 2013.1 一、填空题(本题 6 分) 1. (1)20; ········································ 分 ··········· ·········· ··········· ······· 3 ·········· ··········· ··········· ······· (2) m ? 4n . ····································· 分 ··········· ·········· ··········· ···· 3 ·········· ··········· ··········· ···· 二、解答题(本题共 14 分,第 2 题 8 分,第 3 题 6 分) 2.解: (1)直线 y ? x ? 6 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B. ∴A(-6,0) ,B(0,6) . ∴OA=OB. ·································1 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· ∴ ?BAO ? ?ABO 在△ AOB 中, ?AOB ? 90? . ∴ ?BAO ? ?ABO ? 45? . ·························2 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· (2)在等腰直角三角形 APD 中, ?PDA ? 90? ,DA=DP, ?1 ? ?APD ? 45? .

∴DP⊥AD 于 D. 由(1)可得 ?BAO ? 45? . ∴ ?BAO ? ?1 . 又∵PG⊥x 轴于 G, ∴PG = PD.································3 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· ∴ ?AGP ? ?PGF ? ?D ? 90? . y ∴ ?4 ? ?BAO ? 45? . ∴ ?4 ? ?APD ? ?DPG ? 90? . B 即 ?3 ? ?GPQ ? 90? . 又∵PQ⊥PF, ∴ ?2 ? ?GPQ ? 90? . ∴ ?2 ? ?3 . ······· 4 分 ······· ······· 在△ PGF 和△ PDQ 中,
??PGF ? ?D, ? ? PG ? PD, ??2 ? ?3, ?
D Q
1

P

3 4 2

A

G

F O

x

图1

∴△PGF≌△PDQ(ASA). ∴PF=PQ.·································5 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· (3)答:OP⊥DP,OP=DP. 证明:延长 DP 至 H,使得 PH=PD. ∵P 为 BE 的中点, ∴PB=PE. y 在△ PBH 和△ PED 中,
? PB ? PE , ? ??1 ? ?2, ? PH ? PD, ?
B P
1 4 2

3

H

∴△PBH≌△PED(SAS) . D ∴BH=ED. ···········6 分 ··········· ·········· A ∴ ?3 ? ?4 . ∴BH∥ED. 在等腰直角三角形 ADE 中, AD=ED, ?DAE ? ?DEA ? 45? . ∴AD=BH, ?DAE ? ?BAO ? ?DAO ? 90? . ∴DE∥x 轴,BH∥x 轴, BH⊥y 轴. ∴ ?DAO ? ?HBO ? 90? . 由(1)可得 OA=OB. 在△ DAO 和△ HBO 中,
? AD ? BH , ? ??DAO ? ?HBO, ?OA ? OB, ?

E
5 7

6

O

x

图2

∴△DAO≌△HBO(SAS) .

∴OD=OH,∠5=∠6. ·························7 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· ∵ ?AOB ? ?5 ? ?DOB ? 90? , ∴ ?DOH ? ?6 ? ?DOB ? 90? . ∴在等腰直角三角形△ DOH 中, ∵DP=HP, ∴OP⊥DP, ?7 ?
1 ?DOH ? 45? . 2

∴ ?ODP ? ?7 . ∴OP=PD. ·································· 分 ··········· ·········· ··········· · 8 ·········· ··········· ··········· · C 3. (1)证明:在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90° ,∠A=30° , D
1 ∴ ?ABC ? 60? , BC= AB . 2 ∵BD 平分∠ABC, ∴ ?1 ? ?DBA ? ?A ? 30? .
1

A

E
图1

B

∴DA=DB. ∵DE⊥AB 于点 E.

1 ∴AE=BE= AB . 2 ∴BC=BE. ································ 分 ··········· ·········· ·········· 1 ·········· ··········· ·········· ∴△ BCE 是等边三角形. ························2 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· C M (2)结论:AD = DG+DM. D

A

E G

B

··········· ··········· ·········· ··········· ··· 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ·· 3 ·········· ··········· ··········· ·········· ··· (3)结论:AD = DG-DN. 理由如下: 延长 BD 至 H,使得 DH=DN . ························· 分 ··········· ·········· ··· 4 ·········· ··········· ··· 由(1)得 DA=DB, ?A ? 30? . ∵DE⊥AB 于点 E. ∴ ?2 ? ?3 ? 60? . C ∴ ?4 ? ?5 ? 60? . H D ∴△NDH 是等边三角形. 5 4 ∴NH=ND, ?H ? ?6 ? 60? . N 67 2 3 1 ∴ ?H ? ?2 . ∵ ?BNG ? 60? , A E B ∴ ?BNG ? ?7 ? ?6 ? ?7 . 即 ?DNG ? ?HNB . 在△ DNG 和△ HNB 中, G
图3

图2

? DN ? HN , ? ??DNG ??HNB , ??H ?? 2, ?

∴△DNG≌△HNB(ASA) . ∴DG=HB. ∵HB=HD+DB=ND+AD, ∴DG= ND+AD. ∴AD = DG-ND. ·································6 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ···········


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