浙江省杭州建人高复学校2013届高三高考仿真模拟文科数学试题 word版

浙江省杭州建人高复学校 2013 届高三高考仿真模拟
数学试卷（文科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） （1）已知集合 A ? { x x ? 1} ， B ? { x ? 1 ? x ? 2 } ，则 A ? B =（ (A) { x x ? ? 1} } (B) { x ? 1 ? x ? 1} (C) { x ? 1 ? x ? 2 } ） ） (D) { x 1 ? x ? 2 }
开始

（2）已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i ， i 为虚数单位，则 z ? （ (A) (C)
?1 ? 2i
1 ? 2i

(B) (D)

? 1 ? 2i
1 ? 2i
S=0

（3）某程序框图如右图所示，该程序运行后输出 S 的值是（ (A) 10 (C) 100 (B) 12

）
是

i =1

(D) 102
输出 S

i > 100 否 S=S+2 i =2i+1

? 2 x ? y ? 0， ? （4）已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 0 ， ? 3 x ? y ? 5 ? 0， ?

结束

则 2 x ? y 的最大值是（ (A) 0
a b

） (C) 4 (D) ） (B) 必要不充分条件 5

(第 3 题)

(B)

3

（5） 2 ? 2 ”是 “ lo g 2 a ? lo g 2 b ”的（ “ (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 （6）已知直线 l (A) ? （C） m
? ? // ?
,m

(D) 既不充分也不必要条件
?? ? l

与平面 ? , ? , ? ，满足 ?
// ?

，l // ? ， m 且? 且l
? ?

? ?

，m

? ?

，则必有（

）

且m 且l

（B） ? （D） ?

// ? ? ?

? m

? m

（7）把一颗骰子投掷两次，第一次得到的点数记为 a ，第二次得到的点数记为 b ，以 a , b 为 系数得到直线 l1 : a x ? b y ? 3 ， 又已知直线 l 2 : x ? 2 y ? 2 ， 则直线 l 1 与 l 2 相交的概率为 ） （ (A)
2 3

（B）

11 12

（C）

1 6

（D）

1 2

（8） ? ABC 中， A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 3 b cos A ? c cos A ? a cos C ， nt 在 角 则a 的值是（ ） (B) ?
2 2

A

(A) ? 2 2
x a y b
2 2

2

(C)

2

2

(D)

2

（9）过双曲线

?

? 1 的左焦点 F 作⊙O: x

2

? y

2

? a 的两条切线，记切点为 A,B,双
2

曲线左顶点为 C，若 ? ACB ? 120 ,则双曲线的渐近线方程为（
3 3
2 2 （10）如图，已知圆 M： ( x ? 3 ) ? ( y ? 3 ) ? 4 ，四边形 ABCD

?

）
2 2
y C

(A) y ? ? 3 x

(B) y ? ?

x

(C) y ? ? 2 x

(D)

y ? ?

x

为圆 M 的内接正方形，E，F 分别为边 AB， AD 的中点， 当正方形 A B C D 绕圆心 M 转动时， ME ? OF 的取值范 围是 （ ）
O

D F A M B E x

(A) [ ? 6 2 , 6 2 ] (C) [ ? 3 2 , 3 2 ]

(B) (D)

[ ? 6 ,6 ] [ ? 4 ,4 ]

（第 10 题）

第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） （11） 为了了解高三学生的身体状况， 抽取了部分男生的体重， 将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图） ，己知图 中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 l：2：3，第 2 小组的频 数为 12，则抽取的男生人数 . .
2 2 2 1.5

（12） 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为

（13）已知两非零向量 a ， b 满足 | a |? 2 ， | a ? b |? 1 ，则向量 a 与 b 夹角的最大值是 （14）若圆 M： ( x ? 3 ) ? y
2 2

.
? r ( r ? 0 ) 上有且只有三个点到直线
2

3

1.5
正视图 侧视图

3x ? y ?

3 ? 0 的距离为
1 0 2 1

2，则 r ?

.

2
2 2 俯视图

（15）第 1 行：2 +2
2

第 2 行：2 +2 ，2 +2 第 3 行：23+20，23+21，23+22 第 4 行：24+20，24+21，24+22，24+23

0

（第 12 题）

? 由上述规律，则第 n 行的所有数之和为 （16） 已知函数 f ( x )的定义域为
则满足

.

R ，满足

f ( x ? 2 ) ? f ( ? x ), 且当 x ? ?1, ?? ?时， f ( x ) ? x ,

f ( 2 x ) ? f ( x )的 x 的取值范围是

.
ab 的最大值为

2 2 （17）已知正数 a , b 满足 2 a ? b ? 1 ，则 4 a ? b ?

.

三、解答题（本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （18） （本题满分 14 分）已知向量 a ? ( ,
2 ? 1 1 2 s in x ? 3 2
? c o s x ) 与 b ? (1, y ) 共线，设函数

y ? f (x) 。

（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的周期及最大值； （Ⅱ）已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有 f ( A ?
21 7

?
3

) ?

3 ，边 BC

＝

7

， s in B ?

，求 △ABC 的面积．

（19） （本题满分 14 分）已知公差不为零的等差数列 { a n } 的前 10 项和 S 1 0 ? 5 5 ，且
a 2， a 4， a 8 成等比数列.

（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式； （Ⅱ）若数列 { b n } 满足 b n ? ( ? 1) n a n ? 2 n ，求 { b n } 的前 n 项和 T n . （20） （本题满分 14 分）已知直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 ，底面 ? ABC 是等腰三角形
? B A C ? 1 2 0 ， AB ?
°

1 2

AA 1 ? 4 ,

A CN ? 3 AN , 点 M ， P ， Q 分别是 A A 1 ， 1 B 1 ， B C

的中点. （Ⅰ）求证：直线 PQ // 平面 BMN ； （Ⅱ）求直线 AB 与平面 B M C 所成角的正弦值.

（21） （本题满分 15 分）设函数

f (x) ?

1 3

x ? ax

3

2

? ax,

g (x) ? 2 x

2

? 4x ? c

.

（Ⅰ）试问函数 f(x)能否在 x= －1 时取得极值？说明理由； （Ⅱ）若 a= －1，当 x∈［-3,4］时，函数 f(x)与 g(x)的图像有两个公共点，求 c 的取值 范围.

（22） （本题满分 15 分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴上，且过点（2，1） ， （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
2 2 （Ⅱ）与圆 x ? ( y ? 1 ) ? 1 相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N ，

若抛物线上一点 C 满足 OC ? ? ( OM ? ON ) ( ? ? 0 ) ，求 ? 的取值范围.

杭州建人高复学校 2013 年高考仿真模拟考试
数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1-5: DABCB 6-10： DACAB 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） （11）48 （12） 108 ? 3?
(0,

（13）
2 3 )

?
6

（14） 2 ?
17 16

3

（15） ( n ? 1 ) 2 ? 1
n

（16）

（17）

三、解答题（本大题共 5 小题，共 72 分.）
? ?

（18）解（1）因为 a 与 b 共 线 ，所以

1 2

y ? (

1 2

s in x ?

3 2

cos x) ? 0

（2） 因 为 f ( A -

?
3

) ?

3 , ? 2 s in ( A ?

?
3

?

?
3

) ?

3 , ? s in A ?

3 2

? S ?ABC ?

1 2

A C B C s in C ?

3 2

3

┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

（19）解(Ⅰ) 由已知得：
10 ? 9 d ? ? 55 ? 2 a 1 ? 9 d ? 11 ?10 a 1 ? ? ? 2 ? 2 ?d ? a1d ? 0 ? ( a ? 3 d ) 2 ? ( a ? d )( a ? 7 d ) 1 1 ? 1

因为

d ? 0 所以 d ? a 1

所以 2 a 1 ? 9 a 1 ? 11 ，所以 a 1 ? 1 , d ? 1 所以 a n ? 1 ? ( n ? 1 ) ? n (Ⅱ)
? ?? n ? 2 bn ? ? n ?n ? 2 ?
n

┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

( n 为奇数 ) ( n 为偶数 )

(ⅰ) 当 n 为奇数时

Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2

2

?? ? n ? 2

n

? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? n ? (2 ? 2 ? n ?1 2 ? 2
n ?1

2

?? ? 2 )
n

? n ? n 2 ?

2 ? (1 ? 2 )
n

1? 2 5 2

?

(ⅱ) 当 n 为偶数时
Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2
2

?? ? n ? 2

n

? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? (? n ? 1 ? n) ? (2 ? 2 ? n 2 ? 2
n ?1

2

?? ? 2 )
n

?

2 ? (1 ? 2 )
n

1? 2 ? n 2 ? 2

所以 T n

n 5 ? n ?1 2 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 ? 2 ?

( n 为奇数 ( n 为偶数

)

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分
)

（20）解(Ⅰ) 取 AB 中点 G ，连结 PG , QG 分别交 BM , BN 于点 E , F ，则 E , F 分别 为 BM , BN 的中点，连结 EF ，则有 EF // MN ， 而 GE //
1 2 AM , GF // 1 2 AN

所以

GE EP

?

1 3

,

GF FQ

?

AN NC

?

1 3

，所以

GE EP

?

GF FQ

?

1 3

所以 EF // PQ ，又 EF ? 平面 BMN ， PQ ? 平面 BMN 所以 PQ // 平面 BMN ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

(Ⅱ) 过 A 作 AD ? BC 于 D，连接 MD,作 AO ? MD 于 O，连接 BO，
? MA ?

平面 ABC，

?

MA ? BC

又 AD ? BC
? BC ? 平面 ADM ? BC ? AO ? AO ? MD ? AO ? 平面 BCM ? ? ABO

就是 AB 与平面 ABC 所成在角.
? DAC ? 60
o

在 R t ? ADC 中，?

，? AD=2.

在 ? R t ADM 中，? MD ? 2

5 ， AO ?

4 5

5

,

sin ? ABO ?

AO AB

?

5 5

.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分

（21）解： （1） 由题意 f′(x)=x2-2ax-a， 假设在 x=-1 时 f(x)取得极值，则有 f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1，???? 4 分 而此时,f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，函数 f(x)在 R 上为增函数，无极值. 这与 f(x)在 x=-1 有极值矛盾，所以 f(x)在 x=-1 处无极值.???????? 6 分 （2） 设 f(x)=g(x)，则有 设 F(x)=
1 3 1 3

x3-x2-3x-c=0，∴c=

1 3

x3-x2-3x,

x3-x2-3x,G(x)=c，令 F′(x)=x2-2x-3=0,解得 x1=-1 或 x=3.

列表如下： x -3 F′(x) F(x) -9

(-3,-1) + 增

-1 0
5 3

(-1,3) 减

3 0 -9

(3,4) + 增 -

4
20 3

由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数，在(-1,3)上是减函数.?????10 分 当 x=-1 时，F(x)取得极大值 F ( ? 1) F(-3)=F(3)=-9，而 F ( 4 )
? ? 20 3 ? 5 3

；当 x=3 时，F(x)取得极小值

.

如果函数 f(x)与 g(x)的图像有两个公共点，则函数 F(x)与 G(x)有两个公共点， 所以 ?
20 3 ? c ? 5 3
2

或 c=-9.??????????????????15 分
? 2 py ，

（22）解(Ⅰ) 设抛物线方程为 x
2 由已知得： 2 ? 2 p

所以 p ? 2 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5 分

2 所以抛物线的标准方程为 x ? 4 y

(Ⅱ) 因为直线与圆相切， 所以
t ?1 1? k
2

?1? k

2

? t

2

? 2t

把直线方程代入抛物线方程并整理得：
x
2

? 4 kx ? 4 t ? 0
2

由 ? ? 16 k

? 16 t ? 16 ( t

2

? 2 t ) ? 16 t ? 0

得 t ? 0 或t ? ?3 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ， 则 x1 ? x 2 ? 4 k

y 1 ? y 2 ? ( kx 1 ? t ) ? ( kx 2 ? t ) ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 2 t ? 4 k

2

? 2t
2

由 OC ? ? ( OM 得 C (4 k? , (4 k
2

? ON ) ? ? ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ? ( 4 k ? , ( 4 k
? 2t) ? )
2

? 2t )? )

因为点 C 在抛物线 x
? ? ?1? t 2k
2

? 4 y 上，

2 2 所以， 16 k ? ? 4 ( 4 k

2

? 2t) ?

?1? 2t

t
2

? 4t

?1?

1 2t ? 4

因为 t ? 0 或 t ? ? 3 ，

所以 2 t ? 4 ? 4 或 2 t ? 4 ? ? 2 所以 ? 的取值范围为 ( , 1 ) ? (1 ,
2 1 5 4 )

┈ 15 分