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北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学文科


北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷

高三数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题
题目要求的一项. 1.设集合 EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 ( ) , (A) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,则集合 (B) 共 40 分)

2014.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合

EMBED EMBED

(C) EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED

(A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

(B) EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4 (B) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED

(A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 (B)

(D) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 ( D) EMBED

EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4

2 .已知命题 Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 ” ,那么

: “

EMBED Equation.DSMT4 是( )

, (A)

EMBED EMBED ,

EMBED Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4 (C)

, (B) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,

EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

EMBED

(D) EMBED Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4 , (B) EMBED ,

(A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4

(C) EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4

(A)

EMBED Equation.DSMT4



EMBED Equation.DSMT4



( B)

EMBED ,

Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4

(C) EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4

(B)

EMBED Equation.DSMT4



EMBED Equation.DSMT4

(C)

EMBED ,

Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 (C) , EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED

, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED

EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4

3.在平面直角坐标系 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 ( ,若向量 ) (A)

中,点 EMBED Equation.DSMT4 ,则实数 (B)

, EMBED EMBED

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

(C) EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED

(A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

(B) EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4 (B) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED

(A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4

(B)

EMBED Equation.DSMT4

(C)

EMBED Equation.DSMT4

( D)

EMBED

Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4

4.若坐标原点在圆 EMBED Equation.DSMT4 (A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

的内部,则实数 m 的取值范围是(



(B) EMBED Equation.DSMT4

(C) EMBED

(D) EMBED Equation.DSMT4 (B) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED

(A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4 (B) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED

(A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED

(B) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

(C) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4

5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( (A) EMBED Equation.DSMT4 (B) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4


开始 i=1,S=0 EMBED Equation.DS MT4 i=i+1

(D) EMBED Equation.DSMT4
否 EMBED Equation.DSMT4 是 输出 S 结束

6. 若曲线 EMBED Equation.DSMT4 则实数 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

为焦点在 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 满足(

轴上的椭圆, ) (A)

(B) EMBED Equation.DSMT4

(C) EMBED Equation.DSMT4

(D) EMBED Equation.DSMT4 (A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 (A) (B) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED

(D) EMBED Equation.DSMT4 (B ) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED

EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4 (B)

(D) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED

EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4

7. 定义域为 R 的函数 EMBED Equation.DSMT4

满足 EMBED Equation.DSMT4

, 且当

EMBED Equation.DSMT4

时, EMBED Equation.DSMT4 的最小值为( (B) )

,则当 EMBED Equation.DSMT4

时, EMBED Equation.DSMT4 (A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 (D)

EMBED Equation.DSMT4

(C) EMBED

EMBED Equation.DSMT4 (B) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED

(A) EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 (B) (D)

EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED

EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED Equation.DSMT4

8.在平面直角坐标系

EMBED Equation.DSMT4

中,记不等式组

EMBED Equation.DSMT4

所表示的平面区域为 EMBED Equation.DSMT4

. 在映射 EMBED Equation.DSMT4

的作用下,区域

EMBED Equation.DSMT4 ,则由点

内的点

EMBED Equation.DSMT4

对应的象

为点 EMBED Equation.DSMT4 的面积为( (C) (A)

EMBED Equation.DSMT4

所形成的平面区域

) (A) EMBED Equation.DSMT4

(B) EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

(D) (B)

EMBED Equation.DSMT4
(C)

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 (D)
(A) EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
(B) EMBED Equation.DSMT4

(C) EMBED

Equation.DSMT4

(D)

EMBED Equation.DSMT4
(C) EMBED Equation.DSMT4 (D) EMBED

(B) EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4
(C)

EMBED Equation.DSMT4

(D)

EMBED Equation.DSMT4

(D)

EMBED Equation.DSMT4

共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知复数 z 满足 EMBED Equation.DSMT4 , 那么 EMBED Equation.DSMT4 ______.

第Ⅱ卷(非选择题

10.在等差数列 EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

中, EMBED Equation.DSMT4

, EMBED

, 则公差 EMBED Equation.DSMT4 ______.

______; 前 17 项的和 EMBED

11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如 图所示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为______.
2 侧(左)视图

12.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 EMBED Equation.3 , 则 EMBED Equation.DSMT4 ______; EMBED Equation.DSMT4 ______. ______;若函数 的取值范围 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.DSMT4

13.设函数 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 是______.

则 EMBED Equation.DSMT4

存在两个零点,则实数 EMBED Equation.DSMT4

14.设 EMBED Equation.DSMT4

为平面直角坐标系 EMBED Equation.DSMT4 ,存在 EMBED Equation.DSMT4 满足性质

内的点 ,使得 EMBED

集,若对于任意 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,则称点集

EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4 eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2) eq \o\ac(○,3)

. 给出下列三个点集: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ; ; . 的点集的序号是______.

其中所有满足性质 EMBED Equation.DSMT4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 Equation.DSMT4 (Ⅰ)若 Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . ,求 EMBED ,且 EMBED

的最小正周期为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的值; 的单调增区间. ,

EMBED Equation.DSMT4

(Ⅱ)求函数 EMBED Equation.DSMT4 16. (本小题满分 13 分)

以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数 字模糊, 无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 EMBED Equation.DSMT4 (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 的值; (Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 EMBED Equation.DSMT4 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同 表示.

学,求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分的概率. 甲组 8 2 17. (本小题满分 14 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3,G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点. E 2 8 9 0 1 a 乙组

F

G

(Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求证:平面 BDGH//平面 AEF; (Ⅲ)求多面体 ABCDEF 的体积.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 EMBED Equation.DSMT4 然对数的底数, . (Ⅰ)求函数 EMBED Equation.3 (Ⅱ) 当 EMBED Equation.DSMT4

,其中 EMBED Equation.DSMT4

是自

的单调区间; 时, 求函数 EMBED Equation.DSMT4 的最小值.

19. (本小题满分 14 分) 已知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 Equation.DSMT4

是抛物线 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

上的两个点, 点 ,直线 EMBED EMBED

的坐标为

的斜率为

EMBED Equation.DSMT4

.设抛物线 的下方.

的焦点在直线 EMBED Equation.DSMT4

(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上一点,且 EMBED Equation.DSMT4 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 EMBED Equation.DSMT4 ,过 EMBED Equation.DSMT4 . 判断四边形

EMBED Equation.DSMT4

是否为梯形,并说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 设无穷等比数列 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.2 表示不超过实数

的公比为 q,且 EMBED Equation.2 的最大整数(如

, EMBED

EMBED Equation.2

Equation.2 Equation.DSMT4

) ,记 EMBED Equation.2

, 数列 EMBED Equation.DSMT4

的前 EMBED 的前

项和为 EMBED Equation.DSMT4

, 数列 EMBED Equation.2 . ;

EMBED Equation.DSMT4

项和为 EMBED Equation.DSMT4

(Ⅰ)若 EMBED Equation.DSMT4 (Ⅱ)证明:

,求 EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 ;

)的充分必要

条件为 EMBED Equation.DSMT4 (Ⅲ)若对于任意不超过 Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 .

的正整数 n,都有

EMBED

,证明: EMBED Equation.3

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2014.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D 5.B 2.D 6.C 3.A 7.A 4.C 8 .C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 12 . EMBED 10 . EMBED

Equation.DSMT4 11 . EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

13 .

EMBED Equation.DSMT4 14. eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,3)

EMBED Equation.DSMT4

注:第 10、12、13 题第一问 2 分,第二问 3 分. 第 14 题若有错选、多选不得分,少选得 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 EMBED Equation.DSMT4 所 以 . 由 即 ?????? 4 分 所以 因为 所以 6分 (Ⅱ)解:函数 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED ??????10 分 由 解得 12 分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , . ??????11 分 ?????? Equation.DSMT4 , ?????? 8 分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , . ?????? . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的最小正周期为 EMBED Equation.DSMT4 , 解 得 EMBED ,

Equation.DSMT4

?????? 3 分 ,得 EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 , ,

EMBED

所以函数 .????13 分

EMBED Equation.DSMT4

的单调增区间为

EMBED Equation.DSMT4

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,得 解 得 EMBED Equation.DSMT4 EMBED , ?????? 3 分 Equation.DSMT4 .

?????? 4 分 (Ⅱ)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 EMBED Equation.DSMT4 ?????? 5 分 依题意 EMBED Equation.DSMT4 ,共有 10 种可能. ,

?????? 6 分 由(Ⅰ)可知,当 EMBED Equation.DSMT4 所以当 EMBED Equation.DSMT4 能.? 7 分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 EMBED Equation.DSMT4 . ?????? 8 分 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,

时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有 8 种可

(Ⅲ) 解: 设 “这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分” 为事件 EMBED Equation.DSMT4 ,???? 9 分 当 EMBED Equation.DSMT4 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所 种, 它们是: EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,

有可能的成绩结果有 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4

??????10 分 所以事件 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 的结果有 7 种, 它们是: EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4

, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4

.

?????? 11 分 因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分的概率 EMBED Equation.DSMT4

. ??????13 分 17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 EMBED Equation.DSMT4 所 以 EMBED 是正方形, Equation.DSMT4 .

?????? 1 分 又因为平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 , , EMBED Equation.DSMT4 . ,平面

EMBED Equation.DSMT4

平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 平 面

且 EMBED Equation.DSMT4 所 以 EMBED

Equation.DSMT4

?????? 4 分 (Ⅱ)证明:在 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的中点, , 平面 E EMBED Equation.DSMT4 , 平 面 G EMBED F Equation.DSMT4 D ,连接 EMBED Equation.DSMT4 中,因为 O , , H C EMBED . , EMBED 中,因为 EMBED Equation.DSMT4 分别是

所以 EMBED Equation.DSMT4 又因为 Equation.DSMT4 所 以 EMBED Equation.DSMT4

平面 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

?????? 6 分 设 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 , , 平面

Equation.DSMT4

A Equation.DSMT4 EMBED B

所以 EMBED Equation.DSMT4 又因为 Equation.DSMT4 所 以 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 , 平 面



EMBED

平面 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ?????? 8 分

EMBED Equation.DSMT4

.

又 因 为 EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 ,

, EMBED Equation.DSMT4

平面

EMBED

所 以 平 面 EMBED Equation.DSMT4 ??????10 分 (Ⅲ)解:由(Ⅰ) ,得 EMBED Equation.DSMT4 又因为 EMBED Equation.DSMT4

平 面

EMBED Equation.DSMT4

.

平面 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

, 的面积

,四边形

EMBED Equation.DSMT4

,?????11 分 .

所 以 四 棱 锥 EMBED Equation.DSMT4 的 体 积 EMBED Equation.DSMT4 ??????12 分 同理,四棱锥 EMBED Equation.DSMT4 的体积 EMBED Equation.DSMT4 . 所 以 多 面 体 EMBED Equation.DSMT4 的 体 积 EMBED Equation.DSMT4 ??????14 分 18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 EMBED Equation.DSMT4 所 . 令 . 当 EMBED Equation.DSMT4 Equation.3 的变化情况如下: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 以

.

, EMBED Equation.DSMT4
EMBED ?????? 2 分 , 得 EMBED



Equation.DSMT4

Equation.DSMT4

?????? 3 分 变化时, EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ↘ ↗ ?????? 5 分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 5分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ↘ ↗ ??????

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ↘ ↗ ?????? 5 分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 5分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 5分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ↘ ↗ ?????? 5 分 EMBED Equation.DSMT4 5分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ↘ ↗ ?????? 5 分 ↗ ?????? 5 分 ↗ ?????? 5 分 ?????? 5 分

↘ ↗ ?????? 5 分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ↘ ↗ ??????

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 ↘ ↗ ??????

EMBED Equation.DSMT4 ↘ ↗ ?????? 5 分 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ↘ ↗ ??????

↘ ↗ ?????? 5 分 ↘ ↗ ?????? 5 分

?????? 5 分 故 EMBED Equation.DSMT4 的单调减区间为 .???? 6 分 的单调减区间为 EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 ;单调

增区间为 EMBED Equation.DSMT4

(Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,得 EMBED Equation.DSMT4 ;单调增区间为 EMBED Equation.DSMT4 所以当 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 故

,即 EMBED Equation.DSMT4
上单调递增,

时,

在 EMBED Equation.DSMT4 在

EMBED Equation.DSMT4 ;

EMBED Equation.DSMT4

上的最小值为

EMBED Equation.3

?????? 8 分

当 EMBED Equation.DSMT4

,即 EMBED Equation.DSMT4

时,

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 故



EMBED Equation.DSMT4 上单调递增,

上单调递减,

在 EMBED Equation.DSMT4 在

EMBED Equation.DSMT4 ;??????10 分

EMBED Equation.DSMT4

上的最小值为

EMBED Equation.3

当 EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 故

, 即 EMBED Equation.DSMT4
上单调递减,

时, EMBED

在 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . ??????12 分

在 EMBED Equation.DSMT4

上的最小值为

EMBED Equation.3

所以函数 EMBED Equation.DSMT4

在 EMBED Equation.DSMT4

上的最小值为

EMBED Equation.DSMT4

??13 分

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 解 :抛物线 EMBED Equation.DSMT4 ?????? 1 分 由题意,得直线 EMBED Equation.DSMT4 ?????? 2 分 令 EMBED Equation.DSMT4 ,得 EMBED Equation.DSMT4 . ,即直线 EMBED ?????? 3 分 的方程为 EMBED Equation.DSMT4 , 的焦点为 EMBED Equation.DSMT4 .

Equation.DSMT4

与 y 轴相交于点 EMBED Equation.DSMT4

因为抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的下方, 所以 解得 因为 所 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 以 , . ,

的焦点在直线 EMBED Equation.DSMT4

EMBED

Equation.DSMT4

.

?????? 5 分

( Ⅱ ) 解 : 结 论 : 四 边 形 ?????? 6 分 理由如下: 假 设 四 边 形

EMBED Equation.DSMT4

不 可 能 为 梯 形 .

EMBED

Equation.DSMT4







.

?????? 7 分 由题意,设 EMBED Equation.DSMT4 Equation.DSMT4 , , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED

联立方程 EMBED Equation.DSMT4 消去 y,得 EMBED Equation.DSMT4 , ,所以 EMBED Equation.DSMT4 .

由韦达定理,得 EMBED Equation.DSMT4 ?????? 8 分 同 理 , 得 EMBED

Equation.DSMT4

.

?????? 9 分 对函数 EMBED Equation.DSMT4 所以抛物线 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 求导,得 EMBED Equation.DSMT4 在点 EMBED Equation.DSMT4 , 处的切线

的斜率为 EMBED Equation.DSMT4

, ?????? 10 分 处的切线

抛物线 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 由四边形

在点 EMBED Equation.DSMT4

的斜率为 EMBED Equation.DSMT4

. ??????11 分 或

EMBED Equation.DSMT4 . ,则

为梯形,得 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 若

EMBED Equation.DSMT4 ,

EMBED Equation.DSMT4

,即

EMBED

Equation.DSMT4

因为方程 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 若 不平行.

无解,所以 EMBED Equation.DSMT4

??????12 分 ,则 EMBED Equation.DSMT4 ,即 EMBED

EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4

, 无解,所以 EMBED Equation.DSMT4 ?????13 分 不是梯形,与假设矛盾. 不 可 能 为 梯 形 .

因为方程 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 不平行.

所以四边形 EMBED Equation.DSMT4 因 此 四 边 形 ?????14 分 EMBED

Equation.DSMT4

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为等比数列 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所以 Equation.DSMT4 所以 Equation.DSMT4 则 ?????? 3 分 (Ⅱ)证明: (充分性)因为 所以 因为 所 EMBED Equation.DSMT4 , , , EMBED Equation.DSMT4 ?????? 1 分 , EMBED Equation.DSMT4 ?????? 2 分 EMBED Equation.DSMT4 . , EMBED , EMBED 的 EMBED Equation.DSMT4 ,

EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 .

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 以

对一切正整数 n 都成立. , EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , .

?????? 5 分 (必要性) 因为对于任意的 EMBED Equation.DSMT4 当 EMBED Equation.3 ; 时,由 , EMBED Equation.DSMT4 ,得 , EMBED

EMBED Equation.DSMT4

Equation.DSMT4

?????? 6 分 时,由 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,

当 EMBED Equation.3 得 EMBED Equation.3 .

















n





EMBED

Equation.3

.

?????? 7 分 因为 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 n 都 有 EMBED , .

所 以 对 一 切 正 整 数 ?????? 8 分 (Ⅲ)证明:因为 所 以 ?????? 9 分 因为 所 以 ??????10 分 由 EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 EMBED EMBED Equation.3 EMBED

Equation.DSMT4

, , EMBED Equation.3 .

Equation.DSMT4

, , EMBED Equation.3 .

Equation.DSMT4

, 得

EMBED

Equation.3

.

??????11 分 因为 所以 所 以 ??????13 分 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED , , , 即 EMBED Equation.3 .

Equation.3


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