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2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用


2014 届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题一 第 3 讲 基本初等函数、函数与方程 及函数的应用

基本初等函数的图像与性质 一、基础知识要记牢 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图像和性质,分 0<a<1, a>1 两种情况,当 a>1 时,两函数在定义域内都为增函数,当 0<a<1 时,两函数在定义域内 都为减函数. 二、经典例题领悟好 [例 1] 1 (1)(2012· 四川高考)函数 y=ax- (a>0,且 a≠1)的图像可能是( a )

(2)(2013· 全国卷Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a C.a>c>b B.b>c>a D.a>b>c

)

1 1 1 [解析] (1)当 x=-1 时,y= - =0,所以函数 y=ax- 的图像必过定点(-1,0),结 a a a 合选项可知选 D. (2)a=log36=log33+log32=1+log32, b=log510=log55+log52=1+log52, c=log714=log77+log72=1+log72, ∵log32>log52>log72,∴a>b>c. [答案] (1)D (2)D

比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法:一是根据同类函数的单调性 进行比较;二是采用中间值 0 或 1 等进行比较;三是将对数式转化为指数式,或将指数式转 化为对数式,通过转化进行比较.

三、预测押题不能少 1.(1)函数 y=x-x 的图像大致为(
1 3

)

1

1

解析:选 A 函数 y=x-x 3 为奇函数.当 x>0 时,由 x-x 3 >0,即 x3>x,可得 x2>1, 故 x>1,结合选项,选 A. (2)若 x∈(e A.c>b>a C.a>b>c
-1,

1?ln x ln x 1),a=ln x,b=? ?2? ,c=e ,则 a,b,c 的大小关系为( B.b>c>a D.b>a>c

)

1?ln x -1, 解析:选 B 依题意得 a=ln x∈(-1,0),b=? ?2? ∈(1,2),c=x∈(e 1),因此 b>c>a. 函数的零点 一、基础知识要记牢 确定函数零点的常用方法: (1)解方程判定法,方程易解时用此法; (2)利用零点存在的判定定理; (3)利用数形结合,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解. 二、经典例题领悟好 [例 2] (1)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( B.(-1,0) D.(1,2) ) )

A.(-2,-1) C.(0,1)

? ?x+1,x≤0, (2)已知函数 f(x)=? 则函数 y=f[f(x)+1]的零点个数是( ?log2x,x>0, ?

A.2 C.4

B.3 D.5

1 [解析] (1)由 f(-1)= -3<0,f(0)=1>0 及零点定理,知 f(x)的零点在区间(-1,0)上. 2 (2)当 f(x)=0 时, x=-1 或 x=1, 故 f[f(x)+1]=0 时, f(x)+1=-1 或 1.当 f(x)+1=-1, 1 即 f(x)=-2 时,解得 x=-3 或 x= ;当 f(x)+1=1,即 f(x)=0 时,解得 x=-1 或 x=1. 4 故函数 y=f[f(x)+1]有四个不同的零点. [答案] (1)B (2)C

函数的零点、方程的根,都可以转化为函数图像与 x 轴的交点,数形结合法是解决函数 零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点问题时, 既要注意利用函数的图像, 也要注意根据函数的零点存在性定理、 函数的性质等进行相关的 计算,把数与形紧密结合起来. 三、预测押题不能少
?2x-a,x≤0 ? 2.若函数 f(x)=? 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. ? ?ln x,x>0

解析:当 x>0 时,由 f(x)=ln x=0,得 x=1.因为函数 f(x)有两个不同的零点,则当 x≤0 时,函数 f(x)=2x-a 有一个零点,令 f(x)=0 得 a=2x,因为 0<2x≤20=1,所以 0<a≤1,所 以实数 a 的取值范围是 0<a≤1. 答案:(0,1] 函数的实际应用 一、经典例题领悟好 [例 3] 某企业为打入国际市场,决定从 A,B 两种产品中只选择一种进行投资生产.已 知投资生产这两种产品的有关数据如表:(单位:万美元) 项目类别 A 产品 B 产品 年固定 成本 20 40 每件产 品成本 m 8 每件产品 销售价 10 18 每年最多可生 产的件数 200 120

其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产 A 产品的原材料价 格决定,预计 m∈[6,8].另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税.假设 生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产 A,B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之间 的函数关系并指明其定义域; (2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划. [解] (1)由年销售量为 x 件,按利润的计算公式,有生产 A,B 两产品的年利润 y1,y2

分别为 y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20(x∈N,0≤x≤200), y2=18x-(8x+40)-0.05x2=-0.05x2+10x-40(x∈N,0≤x≤120). (2)因为 6≤m≤8,所以 10-m>0,函数 y1=(10-m)x-20 在[0,200]上是增函数,所以 当 x=200 时, 生产 A 产品有最大利润, 且 y1max=(10-m)×200-20=1 980-200m(万美元). 又 y2=-0.05(x-100)2+460(x∈N,0≤x≤120), 所以当 x=100 时,生产 B 产品有最大利润,且 y2max=460(万美元). 因为 y1max-y2max=1 980-200m-460

>0,6≤m<7.6, ? ? =1 520-200m?=0,m=7.6, ? ?<0,7.6<m≤8. 所以当 6≤m<7.6 时,可投资生产 A 产品 200 件; 当 m=7.6 时, 生产 A 产品或生产 B 产品均可(投资生产 A 产品 200 件或生产 B 产品 100 件); 当 7.6<m≤8 时,可投资生产 B 产品 100 件.

解决函数实际应用题的关键有两点:一是认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问 题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;二是要合理 选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中 的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解. 二、预测押题不能少 3.某集团为了获得更大的利润,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年 投入广告费 t(百万元)可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤3). (1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内,则应投入多少广告费,才能使集团 由广告费而产生的收益最大? (2)现在该集团准备投入三百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预算,每投入技 1 术改造费 x(百万元), 可增加的销售额约为- x3+x2+3x(百万元). 请设计一个资金分配方案, 3 使该集团由这两项共同产生的收益最大. 解:(1)设投入广告费 t(百万元)后由此增加的收益为 f(t)(百万元), 则 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3). 所以当 t=2 时,f(t)max=4, 即当集团投入两百万元广告费时,才能使集团由广告费而产生的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为 x(百万元),则用于广告的费用为(3-x)(百万元),则由此两 项所增加的收益为 1 3 2 1 3 2 ? g(x)=? ?-3x +x +3x?+[-(3-x) +5(3-x)]-3=-3x +4x+3(0≤x≤3). 对 g(x)求导,得 g′(x)=-x2+4, 令 g′(x)=-x2+4=0, 得 x=2 或 x=-2(舍去). 当 0≤x<2 时,g′(x)>0,即 g(x)在[0,2)上单调递增; 当 2<x≤3 时,g′(x)<0,即 g(x)在(2,3]上单调递减.

∴当 x=2 时,g(x)max=g(2)=

25 . 3

故在三百万元资金中,两百万元用于技术改造,一百万元用于广告促销,这样集团由此 25 所增加的收益最大,最大收益为 百万元. 3

函数的性质与零点的交汇

函数零点(方程的根)的问题,常见的类型有: (1)零点或零点存在区间的确定; (2)零点个数的确定; (3)利用零点求参数范围问题.函数的性质与零点的交汇问题成为新的命题点. 一、经典例题领悟好 [例] (2012· 湖南高考)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f′(x)是

π π f(x)的导函数,当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π)且 x≠ 时,(x- )f′(x)>0.则函数 y 2 2 =f(x)-sin x 在[-2π,2π]上的零点个数为( A.2 C.5 学审题——审结论之逆向分析 函数 y=f(x)-sin x 的零点― ― →y=f(x)与 y=sin x 图像交点― ― →f(x)的范围― ― ― ― →确 的性质 π 分类讨论 ? 定 f′(x)的正负― ― ― ― →?x-2? f′(x)>0. ?· 用“思想”——尝试用“转化与化归思想”解题 π? π ∵? ?x-2?f′(x)>0,x∈(0,π)且 x≠2, π? π ∴当 0<x< 时,f′(x)<0,f(x)在? ?0,2?上单调递减. 2 π ? π 当 <x<π 时,f′(x)>0,f(x)在? ?2,π?上单调递增. 2 ∵当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1. ∴当 x∈[π,2π],则 0≤2π-x≤π. 又 f(x)是以 2π 为最小正周期的偶函数, 知 f(2π-x)=f(x).
转化 作用 函数f?x?

) B.4 D.8

∴x∈[π,2π]时,仍有 0<f(x)<1. 依题意及 y=f(x)与 y=sin x 的性质,在同一坐标系内作 y=f(x)与 y=sin x 的简图.

则 y=f(x)与 y=sin x 在 x∈[-2π,2π]有 4 个交点. 故函数 y=f(x)-sin x 在[-2π,2π]上有 4 个零点. [答案] B ?1?本题在求解时,用了转化与化归、数形结合、分类讨论思想.个别学生不会利用题设 条件判定 y=f?x?的值域以及函数 y=f?x?图像的变化趋势,导致求解受阻. ?2?函数与方程应用转化与化归的常见类型 ①判断函数零点个数常转化为两函数的图像交点. ②由函数的零点情况确定参数范围,常转化为利用函数图像求解. ③方程根的讨论转化为函数零点的问题. 二、预测押题不能少 5? ? 5? 当 x∈[-1,4]时, 函数 y=f(x)满足 f? f(x)=x2-2x, 则 f(x)在区间[0,2 012] ?x+4?=-f?x-4?, 上零点的个数为( A.2 011 C.1 026 ) B.2 012 D.1 027

5? ? 5? ? 5? 解析:选 D 根据 f? ?x+4?=-f?x-4?,可得 f?x+2?=-f(x),进而得 f(x+5)=f(x),即 函数 y=f(x)是以 5 为周期的周期函数.当 x∈[-1,4]时,f(x)=x2-2x,在[-1,0]内有一个零 点,在(0,4]内有 x1=2,x2=4 两个零点,故在一个周期内函数有三个零点.又因为 2 012= 402×5+2,故函数在区间[0,2 010]内有 402×3=1 206 个零点,在区间(2 010,2 012]内的零 点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同,即只有一个零点,所以函数 f(x)在[0,2 012]上零点 的个数为 1 207.

1 2 1. (2013· 广州惠州调研)已知幂函数 y=f(x)的图像过点? , ?, 则 log4f(2)的值为( ?2 2 ?

)

1 A. 4 C.2
a

1 B.- 4 D.-2
1

1?a 2 1 1 1 2 解析:选 A 设 f(x)=x ,由其图像过点? , ?得? = =? ? 2 ?a= ,故 log4f(2) 2 ?2 2 ? ?2? 2 ?2? 1 =log42 2 = . 4 2. (2013· 陕西高考)设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac logcb 解析:选 B 利用对数的换底公式进行验证,logab· logca= · logca=logcb,则 B 对. logca 3.(2013· 河北质检)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+ex 的一个零点,则-x0 一定是下 列哪个函数的零点( A.y=f(-x)ex-1 C.y=exf(x)-1 ) B.y=f(x)e x+1


1

)

D.y=exf(x)+1

解析:选 C 由已知可得 f(x0)=-ex0,则 e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0 一 定是 y=exf(x)-1 的零点. 3?0.5 ?4?0.4,c=log (log34),则( 4.(2013· 天津一中模拟)设 a=? , b = 3 4 ? ? ?3?
4

)

A.c<b<a C.c<a<b

B.a<b<c D.a<c<b

解析:选 C 由题意得 0<a<1,b>1,而 log34>1,c=log 3 (log34),得 c<0,故 c<a<b.
4

5.下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( A.(-∞,1] 3? C.? ?0,2? 4? B.? ?-1,3? D.[1,2)

)

解析: 选 D 法一: 当 2-x>1, 即 x<1 时, f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x), 此时函数 f(x)在(- ∞,1]上单调递减.当 0<2-x≤1,即 1≤x<2 时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数 f(x) 在[1,2)上单调递增,故选 D. 法二:f(x)=|ln(2-x)|的图像如图所示.

由图像可得,函数 f(x)在区间[1,2)上为增函数,故选 D. a· 2 ,x≤0, ? ? 6.(2013· 东北三校联合模拟)已知函数 f(x)=?log x,x>0. 若关于 x 的方程 f(f(x))=0 1 ? ? 2 有且仅有一个实数解,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0) C.(0,1) )
x

B.(-∞,0)∪(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)

解析:选 B 若 a=0,当 x≤0 时,f(x)=0,故 f(f(x))=f(0)=0 有无数解,不符合题意, 故 a≠0.显然当 x≤0 时,a· 2x≠0,故 f(x)=0 的根为 1,从而 f(f(x))=0 有唯一根,即为 f(x) 1 =1 有唯一根.而 x>0 时,f(x)=1 有唯一根 ,故 a· 2x=1 在(-∞,0]上无根,当 a· 2x=1 在 2 1 (-∞,0]上有根可得 a= x≥1,故由 a· 2x=1 在(-∞,0]上无根可知 a<0 或 0<a<1. 2 7.已知 a= 为________. 解析:由题意知,a= 答案:m<n 8.(2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花 园(阴影部分), 则其边长 x 为________(m). 5- 2 ∈(0,1),故函数 f(x)=ax 是减函数,由 f(m)>f(n)得 m<n. 2 5- 2 ,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系 2

DE x 解析:如图,过 A 作 AH⊥BC 于 H,交 DE 于 F,易知 = BC 40 x+40-x2 ?40? AD AF = = ?AF=x?FH=40-x.则 S=x(40-x)≤ =? 2 ? AB AH 2
2

,当且仅当 40-x=x,即 x=20 时取等号.所以满足题意的边长 x

为 20(m). 答案:20

2 ? ?-x +ax,x≤1, 9. (2013· 江苏扬州中学期中)已知函数 f(x)=? 若?x1, x2∈R, x1≠x2, ?ax-1,x>1, ?

使得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由已知?x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则需 x≤1 时,f(x)不单调即 a 可,即对称轴 <1,解得 a<2. 2 答案:a<2 e2 10.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. e2 解:(1)∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e(x>0), x e2 当且仅当 x= 时取等号. x ∴当 x=e 时,g(x)有最小值 2e. 因此 g(x)=m 有零点,只需 m≥2e. ∴m∈[2e,+∞). (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根, 则函数 g(x)与 f(x)的图像有两个不同的交点. e2 如图所示,作出函数 g(x)=x+ (x>0)的大致图像. x ∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2, ∴其对称轴为 x=e,f(x)max=m-1+e2. 若函数 f(x)与 g(x)的图像有两个交点, 必须有 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1. 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根, 则 m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 11.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓 励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单 价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 解:(1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时,

p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x.
? 0<x≤100, ?60, 所以 p=? ?62-0.02x, 100<x≤600. ?

(2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 当 100<x≤600 时, y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x2.
? 0<x≤100, ?20x, 所以 y=? 2 ?22x-0.02x , 100<x≤600. ?

当 0<x≤100 时, y=20x 是单调增函数, 当 x=100 时, y 最大, 此时 y=20×100=2 000; 当 100<x≤600 时, y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6 050, 所以当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050. 显然 6 050>2 000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6 050 元. 12.(2013· 江西七校联考)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=log4(a· 2x-a)有且只有一个根,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即 log4(4 x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,


1 即(2k+1)x=0,∴k=- . 2 1 (2)依题意令 log4(4x+1)- x=log4(a· 2x-a), 2
?4x+1=?a· 2x-a?· 2x, ? 即? x ?a· 2 -a>0. ?

令 t=2x,则(1-a)t2+at+1=0,只需其有一正根即可满足题意. ①当 a=1 时,t=-1,不合题意,舍去. Δ=a -4?1-a?>0, ? ? ②上式有一正一负根 t1,t2,即? 经验证满足 a· 2x-a>0,∴a>1. 1 ?t1t2=1-a<0, ? a ③上式有两根相等,即 Δ=0?a=± 2 2-2,此时 t= ,若 a=2( 2-1),则有 t 2?a-1? = a <0,此时方程(1-a)t2+at+1=0 无正根,故 a=2( 2-1)舍去; 2?a-1?
2

若 a=-2( 2+1), 则有 t= 因此 a=-2( 2+1).

a a?2-a? a >0, 且 a· 2x-a=a(t-1)=a?2?a-1?-1?= ? ? 2?a-1?>0, 2?a-1?

综上所述,a 的取值范围为{a|a>1 或 a=-2-2 2}.


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