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2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答


2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016 年 6 月 5 日上午 8 : 30 ? ?11: 00 一、填空题(每小题 7 分,共 56 分)
1 、若 y ? log 2016 x 2 ? ax ? 65 的值域为 R ? ,那么 a 的取值范围是

?

?



2 、四面体 ABCD 中, ?ABC 是一个正三角形, AD ? BD ? 2 , AD ? BD , AD ? CD ,则 D 到面 ABC 的距离为 . 3 、若对于所有的正数 x, y ,均有 x ? y ? a x ? y ,则实数 a 的最小值是 . 4 、 已 知 P 是 正 方 形 A B C D内 切 圆 上 的 一 点 , 记 ?A P C? ? , ? B P D ?? ,则

tan 2 ? ? tan 2 ? ? 5 、等差数列 2,5,8,



, 2015 与 4,9,14,

, 2014 的公共项(具有相同数值的项)的个数


是 . 6 、设 x 为锐角,则函数 y ? sin x sin 2 x 的最大值是

7 、若将前九个正整数 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 分别填写于一张 3 ? 3 方格表的九个格子中,使
得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是

8 、把从 1 到 n (n ? 1) 这 n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数列中每相邻两
项的和为平方数,则正整数 n 的最小值是 .

二、解答题(共 64 分)

x2 y 2 9、 ( 14 分)如图, CD 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的一条直径, a b 过椭圆长轴的左顶点 A 作 CD 的平行线,交椭圆于 另一点 N ,交椭圆短轴所在直线于 M , A 证明: AM ? AN ? CO ? CD .

Y

N M O D B
X

C

1

10 、 ( 15 分)如图, D 是 ?ABC 的旁心,点 A 关于直线 DC 的对称点为 E .证明: (1) 、 B, C , E 三点共线; (2) 、 A, B, D, E 四点共圆.
A

B

C

E

D

11 、 ( 15 分)设 x, y, z 为正数,满足: xy ? yz ? zx ? 1 ,证明:

xyz( x ? y)( y ? z)( x ? z) ? (1 ? x2 )(1 ? y 2 )(1-z2 )

12 、 ( 20 分)设集合 A ? ?1, 2,

, 2016 ? ,对于 A 的任一个 1008 元子集 X ,若存在

x, y ? X ,满足 x ? y, x y ,则称 X 为“好集” ,求最大的正整数 a , (a? A ) ,使得任 一个含 a 的 1008 元子集皆为“好集” .

2

1.答案: ?16 ? a ? 16 . 解:由值域 y ? R ? ,? x ? ax ? 65 ? 1 , ? x ? ax ? 64 ? 0
2 2

?? ? a 2 ? 4 ? 64 ? 0 ,? ?16 ? a ? 16 . 2 3 2.答案: .解:如图,据题意得, AB ? AD2 ? BD2 ? 2 2 , 3 A 2 2 于是 BC ? CA ? AB ? 2 2 , CD ? AC ? AD ? 2 , 2 2 2 因 BC ? BD ? CD ,得 BD ? CD ,从而以 D
为顶点的三面角是三直三面角,

C

B D 1 4 3 2 四面体体积 V ? AD ? S ?BCD ? ,而 S?ABC ? ? AB ? 2 3 , 3 3 4 1 23 23 4 2 3 若设 D 到面 ABC 的距离为 h , 则 V ? h ? S?ABC ? 由 得到 h ? . h, h? , 3 3 3 3 3 3.答案: 2 .

? y y ? x x ? ? ? ? 2, D 解:由 ? ?? ? 1 ,得 ? ? ? x? y ? ? x? y ? P x? y x? y ? ? ? ? 当 x ? y 时取等号. O 4.答案: 8 . A 解:如图建立直角坐标系,设圆方程为 x2 ? y 2 ? r 2 , 则正方形顶点坐标为 A(?r, ?r ), B(r , ?r ), C (r , r ), D(?r , r ) , 若点 P 的坐标为 P(r cos ? , r sin ? ) ,于是直线 PA, PB, PC, PD 的斜率分别为 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? k PA ? , k PB ? ? , k PD ? ? , k PC ? , 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?
? k ? k PA ? 2 所以 tan ? ? ? PC ? ? 4(cos ? ? sin ? ) , ? 1 ? k PA k PC ?
2 2

2

2

Y

C

X

B

? k ?k ? tan ? ? ? PD PB ? ? 4(cos ? ? sin ? ) 2 ,由此立得 tan 2 ? ? tan 2 ? ? 8 . ? 1 ? k PB k PD ? 解 2:取特例, P 在坐标轴上,则 ? ? ? , 2 2 2 2 2 这时, tan ? ? cot ? ? ? 2 ? tan ? ,? tan ? ? tan ? ? 2 ? 2 ? 8 1 5.答案: 134 . 解:将两个数列中的各项都加 1 ,则问题等价于求等差数列 3,6,9, , 2016 与等差数列 5,10,15, , 2015 的公共项个数; 前者是 M ? ?1,2,3, ,2016? 中的全体能被 3 整除的数,
2

2

后者是 M 中的全体能被 5 整除的数,故公共项是 M 中的全体能被 15 整除的数,这种数有

? 2016 ? ? 134 个. ? ? 15 ? ?
3

4 3 . 9 解:由 y ? 2sin 2 x cos x ,得 y 2 ? 4sin 4 x cos2 x ? 2(1 ? cos2 x)(1 ? cos2 x) ? 2cos2 x
6.答案:

? (1 ? cos 2 x) ? (1 ? cos 2 x) ? 2 cos 2 x ? ? 2 ? 16 ? 2? , ? ? 2?? ? ? 3 ? 3 ? 27 ? ?
所以 y ?

3

3

1 2 8

7 6 4

9 3 5

1 4 3 2 .当 cos x ? 时取得等号. 3 9

7.如右图 8.答案: 15 . 例如,排出的一个数列为

( 8,1,15,10,6,3,13,12, 4,5,11,14, 2,7,9 ) .
解:这是一个操作问题,若用文字表达较为繁琐,故适宜作为填空题直接操作. 记这 n 个连续正整数的集合为 M ? ?1, 2,

, n? ,由于 n ? 1 ,

则 M 中必有 2 ,而 2 ? 7 ? 9 ,所以 n ? 7 ,当 n ? 7 时,从 1 到 7 这 7 个数可以搭配成满 足条件的三个数段: (1,3,6),(2,7),(4,5) ,但它们不能连接成一个 7 项的数列,故应增加后续的数,增加 8 可 使得第一段扩充成 (8,1,3, 6) ,增加 9 可使得第二段扩充成 (2,7,9) ,但新的三段也不能连 接 , 还 需 增 加 新 数 , 即 n ? 10 , 而 之 前 的 数 若 与 8,9,10 邻 接 , 只 有

8 ? 1 ? 9,9 ? 7 ? 16, 10 ? 6 ? 16 ,这三段扩充为 (8,1,3, 6,10) ,(2,7,9) ,(4,5) ,仍旧不能连接,应当借助新的平方数 25 ,从1 到 10 这 10
个数能搭配成和为 25 的最小数是 15 ,则 n ? 15 ,而当 M ? ?1,2, 的情形:

,15? 时,可排出上面

( 8,1,15,10,6,3,13,12, 4,5,11,14, 2,7,9 ) . 9.证 1:椭圆方程为 x ? a cos ? , y ? b sin ? , 点 A, N 的坐标为 A(?a,0), N (a cos ? , b sin ? ) ,则直线 AN 方程为 ? x ? ?a ? t cos ? , …… 3 ' ? y ? t sin ? ? 2 2 2 2 2 2 代入椭圆方程得到 (b cos ? ? a sin ? )t ? 2ab t cos? ? 0 ,
a ? 2ab2 cos ? (? ? ) ,…… 6 ' , AM ? 2 2 2 2 cos ? 2 b cos ? ? a sin ? 2 2 2a b 因此 AM ? AN ? 2 ,…… 9 ' 2 b cos ? ? a 2 sin 2 ? 又据 AN ∥ CD ,则点 C , D 坐标为: C(? OD cos? , ? OD sin ? ) ,

AN ? t ?

D( OD cos? , OD sin ? ) ,…… 12 '
因为 C , D 在椭圆上,则 CO ?
2

a 2b 2 ,而, b 2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ?
4

CO ? CD ? 2 CO ?

2

2a 2 b 2 ,因此 AM ? AN ? CO ? CD .…… 14 ' b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ?

证 2: 易知 CD 的斜率 k 存在,不妨令 CD : y ? kx ,与椭圆方程联系, 解得 C ? ?

? ?

ab b ?a k
2 2 2

,

? ? ? ab kab , ? 、D ? 2 ? …… 3 ' 2 2 2 2 2 b ?a k ? b ?a k ? ? b ?a k kab
2 2 2

? CO ?

, CD ? b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2k 2 AN 方程为: y ? k ? x ? a ? ,?M ? 0, ka ? .

?1 ? k ? a b
2

2 2

4 ?1 ? k 2 ? a 2b2

, ? CO ? CD ?

2 ?1 ? k 2 ? a 2b2 b2 ? a 2 k 2

… 6'

2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 将 AN 方程与椭圆方程联立,得 b ? a k x ? 2a k x ? k a ? a b ? 0

?

?

? x A ? xN ? ?

2a 3 k 2 ab 2 ? a3k 2 , ? x ? N b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2k 2

…… 9' …… 12 '

2kab2 yN ? 2 ,? AM ? a 1 ? k 2 2 2 b ?a k
2

? ab 2 ? a 3k 2 ? 4k 2 a 2 b 4 2ab 2 1 ? k 2 AN ? ? 2 ? a ? ? , ? 2 2 2 b2 ? a 2k 2 ? b ?a k ? ? b2 ? a 2 k 2 ?
… 14 ' ? CO ? CD b2 ? a 2 k 2 10.证:1、延长 DC 到 M ,延长 AC 到 N ,连 CE , D 为旁心,? CD 平分 ?BCN … 2 ' 又 A、E 关于 DC 对称,? CM 平分 ?ACE ??DCN ? ?ACM , ? ?BCD ? ?MCE ??BCN ? ?ACE ,? B 、 C 、 E 三点共线。…… 5 ' 2、过 C 作 CI // AE 交 AD 于 I ,则 IC ? DC …… 7 ' ? I 为 ABC 内心。连 BI ,则 BI 平分 ?ABC ,…… 10 ' ? ?IBD ? 90? ,? B 、 D 、 C 、 I 四点共圆,…… 12 ' ??CBD ? ?CID ? ?EAD , ? A 、 B 、 D 、 E 四点共圆。…… 15 ' 11.证:据条件,即要证 xyz(x+y+z-xyz)? (1 ? x2 )(1 ? y 2 )(1-z2 ) ① 2 2 2 2 2 2 2 2 2 也即 xyz(x+y+z)? 1-(x ? y ? z ) ? ( x y ? y z ? x z ) ② …… 3 ' 2 2 2 2 2 2 2 将此式各项齐次化,因为 1 ? ( xy ? yz ? xz) ? x y ? y z ? x z ? 2xyz( x ? y ? z) 6 '

? AM ? AN ?

2a 2b2 ?1 ? k 2 ?

x2 ? y2 ? z 2 ? ( x2 ? y 2 ? z 2 )( xy ? yz ? xz) ? x3 ( y ? z) ? y3 ( x ? z) ? z 3 ( x ? y) ? xyz( x ? y ? z) 代入②, 只要证 xyz ( x ? y ? z ) ? 2( x2 y 2 ? y 2 z 2 ? x2 z 2 ) ? x3 ( y ? z) ? y3 ( x ? z) ? z3 ( x ? y) ? xyz( x ? y ? z) 即 x3 ( y ? z) ? y3 ( x ? z) ? z 3 ( x ? y) ? 2( x2 y 2 ? y 2 z 2 ? x2 z 2 ) ? 0 …… 12 ' 2 2 2 也即 xy( x ? y) ? yz( y ? z) ? xz( x ? z) ? 0 。
5

此为显然,故命题得证.… 15 ' 证 2:由题设得:

y ? x ? z ? ? 1? zx, x ? y ? z ? ? 1? yz, z ? x ? y ? ? 1? xy ,

三式相乘,故原不等式等价于证明: 上式两边展开并化简得:
2

?1 ? zx ??1 ? yz ??1 ? xy ? ? ?1 ? x 2 ??1 ? y 2 ??1 ? z 2 ? …… 3 '
x2 ? y2 ? z 2 ? ? xy ? yz ? zx ? ? x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? ? x 2 yz ? xy 2 z ? xyz 2 ?
2 2 2 2 2

…… 6 '

配方得: ? x ? y ? ? ? y ? z ? ? ? z ? x ? ? ? xy ? xz ? ? ? yz ? xy ? ? ? yz ? zx ?

? x2 ? y ? z ? ? y 2 ? z ? x ? ? z 2 ? x ? y ?
2 2

2

…… 9 '
2 2

即 1? z

?

2

? ? x ? y ? ? ?1 ? x ? ? y ? z ? ? ?1 ? y ? ? z ? x ?
2 2 2

? 0 ? ?? …… 12 '
…… 15 '

0 ? x, y, z ? 1,?1 ? x2 ? 0,1 ? y 2 ? 0,1 ? z 2 ? 0, ? ??? 显然成立.
?

12.解:因任何正整数 n 可以表为 n ? 2 t 形式,其中 ? ? N , t 为正奇数,于是集合 A 可 划分为以下 1008 个子集:

Aj ? m m ? 2? (2 j ? 1), ? ? N ,1 ? m ? 2016 , j ? 1, 2,

?

?

,1008 …… 4 '

对于集合 A 的任一个 1008 元子集 X ,只要集 X 中含有某一个 Aj 中的至少两个元素

x, y,( x ? y) ,因 x ? 2k1 (2 j ?1), y ? 2k2 (2 j ?1) , k1 ? k2 ,则 x y ;此时 X 为好集; 以下证明正整数 a 的最大值为 671 : …… 8 ' 若 a ? 671 时,对于 A 的任一个 1008 元子集 X ,如果 X 中含有某个 Aj 中的至少两个元
素,则 X 便是好集;如果 A j 中的 1008 个集合,每个集合中恰有一个元素在 X 中,那 么 A1007 也有一个元素在 X 中, 但A 于是 2013 ? X , 而 a 2013 , ? 为单元素集, 1007 ? ?2013

? ?

( 2013 ? 671? 3 ? 3a ) ,这说明 X 仍是好集,因此 a ? 671 合于要求. ……12 ' 下面说明当 a ? 672 时,存在含 a 的集 X 不是好集;分两种情况: (1) 、若 a ? 1009 ,取 1008 元集 X 0 ? ?1009,1010, ,2016? ,则 a ? X 0 ,
因 X 0 中任两个不同元素 x ? y ,均有 x ? y ,故 X 0 不为好集,这种 a 不合要求.…… 15 '

(2) 、若 672 ? a ? 1008 ,记 X 1 ? ?672 ? j j ? 0,1,
,336? ,令 X ? X1

,336? ,

X 2 ? X 0 \ ?2(672 ? j ) j ? 0,1,

X 2 ,则 X ? 1008 ,且 a ? X1 ,

若 X 中存在 x ? y, x y ,因 x ? 672 , y ? 2016 ,则 y ? 3x ; 若 x ? 672 ,如果 x y , x ? y ,只有 y ? 2 x 或者 y ? 3x ,此时 y 的取值只能是:

y ? 2 ? 672 ? 1344 , 1344 ? 2(672 ? 0), 2016 ? 2(672 ? 336) , 或者 y ? 3 ? 672 ? 2016 ; 这说明,这两个数已被挖去,不在集合 X 中; …… 18 ' 若 x ? 672 ,假若 x y ,只有 y ? 2 x ,这种数 y 也已悉数被挖去,即 y ? X ,因此 X
不是好集,这种 a 也不合要求. 综上所述, a 的最大值为 671 .
6

…… 20 '


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