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高二数学必修五试题及答案解析


高二理科数必修 5 测试题及答案解析 一、客观题:本题共 16 个小题,每小题 5 分,共 80 分. 1.若 a ? b ? c ,则下列结论不正确的是 ( )

A.

1 1 ? a b

B.

a?b ?0 a

C. a 2 ? b 2

D.

a 3 ? b3

2.下列结论正确的是()

A.

当 x ? 0 且时, x ? 1 ,lg x ?

4 1 ? ?? ? 2 B. 当 x ? ? 0, ? , sin x ? 的最小值为 4 sin x lg x ? 2?
D. 当 0 ? x ? 2 时,x ?

C. 当 x ? 0 时, x ?

1 ?2 x

1 无最大值。 x

3. 不等式 lg( x2 ? 3x ) ? 1 的解集为( )

A.

( ?2,5 )

B.

( ?5, 2 )

C.

( 3, 5 )

D. ( ?2 ,0 ) ? (3 , 5 )

4.设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? ( ) A.2 B.4 C.6 D.8

5. 在等比数列 ?an ? 中 a1 ? 4 ,公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?Sn ? 2? 也是等比数列, 则 q 等于( )

A. 3

B.

-3

C.

2

D. -2

6.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 m ? 1 且 am?1 ? am?1 ? am2 ?1 ? 0 ,S2m?1 ? 39 , 则 m 等于( )

A.

10
2

B.

19
n ?1

C.

2

D.

-2

7.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ? 2

A. an ?

1 2n ?1

B.

an ?

1 2n

n an ? (n ? N *) ,则 ?an ? 的通项公式是() 2 1 1 C. an ? n ?1 D. an ? 2 2n
). D.a1a8=a4a5

8、如果 a1,a2,?,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A.a1a8>a4a5 B.a1a8<a4a5 C.a1+a8<a4+a5

9、 已知两条直线 l1 : 3x ? 2 y ? 5 ? 0 ,l 2 : (m 2 ? 1) x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则 “m ? 2” 是 “ l1 // l 2 ” 的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 )

10、 已知 p :| x ? 2 |? 3 , q : x ? 5 ,则 ? p 是 ? q 成立的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11、已知 A 与 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分不必要条件,那么 A 是 B 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
? ?



S3 1 S6 12.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =( S6 3 S12 A. 3 10 B. 1 3 C. 1 8 D.

) 1 9

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 ,则 2 x ? y 的最大值为___________ ? x ?1 ?
14、已知正实数 a,b ,满足 a ? 4b ? 4 ,求

1 1 ? 的最小值___________ a b

* 15.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2n ? 1 n ? N ,则 an ? ___________

?

?

16、在 ?ABC 中,

cos A ? 3 cos C 3c ? a sinC ? , =___________ cos B b sin A

二、主观题 17、命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0,命题 q:实数 x 满足 x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0,且 p 是 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.

18.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1 =1,且 b2S2=64,b3S3=960. 1 1 1 3 (1)求 an 与 bn;(2)证明: + +?+ < . S1 S2 Sn 4 19、已知数列{an}满足 a1=1,an-2an-1-2n-1=0(n∈N*,n≥2). (1)求证:数列{ n}是等差数列;(2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn. 2 * 20. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N .
(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.
*

an

21、某企业生产 A,B 两种产品,生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表: 已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限 制,该企业仅有劳动力 300 个,煤 360 t,并且供电局只能供电 200 kW,试问该企业生 产 A,B 两种产品各多少吨,才能获得最大利润? 产品品种 A 产品 B 产品 劳动力(个) 3 10 煤(t) 9 4 电(kW) 4 5

A 2 5 → → 22、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = ,AB· AC=3. 2 5 (1)求△ABC 的面积;(2)若 b+c=6,求 a 的值.

17、解:设 A={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}={x|3a<x<a}, B={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8<0} ={x|x2-x-6<0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}={x|x<-4 或 x≥-2}. ? ? ?? ? 因为 p 是 ? q 的必要不充分条件,所以 q? p,且 p 推不出 q 而 ?RB={x|-4≤x<-2},?RA={x|x≤3a,或 x≥a} 所以{x|-4≤x<-2} ? {x|x≤3a 或 x≥a}, ?

? 3a ≥ ?2 ? a ≤ ?4 2 或? 即- ≤a<0 或 a≤-4. 3 ?a < 0 ?a < 0

18、解 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d>0,q≠0,an=3+(n-1)d, bn=qn-1,依题意有
?b2S2=?6+d?q=64, ? 2 ?b3S3=?9+3d?q =960. ?d=2, 解得? ?q=8,

?d=-5, 或? 40 ?q= 3 ,
6

(舍去).

. 1 ? 3+2n+1 1 1 1?1 (2)证明:由(1)知 Sn= ×n=n(n+2), = = ? - ?, 2 Sn n?n+2? 2?n n+2? 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + +?+ = + + +?+ S1 S2 Sn 1×3 2×4 3×5 n?n+2? 1 1 ? 1? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 - = ?1- + - + - +?+ - = ?1+ - ? 3 2 4 3 5 n n+2? 2? ? 2? 2 n+1 n+2? 3 2n+3 = - 4 2?n+1??n+2? 2n+3 1 1 1 3 ∵ >0 ∴ + +?+ < . 2?n+1??n+2? S1 S2 Sn 4

故 an=2n+1,bn=8

n-1

an an-1 1 an 1 1 19、解(1)∵an-2an-1-2n-1=0,∴ n- n-1= ,∴{ n}是以 为首项, 为公差的 2 2 2 2 2 2 an 1 1 等差数列.(2)由(1),得 n= +(n-1)× ,∴an=n·2n-1, 2 2 2 0 1 2 n-1 ∴Sn=1·2 +2·2 +3·2 +?+n·2 ① 则 2Sn=1·21+2·22+3·23+?+n·2n②
①-②, 得-Sn=1+21+22+?+2n-1-n·2n= ∴Sn=(n-1)·2n+1.
1·?1-2 ? n n n -n·2 =2 -1-n·2 , 1-2
n

20.(Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? (n ?1) ? 4( an ? n) , n ? N* . 又 a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

4n ? 1 n(n ? 1) ? .对任意的 n ? N* , 3 2

Sn?1 ? 4Sn ?

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3

1 ? ? (3n 2 ? n ? 4) ≤ 0 .所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立. 2
21、解 设生产 A,B 两种产品各为 x,y 吨,利润为 z 万元, 目标函数 z=7x+12y.,则 3x+10y≤300, ? ?9x+4y≤360, ?4x+5y≤200, ? ?x≥0,y≥0. 作出可行域(如图), 作出在一组平行直线 7x+ 12y=0 并平移, 此直线经过 M(20,24), 故 z 的最优解为(20,24), z 的最大值为 7×20 +12×24=428(万元). A 2 5 22、解 (1)∵cos = , 2 5 A 3 4 ∴cosA=2cos2 -1= ,sinA= . 2 5 5 → → 又由AB· AC=3,得 bccosA=3,∴bc=5. 1 因此 S△ABC= bcsinA=2. 2 (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, ∴b=5,c=1,或 b=1,c=5. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=20. ∴a=2 5.


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