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浙江省杭州建人高复学校2013届高三高考仿真模拟文科数学试题 word版


浙江省杭州建人高复学校 2013 届高三高考仿真模拟
数学试卷(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷 选择题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) (1)已知集合 A ? { x x ? 1} , B ? { x ? 1 ? x ? 2 } ,则 A ? B =( (A) { x x ? ? 1} } (B) { x ? 1 ? x ? 1} (C) { x ? 1 ? x ? 2 } ) ) (D) { x 1 ? x ? 2 }
开始

(2)已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? ( (A) (C)
?1 ? 2i
1 ? 2i

(B) (D)

? 1 ? 2i
1 ? 2i
S=0

(3)某程序框图如右图所示,该程序运行后输出 S 的值是( (A) 10 (C) 100 (B) 12




i =1

(D) 102
输出 S

i > 100 否 S=S+2 i =2i+1

? 2 x ? y ? 0, ? (4)已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 0 , ? 3 x ? y ? 5 ? 0, ?

结束

则 2 x ? y 的最大值是( (A) 0
a b

) (C) 4 (D) ) (B) 必要不充分条件 5

(第 3 题)

(B)

3

(5) 2 ? 2 ”是 “ lo g 2 a ? lo g 2 b ”的( “ (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (6)已知直线 l (A) ? (C) m
? ? // ?
,m

(D) 既不充分也不必要条件
?? ? l

与平面 ? , ? , ? ,满足 ?
// ?

,l // ? , m 且? 且l
? ?

? ?

,m

? ?

,则必有(



且m 且l

(B) ? (D) ?

// ? ? ?

? m

? m

(7)把一颗骰子投掷两次,第一次得到的点数记为 a ,第二次得到的点数记为 b ,以 a , b 为 系数得到直线 l1 : a x ? b y ? 3 , 又已知直线 l 2 : x ? 2 y ? 2 , 则直线 l 1 与 l 2 相交的概率为 ) ( (A)
2 3

(B)

11 12

(C)

1 6

(D)

1 2

(8) ? ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 3 b cos A ? c cos A ? a cos C , nt 在 角 则a 的值是( ) (B) ?
2 2

A

(A) ? 2 2
x a y b
2 2

2

(C)

2

2

(D)

2

(9)过双曲线

?

? 1 的左焦点 F 作⊙O: x

2

? y

2

? a 的两条切线,记切点为 A,B,双
2

曲线左顶点为 C,若 ? ACB ? 120 ,则双曲线的渐近线方程为(
3 3
2 2 (10)如图,已知圆 M: ( x ? 3 ) ? ( y ? 3 ) ? 4 ,四边形 ABCD

?


2 2
y C

(A) y ? ? 3 x

(B) y ? ?

x

(C) y ? ? 2 x

(D)

y ? ?

x

为圆 M 的内接正方形,E,F 分别为边 AB, AD 的中点, 当正方形 A B C D 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范 围是 ( )
O

D F A M B E x

(A) [ ? 6 2 , 6 2 ] (C) [ ? 3 2 , 3 2 ]

(B) (D)

[ ? 6 ,6 ] [ ? 4 ,4 ]

(第 10 题)

第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) (11) 为了了解高三学生的身体状况, 抽取了部分男生的体重, 将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图) ,己知图 中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 l:2:3,第 2 小组的频 数为 12,则抽取的男生人数 . .
2 2 2 1.5

(12) 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为

(13)已知两非零向量 a , b 满足 | a |? 2 , | a ? b |? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的最大值是 (14)若圆 M: ( x ? 3 ) ? y
2 2

.
? r ( r ? 0 ) 上有且只有三个点到直线
2

3

1.5
正视图 侧视图

3x ? y ?

3 ? 0 的距离为
1 0 2 1

2,则 r ?

.

2
2 2 俯视图

(15)第 1 行:2 +2
2

第 2 行:2 +2 ,2 +2 第 3 行:23+20,23+21,23+22 第 4 行:24+20,24+21,24+22,24+23

0

(第 12 题)

? 由上述规律,则第 n 行的所有数之和为 (16) 已知函数 f ( x )的定义域为
则满足

.

R ,满足

f ( x ? 2 ) ? f ( ? x ), 且当 x ? ?1, ?? ?时, f ( x ) ? x ,

f ( 2 x ) ? f ( x )的 x 的取值范围是

.
ab 的最大值为

2 2 (17)已知正数 a , b 满足 2 a ? b ? 1 ,则 4 a ? b ?

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (18) (本题满分 14 分)已知向量 a ? ( ,
2 ? 1 1 2 s in x ? 3 2
? c o s x ) 与 b ? (1, y ) 共线,设函数

y ? f (x) 。

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的周期及最大值; (Ⅱ)已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、B、C,若有 f ( A ?
21 7

?
3

) ?

3 ,边 BC



7

, s in B ?

,求 △ABC 的面积.

(19) (本题满分 14 分)已知公差不为零的等差数列 { a n } 的前 10 项和 S 1 0 ? 5 5 ,且
a 2, a 4, a 8 成等比数列.

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 { b n } 满足 b n ? ( ? 1) n a n ? 2 n ,求 { b n } 的前 n 项和 T n . (20) (本题满分 14 分)已知直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 ,底面 ? ABC 是等腰三角形
? B A C ? 1 2 0 , AB ?
°

1 2

AA 1 ? 4 ,

A CN ? 3 AN , 点 M , P , Q 分别是 A A 1 , 1 B 1 , B C

的中点. (Ⅰ)求证:直线 PQ // 平面 BMN ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 B M C 所成角的正弦值.

(21) (本题满分 15 分)设函数

f (x) ?

1 3

x ? ax

3

2

? ax,

g (x) ? 2 x

2

? 4x ? c

.

(Ⅰ)试问函数 f(x)能否在 x= -1 时取得极值?说明理由; (Ⅱ)若 a= -1,当 x∈[-3,4]时,函数 f(x)与 g(x)的图像有两个公共点,求 c 的取值 范围.

(22) (本题满分 15 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点(2,1) , (Ⅰ)求抛物线的标准方程;
2 2 (Ⅱ)与圆 x ? ( y ? 1 ) ? 1 相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N ,

若抛物线上一点 C 满足 OC ? ? ( OM ? ON ) ( ? ? 0 ) ,求 ? 的取值范围.

杭州建人高复学校 2013 年高考仿真模拟考试
数学(文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1-5: DABCB 6-10: DACAB 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) (11)48 (12) 108 ? 3?
(0,

(13)
2 3 )

?
6

(14) 2 ?
17 16

3

(15) ( n ? 1 ) 2 ? 1
n

(16)

(17)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.)
? ?

(18)解(1)因为 a 与 b 共 线 ,所以

1 2

y ? (

1 2

s in x ?

3 2

cos x) ? 0

(2) 因 为 f ( A -

?
3

) ?

3 , ? 2 s in ( A ?

?
3

?

?
3

) ?

3 , ? s in A ?

3 2

? S ?ABC ?

1 2

A C B C s in C ?

3 2

3

┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

(19)解(Ⅰ) 由已知得:
10 ? 9 d ? ? 55 ? 2 a 1 ? 9 d ? 11 ?10 a 1 ? ? ? 2 ? 2 ?d ? a1d ? 0 ? ( a ? 3 d ) 2 ? ( a ? d )( a ? 7 d ) 1 1 ? 1

因为

d ? 0 所以 d ? a 1

所以 2 a 1 ? 9 a 1 ? 11 ,所以 a 1 ? 1 , d ? 1 所以 a n ? 1 ? ( n ? 1 ) ? n (Ⅱ)
? ?? n ? 2 bn ? ? n ?n ? 2 ?
n

┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

( n 为奇数 ) ( n 为偶数 )

(ⅰ) 当 n 为奇数时

Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2

2

?? ? n ? 2

n

? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? n ? (2 ? 2 ? n ?1 2 ? 2
n ?1

2

?? ? 2 )
n

? n ? n 2 ?

2 ? (1 ? 2 )
n

1? 2 5 2

?

(ⅱ) 当 n 为偶数时
Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2
2

?? ? n ? 2

n

? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? (? n ? 1 ? n) ? (2 ? 2 ? n 2 ? 2
n ?1

2

?? ? 2 )
n

?

2 ? (1 ? 2 )
n

1? 2 ? n 2 ? 2

所以 T n

n 5 ? n ?1 2 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 ? 2 ?

( n 为奇数 ( n 为偶数

)

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分
)

(20)解(Ⅰ) 取 AB 中点 G ,连结 PG , QG 分别交 BM , BN 于点 E , F ,则 E , F 分别 为 BM , BN 的中点,连结 EF ,则有 EF // MN , 而 GE //
1 2 AM , GF // 1 2 AN

所以

GE EP

?

1 3

,

GF FQ

?

AN NC

?

1 3

,所以

GE EP

?

GF FQ

?

1 3

所以 EF // PQ ,又 EF ? 平面 BMN , PQ ? 平面 BMN 所以 PQ // 平面 BMN ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

(Ⅱ) 过 A 作 AD ? BC 于 D,连接 MD,作 AO ? MD 于 O,连接 BO,
? MA ?

平面 ABC,

?

MA ? BC

又 AD ? BC
? BC ? 平面 ADM ? BC ? AO ? AO ? MD ? AO ? 平面 BCM ? ? ABO

就是 AB 与平面 ABC 所成在角.
? DAC ? 60
o

在 R t ? ADC 中,?

,? AD=2.

在 ? R t ADM 中,? MD ? 2

5 , AO ?

4 5

5

,

sin ? ABO ?

AO AB

?

5 5

.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分

(21)解: (1) 由题意 f′(x)=x2-2ax-a, 假设在 x=-1 时 f(x)取得极值,则有 f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1,???? 4 分 而此时,f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,函数 f(x)在 R 上为增函数,无极值. 这与 f(x)在 x=-1 有极值矛盾,所以 f(x)在 x=-1 处无极值.???????? 6 分 (2) 设 f(x)=g(x),则有 设 F(x)=
1 3 1 3

x3-x2-3x-c=0,∴c=

1 3

x3-x2-3x,

x3-x2-3x,G(x)=c,令 F′(x)=x2-2x-3=0,解得 x1=-1 或 x=3.

列表如下: x -3 F′(x) F(x) -9

(-3,-1) + 增

-1 0
5 3

(-1,3) 减

3 0 -9

(3,4) + 增 -

4
20 3

由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数.?????10 分 当 x=-1 时,F(x)取得极大值 F ( ? 1) F(-3)=F(3)=-9,而 F ( 4 )
? ? 20 3 ? 5 3

;当 x=3 时,F(x)取得极小值

.

如果函数 f(x)与 g(x)的图像有两个公共点,则函数 F(x)与 G(x)有两个公共点, 所以 ?
20 3 ? c ? 5 3
2

或 c=-9.??????????????????15 分
? 2 py ,

(22)解(Ⅰ) 设抛物线方程为 x
2 由已知得: 2 ? 2 p

所以 p ? 2 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5 分

2 所以抛物线的标准方程为 x ? 4 y

(Ⅱ) 因为直线与圆相切, 所以
t ?1 1? k
2

?1? k

2

? t

2

? 2t

把直线方程代入抛物线方程并整理得:
x
2

? 4 kx ? 4 t ? 0
2

由 ? ? 16 k

? 16 t ? 16 ( t

2

? 2 t ) ? 16 t ? 0

得 t ? 0 或t ? ?3 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ? 4 k

y 1 ? y 2 ? ( kx 1 ? t ) ? ( kx 2 ? t ) ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 2 t ? 4 k

2

? 2t
2

由 OC ? ? ( OM 得 C (4 k? , (4 k
2

? ON ) ? ? ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ? ( 4 k ? , ( 4 k
? 2t) ? )
2

? 2t )? )

因为点 C 在抛物线 x
? ? ?1? t 2k
2

? 4 y 上,

2 2 所以, 16 k ? ? 4 ( 4 k

2

? 2t) ?

?1? 2t

t
2

? 4t

?1?

1 2t ? 4

因为 t ? 0 或 t ? ? 3 ,

所以 2 t ? 4 ? 4 或 2 t ? 4 ? ? 2 所以 ? 的取值范围为 ( , 1 ) ? (1 ,
2 1 5 4 )

┈ 15 分


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