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河南省偃师高级中学2014届高三下学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案


一、选择题: (共 10 小题,每小题只有一个正确选项,每小题 5 分) 1. 设集合 A = x x ? 1 ? 2 , B = ? x y ? A. ?? 1,0? B. ?0, 3? C. ?? 1,0?

?

?

? ? ? ?

? ? ? ,则 A ? C R B ? ? ? . 1? 2x ? ? 1
D. ?0,3?

2. 已知等差数列 ?a n ?中, a m ? k , a k ? m , ?m ? k ? ,则 a m? k ? ? A. m ? k B. m ? k C. ? ?m ? k ? D. 0

?

3. 已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, a ? 1, b ? 2 ,则 2a ? b ? ? A.0 4. 若函数 f ?x ? ? A.0 B. 2 2 C.2 D.8

?。

1 3 1 x ? a tan x ? bx ? ,且 f ?1? ? ?1 ,则 f ?? 1? ? ? ? . 3 2
B.1 C.2 D.3

5. 点 P 在 ?ABC 所在的平面内, 且 PB ? PC ? 2 PA ? 0 ,现将一粒芝麻随机地撒在 ?ABC 内, 则这粒 芝麻落在 ?PBC 内的概率为 ? ? . A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2
? ?

D.

2 3

6. 设函数 f ? x ? ? sin??x ? ? ? ? cos??x ? ? ?, ? ? ? 0, ? ? 那么 f ? x ? ? ? . A.在 ? 0,

??

? 的最小正周期为 ? ,且 f ?x ? ? f ?? x ? , 2?

? ?? ? 上单调递增 ? 2? ? ?? ? 上单调递减 ? 2?

B. 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 上单调递增 ?

C. 在 ? 0,

D. 在 ?

? ? 3? ? , ? 上单调递减 ?4 4 ?

7. 设函数 y ? f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?x ? , 且当 x ? ?? 1,1? 时 f ?x ? ? x , 则函数 g ?x ? ? f ?x ? ? sin x 在 区间 ?? ? , ? ?上的零点个数为 ? ? . A.2 B.3 C.4 D.5

8. 设 ? , ? 都是锐角,且 sin ? ? A.

10 5 , sin ? ? ,则 ? ? ? ? ? 10 5

?

? 4

B.

? 2

C.

3? 4

D.

? 3? 或 4 4

9. 给定命题 p:存在 x ? R ,使 a ? xb ,则 a / / b ;q: ?锐角?ABC, sinA ? cos B . 下面复合命题中正确的是 ? ? . A. p ? q B. p ? q C. ?p ? q D. ?p ? q

10. 设 集 合 S , T 都 是 实 数 集 R 的 非 空 子 集 , 若 存 在 从 S 到 T 一 个 函 数 y ? f ?x ? 满 足

?1?.T ? ?f ?x ? x ? S ?, , ?2? .对 ?x1 , x2 ? S , 当 x1 ? x2 时都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,则称这两个集合“保
序同构” 。以下集合对不是“保序同构”的是 ? A. S ? N , T ? N
*

?

B. S ? x ? 1 ? x ? 3 , T ? x 0 ? x ? 10

?

?

?

?

C. S ? x ? 1 ? x ? 1 , T ? R

?

?

D. S ? Z , T ? n n ? N

?

?

第 II 卷(共计 100 分) 二、填空题: (共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、根据以下向量组①②③的坐标计算并猜想向量 a ? cos10 , sin 10
0

?

0

? 与 b ? ?cos50

0

, sin 50 0 ? 的夹

角为 ① ② ③



a ? ?cos 30 0 , sin 30 0 ? , b ? ?cos 60 0 , sin 60 0 ?; a ? ?cos 75 0 , sin 75 0 ? , b ? ?cos15 0 , sin 15 0 ? ; a ? ?cos 45 0 , sin 45 0 ? , b ? ?cos 90 0 , sin 90 0 ? 。

12、已知等差数列 ?a n ? 的其前 n 项和为 S n ,且 a5 ? 9 , S 5 ? 15 则使其前 n 项和 S n 取得最小值时的

n=

。 13 设函数 f ?x ? ?

? ?2t ? 1?dt ,则数列 ? f ?n??, n ? N
x 0

*

的前 n 项和的表达式是 S n ?



14 、 已 知 非 零 平 面 向 量 ? 、 ? 满 足 为 。 15 、 定 义 一 种 运 算 “

? ? 1 且 ? ? ? 与 ? 的 夹 角 为 120 0 , 则 ? 的 取 值 范 围

?

?

? ”:

?a1 , a2 ? ? ?a3 , a4 ? ? a1a4 ? a2 a3

, 将 函 数

f ?x ? ?

?

3,2 s ix n ? ?c o x, c s o 2x? s 的图像向左平移 n?n ? 0? 个单位长度,所得图像表示的函数为偶函

?

数,则 n 的最小值等于 。 三、解答题: (共 6 小题,计 75 分,请将正确规范的解答过程和结果写在答题卷的指定区域内,否则不给 分,并保持卷面整洁) 。

16、 (本小题 12 分)设等比数列 ?a n ?的首项 a1 ? 成等差数列, (I)求 q ; (II)求 log 3 a n .

1 ,公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 S 1 , 2S 2 , 3S 3 3

17 、 ( 本 小 题 12 分 ) ( 本 小 题 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为

a,b ,

c . a ? 3, b ? 2 ,1 ? 2 cos?B ? C ? ? 0 .
(1)求角 A , B , C ; (2)求 ?ABC 的面积 S . 18、 (本小题 12 分)已知平面上三点 A, B, C 满足 BC ? ?2 ? k ,3?, AC ? ?2,4 ? (1)若三点 A, B, C 不能构成三角形,求实数 k 满足的条件; (2)若 ?ABC 为直角三角形,求实数 k 的值。 19、 (本小题 12 f 分)已知 m ? ? 3 sin

? ?

x ? x x? ? ,1? , n ? ? cos , cos2 ? 。 4 ? 4 4? ?

⑴ 若 m ? n ? 1 ,求 cos?

? 2? ? ? x? ; ? 3 ?



设 f ? x ? ? m ? n , 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为

a , b , c ,且满足

?2a ? c ?c o s B ? bc o C s ,求 f ? A? 的取值范围。
20、 (本小题 13 分)已知数列 ?a n ?中, a1 ? ⑴ 求 an ; ⑵ 设数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,且 bn ?

3a n 1 , a n ?1 ? , an ? 3 2

n?3 ? 4a n ? 1 ? 1 ,求证: ? Sn ? 1 . an 2
2

21、 (本小题 14 分)已知函数 f ?x ? ? a ln x ? bx 在 x ? 1处的切线方程为 x ? y ? 1 。 ⑴ 求 f ? x ? 的表达式; ⑵ 若 f ?x ? ? g ?x ? 恒 成 立 , 则 称 f ? x ? 为 g ? x ? 的 一 个 “ 上 界 函 数 ” 。 当 ⑴ 中 的 f ?x ? 为 函 数

g ?x ? ?

t ? ln x , ?t ? R ? 的一个上界函数,求实数 t 的取值范围。 x
x2 m2 ? 1 ? x 在区间 ?0,2 ? 上极值点的个数。 2 m

⑶ 当 m ? 0 时,对 ?1? 中的 f ? x ? 讨论 F ?x ? ? f ?x ? ?

? 4?a1 ? a2 ? ? a1 ? 3?a1 ? a2 ? a3 ? ? a 2 ? 3a3
? ?a n ? 为等比数列

?q ?

a3 1 ? a2 3

?2? ? a1 ? q ? 1
?1? ? an ? ? ? ?3?
n

3

?l o g 3 a n ? ?n.

(2)由(1)知 sin C ? sin? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B

2 1 2 3 ? ? ? ? 2 2 2 2

6? 2 4

? 当 ?A 为
直角时, AB ? AC

? AB ? AC ? 0

解得 k ? ?2 ; ? 2k ? 4 ? 0 同理可得当 ?B 或 ?C 为直角时 k ? 3或 ? 1或8 综上知 k ? -2或3或 ? 1或8 。 x x 2 x 19、解: (1)由已知得: m ? n ? 3 sin cos ? cos ? 1 ,即 4 4 4

3 x 1? x ? ?x ?? 1 sin ? ? cos ? 1? ? sin? ? ? ? ? 1 2 2 2? 2 ? ?2 6? 2 ?x ? ? 1 ? sin? ? ? ? ?2 6? 2 ?x ?? ?
2

?? ? cos 2? ? ? ? cos? x ? ? 3? ?2 6? ?
1 ?x ?? ?1? ? 1 ? 2 sin ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2 ?2 6? ?2?
2

? ? ?? ? 2? ? ? ? ? cos? ? x ? ? cos?? ? ? x ? ?? ? ? cos? x ? 3 ?? ? 3 ? ? ? ?

x? 1 ??? 。 3? 2

(2)由已知得: 2a cos B ? b cosC ? c cos B ? a (射影定理)则 cos B 由于 0 ? B ? ? ,则 B ?

?

1 2

?
3

,而 A ? C ?

2? 3

2? ? A ? ? ? ? ? ? 3 6 2 6 2 3 ?A ?? 1 ? f ? A? ? sin? ? ? ? ,则, 1 ? f ? A? ? 2 ?2 6? 2 ? ,3 ? ? f ? A?的取值范围为?1, ? ? 2? ?0 ? A ?
20、解(1)由已知得 a n ? 0且

1 a n ?1

?

1 1 1 ? ,而 ? 2 a1 an 3

?1? 1 1 n?5 1 ? ? ? 是以 2 为首项、以 为公差的等差数列,而 ? 2 ? ?n ? 1? ? an 3 3 3 ? an ?

? an ?
(2)

3 n?5
n?3 ? 4a n ? 1 ? 1,则由?1?得bn ? an n?n ? 1?

? bn ?

1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 ? S n ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ...? ? ? ? 2? ? 2 3? ?3 4? ? n n ?1? 1 ? 1? 关于n单调递增 n ?1 1 ? ? Sn ? 1 2
21、解: (1)依题意当 x ? 1时, y ? 0 ,即 f ?1? ? 0 ,得 b ? 0

? f ?x ? ? a ln x ,则 f ' ?x ? ?
'

a , ?x ? 0? x

又由切线方程知 f ?1? ? 1 ,而 a ? 1

? f ?x ? ? ln x .
(2)? f ?x ? ? g ?x ?恒成立 ? t ? ln x ? ln x对?x ? 0恒成立 ? t ? 2 x ln x对?x ? 0恒成立 x

令 h?x ? ? 2 x ln x, ?x ? 0?, 则h ?x ? ? 2?ln x ? 1?
'

当 x ? ? ,?? ?时h ' ? x ? ? 0,而h? x ?单调递增;

?1 ?e

? ?

当 x ? ? 0, ? 时 h ?x ? ? 0 ,而 h ? x ? 单调递减;
'

? 1? ? e?

2 2 ?1? ? h?x ?min ? h? ? ? ? ,故 t ? ? . e e ?e?
(3)由(1)知 F ?x ? ? ln x ?

x2 m2 ? 1 ? x, ? x ? 0 ? 2 m

F ' ?x ? ?

1 m ?1 ?x? ? x m
2

1? ?x ? m?? ?x? ? ? x m?

, ?m ? 0, x ? 0?

? F ' ?x ? ? 0 ? x ? m, 或者x ?
①当 m ?

1 m

1 , m ? 1 时, F ' ?x ? ? 0 , F ? x ? 在 ?0,2 ? 上单调递增,无极值点; m

? 0?m ?2 1 1 且 m ? ②当 ? 0 ? 1 ? 2 时, ? m ? 2且m ? 1 , F ? x ? 有 2 个极值点; m 2 ? m

? ? m? 2 ? 0? m ? 2 或者? 1 时, 0 ? m ? 1 或者 m ? 2 时, F ?x ? 有 1 个极值点。 ③当 ? 1 ? 2 《 ?2 ? 2 m ?0 ?m
综上知在 ?0,2 ? 上,当 m ? 1 时, F ? x ? 无极值点;当 0 ? m ? 当

1 或者 m ? 2 时, F ? x ? 有 1 个极值点; 2

1 ? m ? 2且m ? 1 时, F ? x ? 有 2 个极值点。 2



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